精品解析：2023年重庆市渝中区巴蜀中学保送生水平测试数学试题

2023年重庆市渝中区巴蜀中学保送生水平测试数学试卷 一、填空题（8'×7＝56分） 1. 如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长交于点G，作于点N，设，则，利用勾股定理可得，从而求得，根据题意可得，利用勾股定理求得，从而求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长交于点G，作于点N， 则中，设，则， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2. 如图，点为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为秒，机器人到点距离设为，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为；②当时，机器人一定位于点；③机器人一定经过点；④机器人一定经过点；其中正确的有_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误；结合图象判断图象的对称性可以判断②正确；结合图象易得③正确； 【详解】由图象可知，机器人距离A是1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1，故①正确； 观察图象，当时，根据图象具有对称性可知，机器人在OB或OF上，则当t=3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确； 所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确； 因为机器人可能在F或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，准确观察和理解题意是解题的关键． 3. 已知如图，矩形纸片，，，点E、F分别在和上，将纸片按照如图所示的方式沿折叠，点C、D的对应点是和，连接并延长交线段于G，G点恰好是的三等分点，则线段长为 ______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，设交于I，作于点H，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵G点是的三等分点，且， ∴， 设交于I，作于点H，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得点与点C关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．解不等式组求得m的取值范围，解分式方程，利用方程的解为非负整数求得m值，再将m值相加即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且仅有三个非负整数解， ∴， ∴， 关于x的分式方程的解为：， ∵分式方程有可能产生增根1， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为0． 故答案为：0． 5. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的立方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为______. 【答案】. 【解析】 【详解】分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 本题解析： 解方程组 得 ∵x，y均大于0，∴ >0， >0. 易知a，b必须是1～6的整数， 当2a－b＝0时，方程无解； 当2a－b>0时，可得 ∴当a为2，3，4，5，6时，b为1或2，共10种情况； 当2a－b<0时，可得 ∴当a为1时，b为4或5或6，共3种情况， ∴P＝ ＝ . 6. 若a、b、c均为整数，且满足，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 7. 已知有数列：，，…，，和，，…，且满足：，，，已知，则下列说法正确的有：_________． ① ② ③ ④ 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字的规律，解题关键是根据定义求出各个字母的值．首先根据题意求出到的值，可以判断①②，再根据定义得出到的值，进而根据题意得出到的值，找出规律，即可判断③④． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，，，，，，，，； ∴；故①正确，②错误； ∴，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴， 故③正确； ∵， 而， ∴， 故④错误． 故答案为：①③． 二、解答题：（16'+18'+20'+20'+20'＝94'） 8. 先化简再求值： ，其中是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值、解一元二次方程、分式有意义的条件等知识，正确完成分式化简是解题关键．首先化简题目中的分式，然后对进行求解，再取满足条件的值进行求解． 【详解】解：原式 ， 解方程， 可得，， ∵， ∴， ∴原式 ． 9. 广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． （1）求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ （2）为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】（1）9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 （2）a的值为30 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 10. 若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． （1）判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； （2）已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 【答案】（1） 解：326不是“顺利数”，875是“顺利数”． 理由：∵， ∴326不是顺利数 ∵， ∴875是顺利数； （2）224 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算．整式加减的应用,关键是理解新定义. （1）根据“顺利数”的定义代入计算即可得出答案． （2）由“顺利数”的定义得出，再根据定义得出，能被11整除，是整数，再结合n，p，m的取值范围讨论判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵（，且 m，n，p 均为整数）是“顺利数“； ∴， ∴， ∵， ∴，且能被11整除，是整数， ∵， 当时，，此时能被11整除，此时，即； 当时，，此时能被11整除，此时（舍去）； 当时，无整数 p； 当时，无整数 p． ∴所有符合题意的S的值为224． 11. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，的平分线与y轴交于点D，与抛物线交于点Q，点P是线段上一点，过点P作x轴的垂线，分别交，于点E、F，连接，． （1）当面积最大时，求P点的坐标． （2）在（1）的条件下，在直线上取点M，在y轴上取点N，当最小时，求出N的坐标． （3）如图2，将抛物线y沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点C，在抛物线的对称轴上取点G，在抛物线上取点K，在（2）的条件下，是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形，如果存在直接写出k点坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式求得点、的坐标，然后根据待定系数法来求直线的解析式，在直角三角形中利用勾股定理求得的长度；过点作于点，构建全等三角形和，利用全等三角形的性质可以设，则．所以根据勾股定理列出关于的方程，借助于方程解题即可求得点的坐标；然后利用待定系数法求得直线的解析式，由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求面积的最大值和此时点的坐标； （2）求出点的坐标，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，交轴于点，则此时，最小，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得的坐标； （3）由题意可得将抛物线向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到，求出的解析式，得抛物线的对称为直线，设点，分类讨论：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 抛物线的解析式为：． 令，则， ． 令，则．， 解得，，． ，． 设直线所在直线解析式为：， 将，代入可得， 解得， 直线所在直线解析式为； 过点作于点，如图1． ，， ，． 在中，． 在与中， ， ， ，． 设，则， ． 在中，， ， 解得，． ． ． 设直线所在直线解析式为：， 将，代入可得， 解得， 直线所在直线解析式为：． 又直线的解析式为：． 设，则，， ，， ， 当时，的最大值为． 此时，； 【小问2详解】 直线所在直线解析式为：，抛物线的解析式为：． 联立得，解得或， 点的坐标为， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于，交轴于点，则此时，最小， ， 的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 的坐标为； 【小问3详解】 将抛物线沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点，，， 抛物线向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ． 的解析式为， 抛物线的对称为直线， 设点，， ①当为平行四边形的边时， ，的坐标为， 或， 或， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， ，的坐标为的坐标为， ， ， 点坐标为，； 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，轴对称求最短路径，平行四边形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，分类讨论，以防漏解或错解． 12. 如图，已知四边形，，且，过点作交于，点在上且，点在延长线上且，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度． （2）如图2，取中点，连接，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着点旋转，所在直线与直线交于，是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于，证明四边形是矩形，易得，利用面积法求得的值，再利用三角形函数解得，，的值，进而可得的长度，在中，由三角函数解得的值，即可获得答案； （2）延长至，使，连接，证明， ，结合全等三角形的性质证明是等腰直角三角形，进而证明结论； （3）由旋转得点在以为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点在的延长线上，首先解得的值，将绕点顺时针旋转得到，在上截取，过点作交于，连接，，过点作于，当且仅当点在同一条直线上时，取得最小值，然后求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于，如图1， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转得点在以为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点在的延长线上， ∵，，， ∴， 如图3，将绕点顺时针旋转得到，在上截取，过点作交于， 连接，，过点作于， 由旋转得，，，，， 则是等边三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当且仅当点在同一条直线上时，取得最小值， 在中，， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年重庆市渝中区巴蜀中学保送生水平测试数学试卷 一、填空题（8'×7＝56分） 1. 如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为______米．（结果保留根号） 2. 如图，点为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为秒，机器人到点距离设为，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为；②当时，机器人一定位于点；③机器人一定经过点；④机器人一定经过点；其中正确的有_____． 3. 已知如图，矩形纸片，，，点E、F分别在和上，将纸片按照如图所示的方式沿折叠，点C、D的对应点是和，连接并延长交线段于G，G点恰好是的三等分点，则线段长为 ______________________． 4. 若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 _____． 5. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的立方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为______. 6. 若a、b、c均为整数，且满足，则_______． 7. 已知有数列：，，…，，和，，…，且满足：，，，已知，则下列说法正确的有：_________． ① ② ③ ④ 二、解答题：（16'+18'+20'+20'+20'＝94'） 8. 先化简再求值： ，其中是方程的解． 9. 广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． （1）求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ （2）为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 10. 若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． （1）判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； （2）已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 11. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，的平分线与y轴交于点D，与抛物线交于点Q，点P是线段上一点，过点P作x轴的垂线，分别交，于点E、F，连接，． （1）当面积最大时，求P点的坐标． （2）在（1）的条件下，在直线上取点M，在y轴上取点N，当最小时，求出N的坐标． （3）如图2，将抛物线y沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点C，在抛物线的对称轴上取点G，在抛物线上取点K，在（2）的条件下，是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形，如果存在直接写出k点坐标，如果不存在请说明理由． 12. 如图，已知四边形，，且，过点作交于，点在上且，点在延长线上且，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度． （2）如图2，取中点，连接，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着点旋转，所在直线与直线交于，是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $