精品解析：广东省茂名市高州市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度第一学期学情练习（9月） 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分共30分） 1. 如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、菱形的性质．熟练掌握三角形的中位线性质、菱形的性质是解题的关键． 根据三角形的中位线性质求出，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：在中，E是的中点，F是的中点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． 故选B． 2. 如图，在□ABCD中，对角线相交于点， ，若要使□ABCD为矩形，则的长应该为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，求出OA=OB即可． 【详解】解：∵平行四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB=2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出OA=OB是解此题的关键． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： 且 故选：B 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 4. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 5. 若，且，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得m－2＜0，进而可得m的范围，进一步即得答案． 【详解】解：∵，且， ∴m－2＜0， 解得：m＜2， 纵观各选项，m可能为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 6. 若不等式组的解集为，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，根据解集求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 7. 将多项式分解因式正确的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 故选：． 8. 如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ） A. 2560 B. 490 C. 70 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 10. 衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数改良后种植的亩数亩，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克， 根据题意列方程为：． 故选． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 二．填空题（每题4分共24分） 11. 现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可得． 【详解】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0， ﹣2x≥﹣4， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式． 12. 将分解因式的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13. 一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞_____________把． 【答案】600 【解析】 【分析】设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，利用单价=总价÷数量，结合第二批的购进单价比第一批贵4元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴两次共购进这种太阳伞600把． 故答案为：600． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14. 关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得且，求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解决根据一元二次方程定义求参数的问题时，注意二次项系数不能为0． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 16. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 三、解答题一（每题6分共18分） 17. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）分解因式：． 【答案】（1），见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及提公因式法分解因式， （1）先分别解两个不等式，再找出解集的公共部分即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集是； （2）解： ； 18. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根、负整数指数幂、零次幂的性质计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握立方根、负整数指数幂、零次幂的性质，分式混合运算顺序和运算法则． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 ， ，，， ， ∴， ∴，． 四、解答题二（每题8分共24分） 20. 如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点． （1）求m的值； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集 【答案】（1）2 （2）； （3）2＜x＜3． 【解析】 【分析】（1）代入y＝2x－2，即可求解； （2）把，代入y＝kx＋b，待定系数法求解析式即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 把代入y＝2x－2， 得2m－2＝2， 解得m＝2， 即m的值是2； 【小问2详解】 把，代入y＝kx＋b， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 由图象可得，1＜kx＋b＜2x－2的解集是2＜x＜3． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，两直线交点以求不等式组的解集，数形结合是解题的关键． 21. 如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）当时，的面积是面积的． （2）的面积不能与四边形面积相等，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵ ∴， ∴，整理得，解得：． 答：当时，的面积是面积的． 【小问2详解】 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等， 即当时， ∴，整理得， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． 22. 2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进两种型号的兔子挂件．已知用160元购进型号兔子挂件的数量和用100元购买型号兔子挂件的数量相等，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元． （1）该商店购进两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种型号的兔子挂件共50件，且两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？ 【答案】（1）型号兔子挂件每件进价40元，则型号兔子挂件每件进价25元 （2）21件 【解析】 【分析】（1）设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据用160 元购进型号兔子挂件的数量和用100元购买型号兔子挂件的数量相等，解方程即可； （2）设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，根据两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据题意得： ，解得， ∴， 答：型号兔子挂件每件进价40元，型号兔子挂件每件进价25元； 【小问2详解】 解：设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，得： ，解得， 答：型号兔子挂件至少要购进21件． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式解实际应用题，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键． 五、解答题三（每题12分共24分） 23. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． （1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ （4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）不存在，理由见解析 （3）6 （4）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可； （2）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （3）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （4）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵，要， ∴四边形CDPQ为平行四边形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4， 即t＝4时，PQCD； 【小问2详解】 不存在，理由： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝10， ∴t＝5， 此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形； 【小问3详解】 如图，∵∠B＝90°，ADBC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝18﹣2t， 解得：t＝6， ∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形； 【小问4详解】 由当t＝6时，四边形PQBA是矩形， ∴AP＝6cm， ∵AB＝8cm， ∴AP≠AB， ∴矩形PQBA不能是正方形， 即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学情练习（9月） 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分共30分） 1. 如图，在菱形中，E是的中点，F是的中点，连接．如果，那么的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 如图，在□ABCD中，对角线相交于点， ，若要使□ABCD为矩形，则的长应该为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 5. 若，且，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若不等式组的解集为，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 7. 将多项式分解因式正确的结果为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ） A. 2560 B. 490 C. 70 D. 49 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A. B. C. D. 二．填空题（每题4分共24分） 11. 现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为_____ 12. 将分解因式的结果为______． 13. 一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则两次共购进这种太阳伞_____________把． 14. 关于的方程是一元二次方程，则______． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 16. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 三、解答题一（每题6分共18分） 17. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）分解因式：． 18. （1）计算：； （2）化简：． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 四、解答题二（每题8分共24分） 20. 如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点． （1）求m的值； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集 21. 如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 22. 2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进两种型号的兔子挂件．已知用160元购进型号兔子挂件的数量和用100元购买型号兔子挂件的数量相等，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元． （1）该商店购进两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种型号的兔子挂件共50件，且两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？ 五、解答题三（每题12分共24分） 23. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． （1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ （4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $