2024年湖南省益阳市桃江县部分学校九年级中考一模数学试题

2024年湖南省益阳市桃江县部分学校九年级中考一模数学试题 一、选择题（下列各题只有一个符合题意的选项，选出符合题意的选项并将其代号填涂在答题卡上的相应处．每小题3分，共30分．） 1．（3分）下列各数中，最大的数字是（　　） A． B．﹣π C．﹣3 D． 2．（3分）下列计算或因式分解，正确的是（　　） A．（a3b1）4＝a12b5 B． C．a+b﹣2ab2＝（a﹣b）2 D．4a2+4ab+b2＝（2a+b）2 3．（3分）习近平总书记强调，人民有信仰，民族有希望，国家有力量．“人”、“希”、“国”、“量”这四个字是从这句话中抽出来的，请你判断，以上汉字可以粗略看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列调查活动中，适合采用普查的是（　　） A．对湖南省男性身高高度的调查 B．对2024年元旦长沙市五一广场各省（不包括湖南省）人数的调查 C．对某汽车供应商的汽车续航里程的调查 D．对湖南省“喜欢吃苹果的人数有多少？”的调查 5．（3分）解二元一次方程组，其中a为常数，若满足m+n＞0（且n非正数），则以下满足条件的a值为（　　） A． B． C．﹣8 D． 6．（3分）古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，则醨酒的质量为（　　）（其密度约0.8g/cm3） A．5.6千克 B．7.2千克 C．2.8千克 D．10千克 7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1～10，把这些卡片背面朝上洗匀后．从中随机抽取三张卡片a，b，c，则这三张卡片a，b，c的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论中错误的是（　　） A．△OBC≌△ABD B．点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是 C．将等边△ABO沿x轴对称，则点B的对称点B'落在AE上 D．当点C的坐标为（m，0）（m＞2）时，四边形AOBD的面积S与m的函数关系式为： 二、填空题（下列各题只有一个符合题意的答案，请用0.5mm中性笔在答题卡上的相应处写出符合题意的答案。每小题3分，共24分．) 10．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 11．（3分）计算：＝　 　． 12．（3分）已知等腰三角形底与腰的黄金分割比为．若一个等腰三角形的底边长度为，则它的周长是 　 　． 13．（3分）学习化学后我们知道：常温下CaCO3的溶度积为0.0000000028，则CaCO3的溶度积用科学记数法表示为 　 　． 14．（3分）如图，已知△ABC内切于⊙O，DN∥AB，若AH＝1.7，HB＝1.1，CD＝2．则⊙O周长为 　 　． 15．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，P为⊙H上一个动点，AC＝BC，CD⊥AB．P的运动轨迹是以CD的中点H为圆心的圆，连接PB，AP．若AC＝4，则AP+PB的最小值为 　 　． 16．（3分）喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，据测算，喷灌时每亩用水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍．今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加a%，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了a%，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了a%，则a＝　 　． 17．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 　 　． 三、解答题（本大题有8个小题，其中19～20每题6分，21～23每题8分，24～26每题10分．请用0.5mm中性笔将符合题意的答案填写在答题卡上的相应处．共66分．） 18．（6分）计算：若a1＝，a2＝，an＝，记S＝a1+a2+…+an，当n＝12时，求S的值． 19．（6分）因式分解：．（在实数范围内进行因式分解） 20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P．在运动过程中，求点A′到直线AB距离的最大值． 21．（8分）如图所示，已知菱形ABCD，满足∠B＝60°．过点A作直线AE、AF，与BC、DC分别相交于点E，F，连接EF． （1）当BE＝CF时，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想． （2）绕点A旋转直线AE、AF，并始终保持BE＝CF． ①若AB＝4，请你求出△AEF面积的最大值和最小值． ②在①的条件下，当点E，F在什么位置时，△CEF有最大面积？最大面积是多少？ 22．（8分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，求CG的长． 23．（10分）长沙臭豆腐“闻起来臭，吃起来香”．某校数学活动小组对“长沙市人民对臭豆腐的喜爱程度”展开了调查，以下是他们收集调查整理的一些资料，请你完成（1）～（4）题． （1）参加本次调查的人数是 　 　人． （2）请你根据扇形统计图，画出相应的频数分布图． （3）根据2022年人口调查数据显示：长沙市居住人口为1042.1万人，2020人口量为1006.1万人．请你根据表格资料和数据，估计2024年长沙市人民喜欢吃长沙臭豆腐的人口数量． （4）如果从长沙街道上随机抽取一名学生，询问他是否喜爱吃臭豆腐，则得到肯定回答的概率是多少？ 24．（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC； （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由． 25．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC恰好是直角三角形，并满足AB＝OC•CA（O为坐标原点），则称抛物线y＝ax2+bx+c是“直角型抛物线”，其中较短直角边所在直线为“直角倍增线”，较长直角边所在直线为“直角倍减线”． （1）若“直角型抛物线”y＝ax2+bx+c的“直角倍增线”为直线y＝﹣5x﹣3，求抛物线解析式； （2）已知“直角型抛物线”y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣2，0），且AB的值t满足方程：x2﹣8x+7＝0．其“直角倍减线”与反比例函数的图象仅有一个交点，求其直角倍减线的函数解析式； （3）已知“直角型抛物线”的“直角倍增线”和“直角倍减线”及x轴围成的三角形面积的取值范围是．求围成最大面积时，函数的最小值． 参考答案 一、选择题（下列各题只有一个符合题意的选项，选出符合题意的选项并将其代号填涂在答题卡上的相应处．每小题3分，共30分．） 1．A． 2．D． 3．D． 4．C． 5．D． 6．B． 7．A． 8．B． 9．D． 二、填空题（下列各题只有一个符合题意的答案，请用0.5mm中性笔在答题卡上的相应处写出符合题意的答案。每小题3分，共24分．) 10．x≤2024． 11．x3y4z﹣x2y3z﹣+． 12．2． 13．2.8×10﹣9． 14．． 15．4． 16．25． 17．2． 三、解答题（本大题有8个小题，其中19～20每题6分，21～23每题8分，24～26每题10分．请用0.5mm中性笔将符合题意的答案填写在答题卡上的相应处．共66分．） 18．＝． 19．（4x+y）（y﹣2x）． 20．． 21．解：（1）如图1，△AEF是等边三角形，理由如下： 连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACD＝∠ACB， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝60°＝∠B， ∵BE＝CF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF， ∴∠EAF＝∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）①∵△AEF是等边三角形， ∴当AE最大时，△AEF的面积最大；当AE最小时，△AEF的面积最小， 当AE⊥BC时，如图2，△AEF的面积最小， 连接AC，交EF于点P， ∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°，BE＝CE＝BC＝2， 同理得：CF＝DF＝CD＝2，∠CAF＝30°， ∴AC⊥EF， ∴∠APE＝∠APF＝90°， ∵AB＝4， ∴BE＝2，AE＝2， ∴EP＝PF＝， ∴AP＝＝3， ∴此时△AEF的面积＝•EF•AP＝×2×3＝3； 当E与B重合，F与C重合，如图3，△AEF的面积最大， 过点A作AM⊥BC，则AM＝2， 此时△AEF的面积＝•BC•AM＝×2×4＝4； 综上，当AB＝4时，△AEF面积的最大值是4，最小值是3； ②如图4，过点F作FG⊥BC于G，则∠G＝90°， 设BE＝x，则CF＝x，EC＝4﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠FCG＝∠B＝60°， ∴∠CFG＝30°， ∴CG＝CF＝x，FG＝x， ∴S△CEF＝•CE•FG＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴当x＝2时，点E，F分别是BC，CD的中点，△CEF的面积最大，最大面积为． 22．解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小， ∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3， 在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4， ∴AQ＝＝＝， ∵S△ABC＝AB×CG＝AQ×BC， ∴CG＝． 故CG的长为． 23．解：（1）88÷0.44＝200（人）， 故答案为：200． （2）频数分布直方图如图所示， （3）由2022年人口数为1042.1万人，2020人口数为1006.1万人，估计2024年人口数为970.1万人， 970.1×（44%+17%）≈591.8（万人）， ∴估计2024年长沙市人民喜欢吃长沙臭豆腐的人口数量为591.8万人． （4）44%+17%＝61%≈0.6， 从长沙街道上随机抽取一名学生，询问他是否喜爱吃臭豆腐，则得到肯定回答的概率约为0.6． 24．解：（1）t＝（50+75+50）÷5＝35（秒）时，点P到达终点C．（1分） 此时，QC＝35×3＝105， ∴BQ的长为135﹣105＝30．（2分） （2）如图1，若PQ∥DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形PQCD为平行四边形， ∴PD＝QC， 由QC＝3t，BA+AP＝5t 得50+75﹣5t＝3t， 解得t＝． 经检验，当t＝时，有PQ∥DC．（4分） （3）①当点E在CD上运动时，如图2．分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而 FH＝AD＝75，于是BF＝CH＝30． ∴DH＝AF＝40． 又∵QC＝3t， 从而QE＝QC•tanC＝3t•＝4t． （注：用相似三角形求解亦可） ∴S＝S△QCE＝QE•QC＝6t2；（6分） ②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH＝40，CH＝30，又QC＝3t，从而ED＝QH＝QC﹣CH＝3t﹣30． ∴S＝S梯形QCDE＝（ED+QC）DH＝120t﹣600．（8分） （4）△PQE能成为直角三角形．（9分） 当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t＝35．（12分）根据全等三角形的性质 （注：（4）问中没有答出t≠或t＝35者各扣（1），其余写法酌情给分） 下面是第（4）问的解法，仅供教师参考： ①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2． 过点P作PG⊥BC于点G，则PG＝PB•sinB＝4t， 又有QE＝4t＝PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形． ②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1． 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合， 即5t﹣50+3t﹣30≠75，解得t≠． ③当点P在DC上（不包括点D但包括点C）， 即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3﹣30＝45， 可知，点P在以QE＝40为直径的圆的外部，故 ∠EPQ不会是直角． 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角． 对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t＝35时，如图4，∠PQE＝90°，△PQE 为直角三角形． 综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t＝35． 25．解：（1）由题意可知A，B两点必在原点两侧，且AB边为直角三角形斜边， 在y＝﹣5x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴C的坐标为（0，﹣3）， 令y＝0，则x＝﹣， ∴点A的坐标为（﹣，0）． ∴OC＝3，OA＝， ∵OC为Rt△ABC斜边上的高， 由射影定理得：OC2＝OA•OB， ∴OB＝15， ∴点B坐标为（15，0）， 将点C代入抛物线，即﹣3＝c， 将A，B点坐标分别代入抛物线y＝ax2+bx+c， ∴， ∴a＝，b＝， ∴抛物线表达式为：； （2）∵AB的值t满足：x2﹣8x+7＝0， ∴t＝1或者t＝7， ∵抛物线与x轴一个交点为（﹣2，0），且需满足A，B在原点两侧， ∴t＝7，即抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）， ∵OC2＝OA×OB，且已知抛物线与x轴的两个交点坐标， ∴OC2＝2×5＝10，即点C坐标为（0，）或（0，）， 设“直线倍减线”所在的直线为y＝kx±， 代入B（5，0），得k＝±， ∴“直线倍减线”所在的直线为y＝x﹣或y＝x+， （3）∵，设A横坐标为a，B横坐标为b． 当y＝0时，x2﹣3x+3c＝0， ∴a+b＝3，ab＝3c． ∵OC2＝OA×OB， ∴（﹣c）2＝， ∵c＞0， ∴c＝1． ∴＝x2+3x+＝（x+）2﹣， ∴的最小值为﹣． 学科网（北京）股份有限公司 $$