第11章 整式的乘除（6大题型）（48道压轴题专练）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第11章 整式的乘除（6大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 幂的运算压轴题型 1．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 2．阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 3．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 4．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现； (2)请你通过计算，判断与之间的关系； (3)我们可以发现：____ (4)利用以上的发现计算：. 5．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 6．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 8．观察下面三行单项式： x，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值． 压轴题型二 整式的乘法压轴题型 1．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 2．一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则 ，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数 ． 3．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 4．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 5．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 6．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 7．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 8．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 压轴题型三 整式的乘法与图形面积压轴题型 1．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 3．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 4．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影A，B两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，两块的周长和． (2)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，的面积差． (3)当取何值时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，并求出这个值． 6．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 7．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 压轴题型四 乘法公式压轴题型 1．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 3．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 4．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 5．综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 6．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 7．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 8．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 压轴题型五 多项式的除法压轴题型 1．已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知为正整数且能被整除，则的最大值为 ． 3．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 4．阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法. 例： ①                            ②          ③                        ④           理解应用： （1）请仿照上面的竖式方法计算：； （2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式. （3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长. 5．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 6．（1）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，余式为，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： 输入 3 2 1 输出答案 ②你发现的规律是： ． ③请用符号语言论证你的发现． 7．如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 8．如图，一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒．已知铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用含a的式子表示图中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱（用含a的式子表示）？ 压轴题型六 整式的乘除混合运算压轴题型 1．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 3．已知a是大于1的实数，且有，成立． (1)若，求的值； (2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由． 4．（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 5．问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___； ___； ___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ； ； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 6．观察并验证下列等式： (1)续写等式__________． (2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论 __________． (3)利用（2）中的结论计算： ①     ② 7．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：______；_____ 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 8．已知代数式：． （1）化简这个代数式； （2）当与为互为相反数时，求代数式的值； （3）若时，这个代数式的值为，求时，这个代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除（6大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 幂的运算压轴题型 1．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 3．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 4．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现； (2)请你通过计算，判断与之间的关系； (3)我们可以发现：____ (4)利用以上的发现计算：. 【答案】（1）=；（2）=；（3）=；（4）. 【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得； （2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得； （3）根据（1）、（2）的规律即可得； （4）逆用积的乘方将原式变形为=，再利用同底数幂进行计算可得． 【详解】（1）我们发现 =     （2）计算得， ∴ （3）我们可以发现： = （）. （4）利用以上的发现计算：= 5．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 6．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 8．观察下面三行单项式： x，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得． 【详解】（1）第①行的第1个单项式为， 第①行的第2个单项式为， 第①行的第3个单项式为， 第①行的第4个单项式为， 归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第①行的第8个单项式为， 故答案为：； （2）第②行的第1个单项式为， 第②行的第2个单项式为， 第②行的第3个单项式为， 第②行的第4个单项式为， 归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第②行的第9个单项式为， 第③行的第1个单项式为， 第③行的第2个单项式为， 第③行的第3个单项式为， 第③行的第4个单项式为， 归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第③行的第10个单项式为， 故答案为：，； （3）由题意得：， 当时，， ， ， 则， ， ． 【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 压轴题型二 整式的乘法压轴题型 1．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 2．一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则 ，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意，找出千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字，再根据条件列数相关算式，即可解决问题； （2）先通过算式分别表示和，在通过条件化简整式，利用条件找出符合题意的最大的A． 【详解】解：（1）由题干可得：千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字 可得： ∵，且为整数， ∴， ∴，解得， 又∵为11的倍数，且为整数， ∴只有当时符合题意，此时； 故答案为：5； （2）∵， ， ∴ 由可得： ， ∴， ， ∵，， ∴， 或时可使为整数， 当时，若，，则，，四位数为；若，，则，，四位数为； 当时，若，，则，，四位数为； 若，，则，，，不符合题意； 所以最大值为； 故答案为：6226． 【点睛】本题属于数与式中的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． 3．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】(1)8，7，128 (2)①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 4．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 5．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究； （1）观察等式找到规律，根据规律即可求解； （2）根据（1）的结论，令，，代入，即可求解； （3）分别表示出，观察式子，即可求解． 【详解】（1）解： …… ∴ （2）计算 解：令，， 则 （3）解：∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时， ∵， ∴ ∴ 6．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为：． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． 7．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 8．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 压轴题型三 整式的乘法与图形面积压轴题型 1．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即． 故选：B． 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）    ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 3．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 4．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影A，B两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，两块的周长和． (2)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，的面积差． (3)当取何值时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，并求出这个值． 【答案】(1)阴影A的周长为：，∴阴影的周长为：，则其周长和为：； (2)阴影A的面积为：，阴影的面积为：，阴影A，的面积差为： ； (3)当y=5时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，这个值是100． 【分析】（1）由图可知阴影A的长为（），宽为（），阴影的长为，宽为，从而可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据题意，使含x的项提公因式x，再令另一个因式的系数为，从而可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意得：阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的周长为： ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的周长为：， ∴其周长和为：； （2）∵阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的面积为：． ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的面积为：， ∴阴影A，的面积差为：． （3）∵阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化， 阴影A，的面积差． ∴当，即时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化． 此时：阴影A，的面积差． 【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个长方形的长与宽． 6．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）令 ， 原式= ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 7．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 压轴题型四 乘法公式压轴题型 1．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 2．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 3．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 【详解】（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 4．阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；② 【分析】本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式． （理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可； （能力提升）①得到和的式子，把，代入求值即可； ②把值代入，然后转化成二次函数求出最值即可． 【详解】（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ②， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 5．综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 6．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 7．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 8．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）62；（3）11 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． （1）第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出； （2）将代入①中等式即可求解； （3）利用正方形和长方形的性质，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可． 【详解】解：（1）第一种： 阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形， ； 第二种： 阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ； ， 故答案为：； （2）将代入①中等式，得： ， 故答案为：62 （3）设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为38， ， ， ， ． 压轴题型五 多项式的除法压轴题型 1．已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 本题考查了整式的加减运算与乘法运算，求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，令得到，，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，A值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； ∵， 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵A能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 令得：，即 ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，A值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 正确的有：③④⑤，共3个． 故选：B． 2．已知为正整数且能被整除，则的最大值为 ． 【答案】890. 【分析】根据题意列出算式，变形后得到900能整除，即可确定最大整数n的值. 【详解】由题意得为整数， 且 ， 能被整除，的最大值为890. 故答案为890 【点睛】此题考查了数的整除性，将算式变形是解题关键，难度较大． 3．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方差公式，去括号，合并同类项，再化简即可，根据通分，分式的除法，完全平方公式、提公因式再化简即可． （2）由（1），可化为，化简得，由于，代入上式即可求得的值． 【详解】（1）化简： ． 化简： ． 故化简可得， ． （2）由（1），可化为， 化简可得， 又∵， 故， 即的值为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法. 例： ①                            ②          ③                        ④           理解应用： （1）请仿照上面的竖式方法计算：； （2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式. （3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长. 【答案】（1）；（2）；（3）m=-8,矩形C的另一边长为5x-10. 【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】解：（1） （2x＋3）（x−5）＝2x2−7x−15 （2） 另一个多项式为：2x2−x＋7 （3）∵矩形B的周长是A周长的3倍 ∴2×（x＋2＋x−2）×3＝2×（x＋10＋x−2＋a） ∴a＝4x−8 所以矩形B的面积为：（x＋8）（5x−10）＝5x2＋30x−80 矩形C的面积与B的面积相等，5x2＋30x−80＝（x＋8）（5x−10）， 故m＝−8，矩形C的另一边为5x−10． 【点睛】本题考查了整式的乘除法，熟练法则是解答此题的关键． 5．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是． 【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法： （1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案； （2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案； （3）利用（1）的规律计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是． 6．（1）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，余式为，求这个多项式． （2）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？ ①填写表格内的空格： 输入 3 2 1 输出答案 ②你发现的规律是： ． ③请用符号语言论证你的发现． 【答案】（1）；（2）①3，2，1；②输入什么数，输出时仍为原来的数；③见解析 【分析】本题主要考查了整式的除法，掌握根据整式的除法法则是本题的关键． （1）先根据已知条件、列出式子，再根据整式的除法法则及运算顺序求解即可； （2）①将3、2、1按照程序依次计算可得结果；②根据表格总结规律即可；③由程序计算的顺序列出算式，再根据整式的除法法则及运算顺序即可求出结果． 【详解】解：（1）据题意得： ； （2）①表格如下： 输入 3 2 1 输出答案 3 2 1 ②答案为：输入什么数，输出时仍为原来的数； ③验证： ． 7．如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1) (2) (3)需要这样的地砖块． 【分析】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，熟练列式是解本题的关键； （1）直接利用长方形的面积公式计算即可； （2）先表示喷泉的长与宽，再结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （3）根据（1）（2）中的结果，计算道路的面积再除以每一块地砖的面积，可以解答本题； 【详解】（1）解：高铁站广场的面积为： ； （2）由图可得，喷泉面积为： ； （3） （块）， 答：需要这样的地砖块． 8．如图，一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒．已知铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用含a的式子表示图中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱（用含a的式子表示）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的长与宽，长宽之积即为铁皮面积； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果． 【详解】（1）原长方形铁皮的面积为： ， （2）这个铁盒需要油漆的面积为： ， 则涂完这个铁盒需要的钱数为： （元）． 压轴题型六 整式的乘除混合运算压轴题型 1．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 2．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 【答案】 12 22 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于23，可得出三个大圆圈上的数字之和为63，结合9个小圆圈的数字之和为45，可求出，由，结合9个小圆圈上的数字的平方和为285，可得出，再代入，即可求出的值． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，， ∴三个大圆圈上的数字之和为， ∵各小圆圈上的数字之和为 ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 故答案为∶12，22． 3．已知a是大于1的实数，且有，成立． (1)若，求的值； (2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1； (2)当时，；当时，；当时，，见解析． 【分析】（1）根据已知条件可得，代入可求的值； （2）根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵①，②， ∴得，， ∴； 得，． （2）∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由（1）中得，， 得，， ∴， ， ∴， ∴③， ④， ∴得， ∴， ∴， 当时，即； 当时，即； 当时，即． 【点睛】本题考查了负整数指数幂：（，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握． 4．（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 【详解】解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 5．问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___； ___； ___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ； ； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 【答案】问题情境 ：（x＋1）2  ，（3x－5）2，（2x＋6）2；归纳猜想：＝4ac；验证结论：（答案不唯一）如：＋4x＋4， 验证：见解析；解决问题：m＝2 【分析】问题情景：可用完全平方公式进行分解因式； 归纳猜想：根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想b2=4ac； 验证结论：可用完全平方公式进行验证； 解决问题：多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2=4ac，可列[-（2m+8）]2=4（m+2）（m+7），进而求出m的值． 【详解】问题情境 ：（x＋1）2  ，（3x－5）2，（2x＋6）2 归纳猜想： ＝4ac 验证结论：（答案不唯一）如：＋4x＋4， 验证：因为＝＝16，4ac＝4×1×4＝16. 所以＝4ac 解决问题：根据题意，得 2＝4（m＋2）（m＋7） 4＋32m＋64＝4（＋9m＋14） 4＋32m＋64＝4＋36m＋56 m＝2 【点睛】本题考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强． 6．观察并验证下列等式： (1)续写等式__________． (2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论 __________． (3)利用（2）中的结论计算： ①     ② 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据已知算式，可得从1开始，几个连续自然数的立方和等于这些自然数的和的平方，据此解答即可； （2）根据已知算式，可得从1开始，几个连续自然数的立方和等于这些自然数的和的平方，据此解答即可； （3）①根据（2）中结论进行求解即可；②根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：∵ ∴可以推出 故答案为： （3）解：① ； ②∵ ， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，整式的混合计算，正确理解题意找到规律是解题的关键． 7．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：______；_____ 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]≥；[拓展提升] 【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可； [知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可； [拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可． 【详解】解：[初步尝试] ， ∴≥； ， ∴≤； [知识应用] = = =≥0 ∴≥； [拓展提升] = = = = 当a=1，b=时，原式=0， ∴≥0， ∴． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键． 8．已知代数式：． （1）化简这个代数式； （2）当与为互为相反数时，求代数式的值； （3）若时，这个代数式的值为，求时，这个代数式的值． 【答案】（1）；（2）-6；（3）． 【分析】（1）代数式先去括号，然后合并同类项进行化简，即可得到答案； （2）由相反数的定义和非负数的性质，求出x和a的值，再代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，当时，得，然后把代入，化简计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式==； （2）∵与为互为相反数， ∴， ∴且， ∴，， 当，时， 原式===6； （3）∵时，这个代数式的值为5， ∴， ∴， 当时， 原式= = = = =． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整式的混合运算，以及相反数的定义，非负数的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！53 学科网（北京）股份有限公司 $$