第11章 整式的乘除知识归纳与题型突破（22类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第11章 整式的乘除知识归纳与题型突破（22类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1．同底数幂的乘法 法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点2．幂的乘方与积的乘方 一、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 特别说明：（1）公式的推广：(为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 三、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点3．整式的乘法 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点4．乘法公式 一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 四、补充公式 ；； ；. 知识点5．整式的除法 一、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 二、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 03 题型归纳 题型一　同底数幂乘法 1．已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据幂的定义进行计算即可 【详解】解： 故选：B 巩固训练 1．已知，，则的值为（ ） A． B．12 C．18 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用，根据代入求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用的知识点． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）m＝7；（2）96 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据，得到即，计算即可； （2）根据，得到，计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， 解得． ∴． 题型二　幂的乘方 1．已知，则的值是（    ） A．12 B． C． D．50 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘及幂的乘方，熟练掌握其运算法则是关键．根据同底数幂相乘及幂的乘方进行计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 2．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．将变形成，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选B． 3．计算：的结果是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘．先计算得到，再逆用同底数幂的乘法，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 巩固训练 1．已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方．化为同底数的幂，然后利用“底数相同，指数越大，数值就越大”“指数相同，底数越大，数值越大”解题． 【详解】解：，， 由于指数相同，底数越大，数值越大， ∴， ∵， ， 由于底数相同，指数越大，数值越大， ∴， ． 故选：D． 2．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用、幂的乘方的逆用，根据，带入计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的乘方运算． （1）由题意可得，由即可得到答案； （2）幂的乘方法则得到，比较指数大小即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵ ∴ （2） ∵ ∴ 题型三　积的乘方 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方．根据积的乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据积的乘方运算运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运用以及同底数幂相乘的逆运用，先整理，再运用积的乘方的逆运用进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选：D 巩固训练 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，根据相应法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算、积的乘方的逆运算和有理数乘方的运算，相关公式有：，．熟练掌握是解决问题的关键． 由同底数幂乘法逆运算、积的乘方的逆运算和有理数乘方进行计算，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：4． 3．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：，，， 而， ； （2）解： ． 题型四　利用单项式的乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 3．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 巩固训练 1．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可． 【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键． 2．若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴3m+2n=7，2m+3=5， 解得m=1，n=2． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知幂的运算及单项式乘法的运算法则． 3．已知和的积与是同类项，求、的值. 【答案】， 【分析】先计算和的积，然后根据积与是同类项，即可求出m、n的值. 【详解】解：， ∵与是同类项，则 ， 解得：. 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，以及同类项的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简. 题型五　计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果正确地是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．要熟记单项式与多项式的每一项都相乘，不要漏项． 根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，单项式乘多项式的乘法法则∶ 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解： 故选：A． 巩固训练 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】 ． 故选：C． 2．有一道题：，“”的地方被墨水弄污了，你认为“”内应填写 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则是解题的关键．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解： ， “”内应填写． 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入数值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式 题型六　利用单项式乘多项式求字母的值 1．若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 2．已知：，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】已知等式左边利用单项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m+n的值． 【详解】=+, ∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2， 则m+n=4+2=6. 故选D 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键. 3．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 巩固训练 1．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 2．若恒成立，则 ． 【答案】-4 【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案． 【详解】解： ， 恒成立， ，，， ，，， 所以． 故答案为：-4． 【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键． 3．若成立，请求出a、b的值． 【答案】， 【分析】先利用单项式乘多项式法则将等式左边化简，再根据多项式定义得出a、b的值． 【详解】由，得 ， ∴，. ∴，. 【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是利用单项式乘多项式法则将等式左边化简. 题型七　多项式乘多项式 1．若n为整数，则代数式的值一定可以（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力．先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解． 【详解】解： ， 该代数式的值一定可以被3整除， 故选：B． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式； 故选A． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据多项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 巩固训练 1．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整体代入求值思想，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先把已知条件变形为，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 题型八　(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．若，则m为（　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得积相加． 先根据多项式乘多项式法则计算，再根据求出即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 3．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先计算多项式乘以多项式，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 故选：B． 巩固训练 1．若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：C． 2．如果（其中，都是整数），那么可取的值共有 个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．直接利用多项式乘以多项式分析得出答案． 【详解】解：， ∴，又a、b为整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值共6个． 故答案为：6． 3．（1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求的值； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）， ． ∴ ． 题型九　已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 2．若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．根据题意，先将代数式通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x的一次项的条件列出关于k的方程即可解得． 【详解】解： ∵计算的结果中不含关于字母的一次项 ∴ ∴ 故选：A． 3．若的展开式中不含项和项，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，根据多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项后，项和项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项和项， ∴， ∴； 故选C． 巩固训练 1．若的结果中不含和项，则的值为（　　） A．11 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，把式子展开，找到所有含和项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∵乘积中不含和项， ∴，， ∴，． ∴． 故选：B． 2．若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为 ． 【答案】125 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵展开式中不含x的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：125． 3．已知展开后的结果中不含和项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和项，即可求出与的值； （2）利用多项式乘以多项式法则计算，将与的值代入求解即可； 【详解】（1）解： ∵展开后的结果中不含和项， ∴， 解得：， （2） 将，代入得： 原式 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键． 题型十　多项式乘法的化简求值 1．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 2．如果，那么的的值为（    ） A．－28 B．26 C．28 D．44 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式法则将等式左边展开，可得，再整理即可得出答案． 【详解】由， 得， 即， 则， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，求出的值是解题的关键． 3．若，则的值是（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】先利用多项式乘多项式的运算法则将展开，然后将代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， 代入得，原式， 故选：B. 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键. 巩固训练 1．若且，则代数式的值为（    ） A． B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】将、代入原式，计算可得． 【详解】解：当、时， 原式 ， 故选D． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用． 2．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值；有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．先根据多项式乘以多项式运算法则把化简，再把变为整体代入化简的结果即可得问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．先化简，再求值： (1) ，其中； (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x的值代入即可求解； （2）根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x、y的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则等知识，解题的关键是掌握乘法运算法则，属于中考常考题型． 题型十一　多项式乘多项式与图形面积 1．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形，表示出花园的长和宽，再计算即可． 【详解】由题意可得，花园的长为，宽为， ∴花园的面积为， 故选：D． 2．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积， 阴影部分的面积， 图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积， 阴影部分的面积， ． 故选：B． 3．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，设这个正方形的边长为，由题意得，，再解方程可得答案． 【详解】解：设这个正方形的边长为，由题意得， ， 解得：， ∴长方形的长为，宽为； 故选：A． 巩固训练 1．如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 【详解】、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为， ， 故选：D． 2．某街心花园有一块长为a米，宽为b米的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米，改造后仍得到一块长方形的草坪．改造后长方形草坪的面积与原草坪面积相差 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以在几何图形中的应用，分别表示出改造前后长方形的面积，然后相减即可得到答案． 【详解】解；改造前的长方形面积为平方米， 改造后的长方形面积为平方米 ∴改造后长方形草坪的面积与原草坪面积相差平方米， 故答案为：． 3．【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 题型十二　多项式乘法中的规律性问题 1．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．据图形中的规律即可求出的展开式中从左起第五项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 第三项系数为． 故选：D 2．观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据图示，得到，将各选项逐一代入，验证即可． 【详解】解：由图示可得：， A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 3．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】 本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 巩固训练 1．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A．， B．，7 C．2， D．2，7 【答案】A 【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：A． 2．观察下列等式：；；，…，小明发现其中蕴含着一定的运算规律．并利用这个运算规律求出了式子 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探究－多项式乘以多项式，根据所给算式总结规律求解即可． 【详解】解：∵； ； ， …， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据解析（1）的结果，得出的规律，即可得到结果； （3）根据解析（2）得出结论，把变形为求出结果即可；把变形为求出结果即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：由； ； ； …… ； （3）解： ； ． 题型十三　平方差公式 1．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据完全平方公式和平方差公式进行分析判断，即可作答． 【详解】A、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； B、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； C、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； D、原式，原式能用平方差公式进行计算，此选项符合题意； 故选：D． 2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意； 故选：B． 3．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．根据平方差公式的特点直接可得到答案． 【详解】解：A、两个二项式中都是相反的项，不符合平方差公式的特点； B、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式的特点； C、两个二项式中没有完全相同的项，不符合平方差公式的特点； D、两个二项式中有一项完全相同，另一项不是互为相反数，不符合平方差公式的特点； 故选：B． 巩固训练 1．下列运算不能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：． 【详解】解：A、能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，符合题意； C、能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：B． 2．已知，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，将分解为，再整体代入求出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． 故答案为：4． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 题型十四　平方差公式与几何图形 1．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解答． 【详解】解：图①中阴影面积为， 图②中阴影面积为， 根据根据两部分阴影面积相等可以得到． 故选：B 2．通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积为两个正方形的面积之差，还可以表示为两个梯形的面积，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分面积可以表示为， 还可以表示为， ∴， 故选：A． 3．王大爷改建一个边长为米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（    ） A．面积减少 B．面积减少 C．面积增加 D．面积增加 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．求出变化前后面积差即可． 【详解】解：变化前正方形的面积为， 变化后的长为米，宽为米，因此面积为， 所以变化后面积减少， 故选：B． 巩固训练 1．将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形，解题关键是熟练掌握图形变形前后的面积相等． 利用变形前后两个图形的面积相等，建立等式即可． 【详解】解：由图可得长为，宽为的长方形面积为； 由图可得两个长方形面积为， 从图到图可以解释的等式是． 故选：． 2．如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出图形之间的面积关系是解题关键．图：四个全等的四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图：四个全等的四边形的面积等于平行四边形的面积，由此即可得． 【详解】解：图：四个全等的四边形的面积为， 图：四个全等的四边形的面积为， 则可以验证的乘法公式是， 故答案为：． 3．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积（上底下底）高）． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含、的式子表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题． （1）利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解； （2）根据（1）所得的两个式子相等即可得到． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ． ； （2）根据题意得： ． 题型十五　完全平方公式 1．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的运算，熟练掌握整式乘法的公式是解题的关键．利用乘法公式依次计算判断即可． 【详解】解：A和B中、，故选项A和B错误，不符合题意； C中、，故选项错误，不符合题意； D中、由，， 则， 故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式．根据完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了完全平方公式，本题关键是把变形为．先变形为，把看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．下列四个多项式是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对完全平方式的运用，注意：完全平方式有和．完全平方式有和，根据式子的特点判断即可． 【详解】解：A、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； B、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； C、此式子不是完全平方式，故此选项不符合题意； D、，此式子是完全平方式，故此选项符合题意． 故选：D． 2．对于任何有理数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算以及整式的运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义变形得出原式，化简，得出，再代入原式进行计算即可得到结果． 【详解】解：利用题中的新定义化简得： 原式， 由，得到， 则原式． 故答案为：． 3．阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 【答案】(1)，对称轴是 (2) 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形后根据新定义求解即可； （2）由多项式关于对称可设，化简后即可求出的值． 【详解】（1）∵ ∴对称轴是； （2）∵多项式关于对称， ∴， ∴， ∴． 题型十六　完全平方公式与几何图形 1．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故选：C． 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据图形列出代数式，利用完全平方公式计算即可． 【详解】根据题意得， ． ∴该长方形的面积为． 故选：C． 3．如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．13 B． C．37 D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积可利用正方形面积的一半减去空白小三角形的面积进行计算．此题考查了完全平方公式的几何背景应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行计算． 【详解】解：由完全平方公式， ∵，， ∴， 阴影部分的面积为： ， 故选：B 巩固训练 1．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则,由题意得、，据此即可求解． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则, ∴ ∵点H为的中点， ∴ ∵图2的阴影部分面积， ∴ 故： ∴图1的阴影部分面积 故选：B． 2．如图，点C是线段上的一点，分别以为边向两侧作正方形，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式．设，，由题意得：，，再根据完全平方公式的变式，即可求出的值． 【详解】解：设，， 由题意得：，， 则， ， ， （负值已舍）， 即． 故答案为：． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_______； (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①_______； ②_______． (3)观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_______． (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①② (3) (4)3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键． （1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）利用完全平方公式将原式变形为，再根据非负数的性质可求出最小值为3． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4） ∵，， ∴，即最小值为3． 题型十七　通过对完全平方公式变形求值 1．已知，则的值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，通过运用完全平方公式的应用得出，代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：B 2．已知，，则（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，首先根据完全平方公式将变形，然后代入计算即可．正确掌握完全平方公式及灵活变形求值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 3．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键. 将两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故选B 巩固训练 1．已知，，则的值为（    ） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】B 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及公式的变形是解题关键． 利用完全平方公式得出，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 2．已知=4，那么的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式计算即可. 【详解】解：=4， ，即， . 3．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，平方根的求解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入求解即可； （2）利用完全平方公式得到，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 题型十八　同底数幂的除法 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法计算解答即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选B． 2．已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算，利用幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算法则，以及整体思想，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法、根据合并同类项，同底数幂的除法法则逐项排除即可，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则，正确转化为同底数幂的除法是解题关键．利用同底数幂的除法运算法则得出，进而代入已知求出即可． 【详解】解：． 故选：A 2．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：． 3．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 题型十九　幂的混合运算 1．若，则的值是(   ). A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】直接利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，求出，再代入中计算出结果 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算，解题的关键是：正确掌握相关运算法则． 2．若2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n等于（　　） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则结合幂的乘方运算法则将原式变形求出答案． 【详解】解：∵2m＝3，2n＝4， ∴23m﹣2n ＝23m÷22n ＝（2m）3÷（2n）2 ＝33÷42 ＝， 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，灵活逆用法则是关键． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式的乘除运算法则进行计算即可得解. 【详解】， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握整式的乘除运算法则是解决本题的关键. 巩固训练 1．计算下列各式①  ②  ③  ④正确的有（   ）题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则即可判断. 【详解】①，故错误；   ② ，正确 ③ ，正确 ④，正确 故选B 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式. 2．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 3．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法运算和幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数乘除即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘以多项式即可； （3）直接计算多项式乘以多项式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 题型二十　多项式的除法 1．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用多项式除以单项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 这个多项式是：； 故选：A． 2．当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式除以单项式的运算法则，要注意解题格式，留心各项符号．先进行多项式除以单项式的运算，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 故选：C 3．下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，本题要依照多项式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可． 【详解】解：①，故①计算错误，不符合题意； ②，故②计算错误，不符合题意； ③，故③计算正确，符合题意； ④，故④计算正确，符合题意． 所以，运算正确的是③④， 故选：B 巩固训练 1．若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接列式利用多项式除以单项式进行计算即可． 【详解】解：∵A与的积为， ∴ ； 故选C 2．化简的结果为 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式，单项式除以单项式法则先运算，然后合并计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶． 3．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式： （1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴所捂的多项式为； （2）解：当时， ． 题型二十一　科学记数法 1．已知为整数)，若的值不超过为整数)，那么整数能够取的最大值(用含的式子表示)是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据科学记数法及同底数幂的乘法运算得到=2.018，又因为若的值不超过，列不等式求解即可. 【详解】解：∵=2.018，的值不超过为整数)， ∴2.018≤，即2.018≤10×, ∵2.018﹤10, ∴k-6≦-n-1, ∴k≤-n+5, 故选C. 【点睛】此题主要考查了科学记数法及同底数幂的乘法运算，正确的运用科学记数法是解决问题的关键. 2．已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：它工作时的运算次数为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则时解决本题的关键． 3．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值． 【详解】解：如果实施5次运算结果为1， 则变换中的第6项一定是1， 则变换中的第5项一定是2， 则变换中的第4项一定是4， 则变换中的第3项可能是1，也可能是8． 则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8. 则变换中第2项是16． 则的所有可能取值为32或5，一共2个， 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键． 巩固训练 1．太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辐射能功率为（ ）千瓦．（用科学记数法表示，保留2个有效数字） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选A. 2．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 【答案】 【分析】根据题意，乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握科学记数法以及同底数幂的乘法是解题的关键． 3．美国“惠更斯”号探测器安全降落在土卫六的表面，开始了对土卫六的实地勘测，同时也结束它长达7年之久的星际旅行．“惠更斯”号从地球飞往土卫六的平均速度大约为1.67×米/秒，若每年按秒计算, “惠更斯”号探测器的这次旅行行走了多远？ 【答案】米． 【分析】依题意将1.67×与相乘即可求出. 【详解】1.67×××7=（米）． 【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法公式的实际应用，根据题意列关系式是解题的关键. 题型二十二　整式四则运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查积的乘方运算及整式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方运算，然后计算整式的乘除法即可； （2）先计算单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） ． 2．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）先根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算、同底数幂的乘法与除法、积的乘方： （1）先计算同底数幂的乘法与除法、积的乘方，再合并即可求解； （2）利用整式的混合运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 巩固训练 1．对于多项式：，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算出结果，称之为“积差操作”．例如：，…下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题根据题目的要求，罗列所有情况，进行求解即可解答，是中考常考的题型． 根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． 【详解】 解：； ； ； ； ； ； ①说法错误； ②说法正确； ③说法正确； 故选:C． 2．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为，底面长方形的一边长为b（），则这个长方形纸板的面积是 ．    【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及长方体的体积，长方形的面积的求法，由长方体的容积求出底面长，进而表示出长方形纸板的长与宽，表示出面积即可．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：设长方体的底面长方形的另一边为， 根据题意得：， 解得：， 则长方形纸板的长为，宽为， ∴这个长方形纸板的面积是， 故答案为：． 三、解答题 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，后算单项式的除法； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除知识归纳与题型突破（22类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1．同底数幂的乘法 法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点2．幂的乘方与积的乘方 一、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 特别说明：（1）公式的推广：(为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 三、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点3．整式的乘法 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 知识点4．乘法公式 一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 四、补充公式 ；； ；. 知识点5．整式的除法 一、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 二、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 03 题型归纳 题型一　同底数幂乘法 1．已知，则的值（    ） A．32 B．16 C．4 D．2 2．化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 3．可以表示为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，，则的值为（ ） A． B．12 C．18 D．22 2．已知，，则 ． 3．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 题型二　幂的乘方 1．已知，则的值是（    ） A．12 B． C． D．50 2．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．计算：的结果是（　　） A． B．1 C． D． 巩固训练 1．已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则 ． 3．比较与的大小 解：因为，， 因为， 所以 请根据上述解答过程接解答 (1)比较的大小； (2)，比较的大小． 题型三　积的乘方 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 巩固训练 1．（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 题型四　利用单项式的乘法求字母或代数式的值 1．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 3．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 巩固训练 1．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则 ， ． 3．已知和的积与是同类项，求、的值. 题型五　计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果正确地是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．有一道题：，“”的地方被墨水弄污了，你认为“”内应填写 ． 3．先化简，再求值：，其中． 题型六　利用单项式乘多项式求字母的值 1．若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 2．已知：，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 巩固训练 1．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 2．若恒成立，则 ． 3．若成立，请求出a、b的值． 题型七　多项式乘多项式 1．若n为整数，则代数式的值一定可以（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．化简：． 题型八　(x+p)(x+q)型多项式乘法 1．若，则m为（　　） A．2 B． C．8 D． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．方程的解是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．9 2．如果（其中，都是整数），那么可取的值共有 个． 3．（1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求的值； 题型九　已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 2．若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 3．若的展开式中不含项和项，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．若的结果中不含和项，则的值为（　　） A．11 B．5 C． D． 2．若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为 ． 3．已知展开后的结果中不含和项． (1)求、的值； (2)求的值． 题型十　多项式乘法的化简求值 1．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 2．如果，那么的的值为（    ） A．－28 B．26 C．28 D．44 3．若，则的值是（　　） A． B． C．5 D．3 巩固训练 1．若且，则代数式的值为（    ） A． B．5 C．3 D．0 2．已知，则的值为 ． 3．先化简，再求值： (1) ，其中； (2)，其中． 题型十一　多项式乘多项式与图形面积 1．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 2．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 3．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 2．某街心花园有一块长为a米，宽为b米的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米，改造后仍得到一块长方形的草坪．改造后长方形草坪的面积与原草坪面积相差 平方米． 3．【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 题型十二　多项式乘法中的规律性问题 1．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 2．观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 3．观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 巩固训练 1．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A．， B．，7 C．2， D．2，7 2．观察下列等式：；；，…，小明发现其中蕴含着一定的运算规律．并利用这个运算规律求出了式子 ． 3．通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 题型十三　平方差公式 1．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列运算不能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则 ． 3．已知，求的值． 题型十四　平方差公式与几何图形 1．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 2．通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 3．王大爷改建一个边长为米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（    ） A．面积减少 B．面积减少 C．面积增加 D．面积增加 巩固训练 1．将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 3．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积（上底下底）高）． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含、的式子表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 题型十五　完全平方公式 1．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列四个多项式是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 2．对于任何有理数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值是 ． 3．阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 题型十六　完全平方公式与几何图形 1．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．13 B． C．37 D． 巩固训练 1．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ）    A．3 B． C． D．2 2．如图，点C是线段上的一点，分别以为边向两侧作正方形，若，，则 ． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_______； (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①_______； ②_______． (3)观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_______． (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值． 题型十七　通过对完全平方公式变形求值 1．已知，则的值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．已知，，则（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 3．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 巩固训练 1．已知，，则的值为（    ） A．5 B．9 C．13 D．17 2．已知=4，那么的值是 ． 3．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 题型十八　同底数幂的除法 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 2．若，，则的值为 ． 3．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 题型十九　幂的混合运算 1．若，则的值是(   ). A．8 B．10 C．12 D．15 2．若2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n等于（　　） A． B． C． D．11 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．计算下列各式①  ②  ③  ④正确的有（   ）题 A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．计算： (1) (2) (3) 题型二十　多项式的除法 1．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．当时，代数式的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 3．下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 巩固训练 1．若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果为 3．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 题型二十一　科学记数法 1．已知为整数)，若的值不超过为整数)，那么整数能够取的最大值(用含的式子表示)是（    ） A． B． C． D． 2．已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（　　） A． B． C． D． 3．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 巩固训练 1．太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辐射能功率为（ ）千瓦．（用科学记数法表示，保留2个有效数字） A． B． C． D． 2．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 3．美国“惠更斯”号探测器安全降落在土卫六的表面，开始了对土卫六的实地勘测，同时也结束它长达7年之久的星际旅行．“惠更斯”号从地球飞往土卫六的平均速度大约为1.67×米/秒，若每年按秒计算, “惠更斯”号探测器的这次旅行行走了多远？ 题型二十二　整式四则运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算 (1) (2) (3) (4) 3．化简： (1)； (2)． 巩固训练 1．对于多项式：，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算出结果，称之为“积差操作”．例如：，…下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为，底面长方形的一边长为b（），则这个长方形纸板的面积是 ．    3．计算： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$