第11章 整式的乘除【考点卷】（16大核心考点）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第11章 整式的乘除【考点卷】（16大核心考点） 考点一 同底数幂的乘法（共5题） 1．式子的运算结果与下列运算结果一致的是（  ） A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘 2．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则 ． 4．已知，则 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 考点二 幂的乘方与积的乘方（共6题） 1．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（     ） A．28 B．14 C．11 D．18 4．计算： ． 5．计算： ． 6．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 考点三 单项式的乘法（共4题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 4．化简： (1)； (2)． 考点四 单项式乘法的应用（共5题） 1．神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．如果长方体的长为，宽为a，高为，则它的体积是 （用含a的式子表示）． 4．如图，四边形和都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为 ．（结果要求化简） 5．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 考点五 多项式的乘法（共5题） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么x的值是 ． 4．若，则的值为 ． 5．计算： (1)． (2) (3) 考点六 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共5题） 1．已知 ，那么 、 的值分别是（    ） A． ， B．， C． ， D． ， 2．若，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若，，则的值是 ． 4．若多项式，则 ． 5．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 考点七 多项式乘法的化简求值（共5题） 1．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 2．已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 3．已知， ． 4．如果，那么的值为 ． 5．已知求代数式的值． 考点八 多项式乘积不含某项求字母的值（共5题） 1．要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．若的运算结果中不含x项，则a的值为 ． 4．已知的展开式中不含项和项，则的值为 ． 5．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是． (1)求m，n的值； (2)求的值． 考点九 多项式乘法与图形面积（共5题） 1．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（    ）    A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 2．学校计划在一块长米，宽米的矩形荒地上，建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和，现在长、宽上分别剪去宽为的纸条，则剩余部分（阴影部分）的面积 ，其中 是自变量． 4．如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 5．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 考点十 多项式乘法中的规律性问题（共5题） 1．由多项式乘法可得：即得等式：我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 3．如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 4．数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律，求： ． 5．观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 考点十一 平方差公式（共5题） 1．计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3． ． 4．若，且，则 ． 5．利用公式计算： (1)； (2)． 考点十二 完全平方公式（共5题） 1．下列多项式中不是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是 ． 4．若，则的值为 ． 5．多项式的乘法： (1)； (2)． 考点十三 乘法公式与几何图形（共5题） 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），则拼成的长方形面积为（　　） A． B．15 C．3 D． 2．如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ． 4．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 5．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 考点十四 同底数幂的除法（共5题） 1．，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 3．若，，则的值为 ． 4．如果 ，，那么 ． 5．已知， (1)求和的值； (2)求的值． 考点十五 科学记数法（共5题） 1．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示） 4．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 5．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 考点十六 整式四则运算（共5题） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．化简： ． 4．化简： 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除【考点卷】（16大核心考点） 考点一 同底数幂的乘法（共5题） 1．式子的运算结果与下列运算结果一致的是（  ） A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算出结果，再根据乘方的意义即可判断． 【详解】解：，表示5个a相乘， 故选：C． 2．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 3．已知，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行变形，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：8． 4．已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 考点二 幂的乘方与积的乘方（共6题） 1．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法．根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 3．若，，则的值为（     ） A．28 B．14 C．11 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则化简计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 4．计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂的乘法的逆运算法则将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则将原式变形为，进而计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法和乘方运算，根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）由题意得出，即可得出答案； （2）将代入可得答案． 【详解】（1）解：． ， ， ； （2）解：， ， ． 考点三 单项式的乘法（共4题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法，熟练掌握单项式的乘法法则是解题的关键，根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则以及积的乘方，先计算乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键， 根据单项式的乘除法计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴等号右边的数字依次为等号左边代数式中x，y，z的次数 ∵ ∴他输入的密码是2024． 故答案为：2024． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方、合并同类项，熟记它们的运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方，单项式乘单项式计算，再合并同类项即可； （2）先根据积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点四 单项式乘法的应用（共5题） 1．神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 2．如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式乘法的应用，理解拼图的过程，得出拼成长方形的长与宽是解决问题的关键．根据拼图的过程可得出长方形的长与宽，进而表示其面积即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：cm， 宽为：（cm）， 所以长方形的面积为： 故选：D． 3．如果长方体的长为，宽为a，高为，则它的体积是 （用含a的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的体积和整式乘法，其中正确使用整式乘法进行计算是解答本题的关键. 先用长方体的体积公式表达出来，然后再用整式乘法计算化简即可. 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：. 4．如图，四边形和都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为 ．（结果要求化简） 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积S为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积S为 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据图形列代数式以及求单项式乘以多项式的知识，分析题意，正确求出阴影部分的面积是解题的关键． 5．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【答案】(1)（平方分米） (2)360元 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （平方分米） ∴盒子的外表面积为平方分米； （2）解：当，时， （平方分米） 则喷漆的费用为（元）． 答：喷漆共需要360元． 考点五 多项式的乘法（共5题） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．如果，那么x的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可． 【详解】解： ， 解得， 故答案为：1． 4．若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查多项式乘法，掌握多项式乘法展开是解题关键. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴， 解得， 则 故答案为：0 5．计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的乘法： （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 考点六 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共5题） 1．已知 ，那么 、 的值分别是（    ） A． ， B．， C． ， D． ， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可求出，的值． 【详解】解： 故， ， 故选：A 2．若，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值和多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．先计算，再代入求值即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 4．若多项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先按照多项式乘以多项式得出a，b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 考点七 多项式乘法的化简求值（共5题） 1．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 2．已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用多项式乘多项式法则化简多项式，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 3．已知， ． 【答案】17 【分析】本题考查多项式乘多项式并求值，根据多项式成多项式的法则进行求解，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：17． 4．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及代数式的化简求值，先解一元一次方程方程求出x的值，然后化简式子，最后代入求值即可． 【详解】解：， 即． 考点八 多项式乘积不含某项求字母的值（共5题） 1．要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 2．已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项可得，则该项系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， 由于结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：A． 3．若的运算结果中不含x项，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含x项的系数为0，求出a即可． 【详解】解： ∵运算结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：1 4．已知的展开式中不含项和项，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组的应用，能得出关于、的方程是解此题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于、的方程，求出、即可． 【详解】解： ， 的展开式中不含项和项， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 5．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)35 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值； （2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含x的一次项，常数项是， 则且， 解得：，； （2）由（1）可知：，， 原式 ． 考点九 多项式乘法与图形面积（共5题） 1．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（    ）    A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的运用．由题意知要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形的面积应该等于的积，运算多项式乘多项式法则展开即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 需要类卡片4张， 故选：C． 2．学校计划在一块长米，宽米的矩形荒地上，建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结果． 【详解】解：图1的阴影部分的面积可表示为：； 图2中的阴影部分的面积可表示为：， ∴可以验证的计算式子是； 故选D． 3．如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和，现在长、宽上分别剪去宽为的纸条，则剩余部分（阴影部分）的面积 ，其中 是自变量． 【答案】 【分析】本题考查了用代数表示式，熟悉掌握长方形的面积公式是解题的关键． 根据长方形面积公式列式即可． 【详解】解：阴影部分， 其中自变量为， 故答案为：；． 4．如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形的面积，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张； 故答案为：7． 5．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； （3）解：、， ∴， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 考点十 多项式乘法中的规律性问题（共5题） 1．由多项式乘法可得：即得等式：我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据立方和公式为两数和乘以两数的平方和与两数积的差，进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误； B、，正确； C、，原选项变形错误； D、，原选项变形错误； 故选B． 2．我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律型问题，解题的关键是正确理解题中给出的规律．根据规律求出的展开式中的系数，以进行降幂排列，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 展开式中各项系数为：1，4，6，4，1， 展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1， 展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，其中位于第二项， ∴含有这一项的系数为； 故选B． 3．如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出的展开式中含项的系数． 【详解】解：根据题意得：， ， 所以的展开式中含项的系数是15． 故答案为：15． 4．数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律，求： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，将所求式子前配上就符合范例中的结构特征，再根据规律计算即可．熟练掌握范例中的规律是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）①读懂题意，按照题中的规律填空；②按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子． 【详解】（1）解：① ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 考点十一 平方差公式（共5题） 1．计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，先将式子变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式的结构．公式．可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故错误； B、原式，不符合平方差公式的形式，故错误； C、原式不符合平方差公式的形式，故错误； D、原式，符合平方差公式的形式，故正确． 故选：D． 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再连续利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 故答案为： 4．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形计算，代入求值的运用，根据题意分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 已知, ∴， ∴原式， 故答案为： ． 5．利用公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式简化运算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）根据题目式子的结构特征，将式子化为，利用平方差公式求解即可得到答案； （2）直接利用平方差公式变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点十二 完全平方公式（共5题） 1．下列多项式中不是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式逐项判断即可求出答案． 【详解】解：A．不符合完全平方式的特点，故A不是完全平方公式，符合题意； B．，故B是完全平方公式，故不符合题意； C．，故C是完全平方式，故不符合题意； D．，故D是完全平方公式,故不符合题意； 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式．根据完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查消元思想及完全平方公式，熟练掌握消元思想及完全平方公式是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故答案为1． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式，即可求出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．多项式的乘法： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的乘法及乘法公式： （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式去括号求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点十三 乘法公式与几何图形（共5题） 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），则拼成的长方形面积为（　　） A． B．15 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】解： ． 故选A． 2．如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键． 由完全平方公式，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：∵正方形和的面积之和为17， ∴， ∵长方形的周长是10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴长方形的面积是4． 故选：B． 3．如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 5．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图3的面积即可； （3）设正方形的边长m，正方形的边长为n，由于两个正方形面积之和为，且得，，用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得； 掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【详解】（1）解：图2“整体”上是边长为的正方形，因此面积为，图2中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：图3“整体”上是棱长为的正方体，因此体积为，分割成的8个部分的体积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长m，正方形的边长为n， 由于两个正方形面积之和为，且， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴ ＝． 考点十四 同底数幂的除法（共5题） 1．，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，根据同底数幂乘法计算法则得到原式，再由同底数幂除法的逆运算法则得到原式，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 3．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方等知识，逆用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 4．如果 ，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．已知， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则． （1）由已知等式利用幂的运算法则得出、，据此可得答案； （2）将、的值代入计算可得 【详解】（1）解：，， ，， 则，； （2）当，时， ． 考点十五 科学记数法（共5题） 1．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 2．2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答． 【详解】解：21分20秒=1280秒， ×1280 =（米）， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成的形式即可． 【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数法的表示方法． 4．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 【答案】 【分析】根据题意，乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握科学记数法以及同底数幂的乘法是解题的关键． 5．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 考点十六 整式四则运算（共5题） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，根据平方差公式进行计算，然后再计算除法，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 3．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：积的乘方与幂的乘方，单项式乘单项式，以及合并同类项，熟练掌握法则是解本题的关键．利用相关运算法则计算化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．化简： 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算乘法，在合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，多项式乘多项式，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式等知识．熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，然后根据同底数幂的乘法计算求解即可； （2）根据单项式除以单项式，同底数幂的除法计算求解即可； （3）先分别计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并同类项即可； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$