第04讲 整式的乘法（3个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第04讲 整式的乘法（3个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点2：单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点3：整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型一：单项式乘单项式（共9小题） 1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算　　． 2．（2023秋•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示：　　 ． 3．（2023秋•闵行区校级月考）　　 ． 4．（2022秋•杨浦区期中）计算：． 5．（2023秋•闵行区期中）计算：． 6．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 7．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 9．（2023秋•闵行区校级期中）计算：． 题型二：单项式乘整式（共11小题） 10．（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 11．（2023秋•松江区期末）计算：　　． 12．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 13．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 14．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 15．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 16．（2023秋•浦东新区期中）计算：． 17．（2023秋•松江区月考）计算：． 18．（2023秋•松江区月考）计算：． 19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 20．（2022秋•青浦区期中）试用整式的运算说明：当时，我们计算可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算时，可以口算，，则最终结果为 题型三：整式乘整式（共10小题） 21．（2023秋•静安区校级月考）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片　　 A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 22．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为　　 A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7 23．（2023秋•浦东新区期末）若，则的值为　　 A． B． C．5 D．1 24．（2023秋•浦东新区期末）计算：　 　． 25．（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 26．（2023秋•崇明区期末）计算：　 　． 27．（2023秋•青浦区期末）如图，现有边长为的正方形、边长为的正方形和长为宽为的长方形的三类纸片（其中．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要类纸片 　　张． 28．（2022秋•青浦区期中）已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 　　． 29．（2022秋•青浦区期中）计算：． 30．（2022秋•长宁区校级月考）计算： 一．选择题（共5小题） 1．（2022秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•松江区月考）的结果是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•闵行区校级月考）若、为整数，且，则不可能是　　 A．7 B．6 C． D． 5．（2023秋•静安区校级月考）若单项式和的积为，则的值为　　 A．2 B．30 C． D．15 二．填空题（共8小题） 6．（2023秋•宝山区期末）计算：　　． 7．（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 8．（2023秋•普陀区期末）计算：　　． 9．（2023秋•静安区校级月考）若的乘积中不含和项，　　． 10．（2022春•冷水滩区校级期中）若二项式与相乘，化简后结果中不出现一次项，则的值是 　　． 11．（2022秋•杨浦区期末）已知：，，化简的结果是 　　． 12．（2022秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 13．（2022秋•长宁区校级期中）若、、均为整数，且，则的值为 　　． 三．解答题（共8小题） 14．（2023秋•松江区月考）计算：． 15．（2023秋•闵行区校级月考）计算： （1）； （2）． 16．（2023秋•松江区月考）计算：． 17．（2023秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． 18．（2023秋•武侯区校级期末）若的展开式中不含和的项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 19．（2024•灞桥区校级开学）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形空地．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为，宽为的长方形花圆，并将花圆四周余下的空地修建成通道，请用含有、的代数式表示通道的面积． 20．（2023秋•静安区校级月考）探究应用： （1）计算：　　；　　． （2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母、的等式表示该公式为：　　． （3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是　　． ． ． ． ． （4）设，利用上述规律，说明能被37整除． 21．（2023秋•右玉县期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2．长方形的两边长分别为，．（其中为正整数） ． （1）图1中长方形的面积　　；图2中长方形的面积　　；比较　　（选填“”、“ ”或“” ； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，并求出这个常数． 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【点评】此题考查了整式乘法和科学记数法的混合运算能力，关键是能准确确定运算方法，并能进行正确的计算． 3．（2023秋•闵行区校级月考）　　． 【分析】根据单项式乘单项式法则计算后利用科学记数法表示出结果即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查单项式乘单项式及科学记数法表示较大的数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2022秋•杨浦区期中）计算：． 【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式分别化简，进而合并同类项得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2023秋•闵行区期中）计算：． 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方进行化简，再运用同类项法则进行合并，即可作答． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】利用单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 9．（2023秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，进行计算即可求解． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则是解题的关键． 题型二：单项式乘整式（共11小题） 10．（2023秋•奉贤区期中）计算：　　． 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11．（2023秋•松江区期末）计算：　　． 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 12．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算得出答案． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了单项式与多项式相乘的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式． 【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查单项式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 15．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【分析】根据单项式乘多项式的计算方法进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的前提． 16．（2023秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17．（2023秋•松江区月考）计算：． 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，，为正整数．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，为正整数． 18．（2023秋•松江区月考）计算：． 【分析】先算单项式乘多项式，积的乘方，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】先计算单项式乘单项式，再根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握幂的运算是关键． 20．（2022秋•青浦区期中）试用整式的运算说明：当时，我们计算可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算时，可以口算，，则最终结果为 【分析】根据，转换成多项式乘以多项式计算说明即可． 【解答】解：因为，，， 所以， ． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握两位数的表示法，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 题型三：整式乘整式（共10小题） 21．（2023秋•静安区校级月考）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片　　 A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【分析】由，得类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，因此需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片5张． 【解答】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片5张． 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 22．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为　　 A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积． 【解答】解：长方形的面积为， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片7张． 故选：． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型． 23．（2023秋•浦东新区期末）若，则的值为　　 A． B． C．5 D．1 【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算出的结果，然后求出的值即可． 【解答】解： ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 24．（2023秋•浦东新区期末）计算：　　． 【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号， 进而合并同类项得出即可 ． 【解答】解： 原式． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式， 正确掌握运算法则是解题关键 ． 25．（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 【分析】根据多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键． 26．（2023秋•崇明区期末）计算：　　． 【分析】利用多项式乘多项式的乘法展开计算，进一步合并即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查多项式乘多项式，掌握计算方法是解决问题的关键． 27．（2023秋•青浦区期末）如图，现有边长为的正方形、边长为的正方形和长为宽为的长方形的三类纸片（其中．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要类纸片 　10　张． 【分析】根据长方形的面积长宽，求出长为、宽为的长方形的面积是多少，判断出需要类卡片多少张即可． 【解答】解：长为、宽为的长方形的面积为： ， 正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为， 需要类卡片6张，类卡片6张，类卡片10张， 故答案为：10． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的运算方法，解题关键是熟练掌握运算法则． 28．（2022秋•青浦区期中）已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 　　． 【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得，，求解即可得，的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案． 【解答】解： ， 根据题意，展开式中不含三次项和四次项， ，， 解得，， ，， 即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为， 展开式中二次项和一次项的系数之和为． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式运算、多项式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，正确展开原式是解题关键． 29．（2022秋•青浦区期中）计算：． 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，即可得出结论． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确运用同底数幂的乘法是解题的关键． 30．（2022秋•长宁区校级月考）计算：． 【分析】根据整式的混合运算法则先算乘法，然后计算加减即可求解． 【解答】解： ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和顺序． 一．选择题（共5小题） 1．（2022秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项正确，符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 3．（2023秋•松江区月考）的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2023秋•闵行区校级月考）若、为整数，且，则不可能是　　 A．7 B．6 C． D． 【分析】根据，、为整数，可得、有6组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【解答】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为6， 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解． 5．（2023秋•静安区校级月考）若单项式和的积为，则的值为　　 A．2 B．30 C． D．15 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出，即可， 【解答】解：， ，， 解得，， ， 故选：． 【点评】此题考查了单项式乘单项式，关键是求得，的值． 二．填空题（共8小题） 6．（2023秋•宝山区期末）计算：　　． 【分析】先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键． 7．（2023秋•普陀区校级期末）计算：　　． 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，准确计算． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式运算法则是关键． 8．（2023秋•普陀区期末）计算：　　． 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 9．（2023秋•静安区校级月考）若的乘积中不含和项，　4　． 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，，即可求出答案． 【解答】解： ， 其结果中不含和项， ，， 解得：，， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 10．（2022春•冷水滩区校级期中）若二项式与相乘，化简后结果中不出现一次项，则的值是 　　． 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不出现一次项确定出的值即可． 【解答】解：根据题意得：， 由结果中不出现一次项，得到， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2022秋•杨浦区期末）已知：，，化简的结果是 　　． 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：，， 原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2022秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　2　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【解答】解：长为，宽为的矩形面积为：， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片7张． 故答案为：2；3；7． 【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 13．（2022秋•长宁区校级期中）若、、均为整数，且，则的值为 　2或或14或　． 【分析】将展开，根据结果得到，，再结合，的范围求出具体值，代入计算可得值． 【解答】解：， 则，， 、、均为整数， ，或，，，或，，， 或， 故答案为：2或或14或． 【点评】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的，值． 三．解答题（共8小题） 14．（2023秋•松江区月考）计算：． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即，是正整数）．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即是正整数）． 15．（2023秋•闵行区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘分别计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（2023秋•松江区月考）计算：． 【分析】先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 17．（2023秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． 【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【解答】解： ， 展开式中不含和项， ，， 解得：，． 【点评】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 18．（2023秋•武侯区校级期末）若的展开式中不含和的项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【分析】（1）把首先利用多项式乘多项式法则进而得出原式的展开式的项和项，进而组成方程组得出，的值； （2）把，的值代入代数式即可求得答案． 【解答】解：（1） ， 原式的展开式的项和项分别是，， 依据题意得：， 解得：． 故的值是3，的值是； （2） ． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确展开多项式是解题关键． 19．（2024•灞桥区校级开学）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形空地．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为，宽为的长方形花圆，并将花圆四周余下的空地修建成通道，请用含有、的代数式表示通道的面积． 【分析】先根据通道的面积长方形空地的面积长方形花园的面积列出算式，然后根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意得，通道的面积为 ． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出算式． 20．（2023秋•静安区校级月考）探究应用： （1）计算：　　；　　． （2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母、的等式表示该公式为：　　． （3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是　　． ． ． ． ． （4）设，利用上述规律，说明能被37整除． 【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可； （3）判断各选项是否符合公式的特点； （4）公式的逆用，求得中有37的因数即可． 【解答】解：（1） ； ； 故答案为：；； （2）从第（1）问发现的规律是：， 故答案为：； （3）．第一个多项式不是减法，不符合题意； ．最后一项应该是，不符合题意； ．符合题意； ．第二个多项式的第二项应该为，不符合题意． 故选：． （4） ， 能被37整除． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键． 21．（2023秋•右玉县期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2．长方形的两边长分别为，．（其中为正整数） ． （1）图1中长方形的面积　　；图2中长方形的面积　　；比较　　（选填“”、“ ”或“” ； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，并求出这个常数． 【分析】（1）根据长方形的面积长宽，求出图1和图2中长方形的面积，再求出它们的面积差，通过比较，求出答案即可； （2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，从而求出正方形边长即可； ②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积与图1中长方形的面积的差即可． 【解答】解：（1）由题意可知： ， ， ， 为正整数， 最小为1， ， ， 故答案为：，，； （2）①图1中长方形的周长为： ， 正方形的周长与图1中的长方形周长相等， 正方形的周长为， 正方形的边长为； ②正方形的面积， ， 该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，这个常数为9． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、长方形和正方形的面积公式与周长公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$