第03讲 幂的运算（3个知识点+7种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第03讲 幂的运算（3个知识点+7种题型+过关检测） 知识点一．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点二．幂的乘方与积的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型一：同底数幂的乘法 1．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算 ．（结果用幂的形式表示） 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 4．（22-23七年级上·上海闵行·周测）计算： ． 5．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，那么 ． 7．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 8．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）已知，求n的值． 9．（2022七年级上·上海·专题练习）计算：． 10．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 题型二：同底数幂的逆用 1．（22-23七年级上·上海松江·期中）若，，则 ． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知，求 ． 3．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 4．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求 ． 5．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，则 ． 题型三：用科学记数法表示乘法 1．（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 3．（20-21七年级上·上海·阶段练习）用科学记数法表示计算结果：（3.5103）（-4105）= ． 题型四：幂的乘方 1．（22-23七年级上·上海·期中）（1） （结果用幂的形式表示）； （2） ． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知：，则 ． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 . 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 ． 5．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，那么 （用含有a、b的代数式表示） 6．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 7．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 题型五：幂的乘方的逆用 1．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 2．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知，，求的值是 ． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 8．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，，那么 ． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 10．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 题型六：积的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用科学记数法表示） 2．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 4．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 5．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： 6．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： 题型七：积的乘方的逆用 1．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 5．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 6．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 ． 7．（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 9．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）在等式　　中，括号内的代数式应是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宝山区期末）计算的正确结果是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•静安区校级月考）下列计算过程正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•闵行区校级月考）已知算式：①；②；③；④；其中正确的算式是　　 A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•宝山区校级月考）已知，，那么　　 A． B． C． D． 二．填空题（共12小题） 7．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：　　．（结果用幂的形式表示） 8．（2023秋•奉贤区月考）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 　　． 9．（2023秋•闵行区校级月考）若，，那么　　． 10．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　　． 11．（2023秋•浦东新区期中）已知，，求的值是 　　． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知，那么　　． 13．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　 14．（2023秋•宝山区期末）如果，那么　　． 15．（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 16．（2023秋•青浦区校级期中）已知，那么　　． 17．（2023秋•浦东新区期末）比较大小：　　． 18．（2023秋•闵行区期中）已知：，，则　　． 三．解答题（共7小题） 19．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 20．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 21．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 22．（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 23．（2024春•临川区校级月考）规定：． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断，与是否相等，并说明理由． 24．（2024春•仪征市期末）若且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，则　　； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 25．（2024春•高新区校级月考）材料，一般的，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：　　，　　，　　； （2）猜想　　且，，； （3）已知，求和的值．且 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 幂的运算（3个知识点+7种题型+过关检测） 知识点一．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点二．幂的乘方与积的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型一：同底数幂的乘法 1．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据同底数幂相乘的形式进行判断作答即可． 【详解】解：中，底数不同，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故A不符合要求； ，底数相同，能用同底数幂乘法法则进行计算，故B符合要求； ，不是乘法，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故C不符合要求； ，底数不同，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故D不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘．解题的关键在于熟练掌握：同底数幂相乘的形式为：． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算 ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法法则．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·上海闵行·周测）计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】将看成整体，根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的基本法则是解题的关键．转化成以2为底的幂的乘法，根据指数相等建立等式计算． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 7．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据整式的混合运算法则求解即可． 【详解】 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 8．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）已知，求n的值． 【答案】2 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出n的值是解题关键． 9．（2022七年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)2，6，4； (2)． 【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，，，然后利用同底数幂的乘法法则求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ， 故答案为：2，6，4； （2）解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键． 题型二：同底数幂的逆用 1．（22-23七年级上·上海松江·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知，求 ． 【答案】6 【分析】根据同底数幂乘法的逆运用，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运用，熟练掌握同底数幂乘法的逆运用法则是解题的关键． 3．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 【答案】 【分析】根据，即可． 【详解】∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握的运用． 4．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】，据此即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查同底数幂的乘方的逆用．根据所给式子形式进行适当变形是解题关键． 5．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案． 【详解】∵，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算． 题型三：用科学记数法表示乘法 1．（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（20-21七年级上·上海·阶段练习）用科学记数法表示计算结果：（3.5103）（-4105）= ． 【答案】 【分析】先把3.5与相乘，再把与相乘即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为． 【点睛】本题考查了科学记数法，同底数幂的乘法，掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键． 题型四：幂的乘方 1．（22-23七年级上·上海·期中）（1） （结果用幂的形式表示）； （2） ． 【答案】 【分析】直接根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为；． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先根据同底数幂的乘法求得，再根据幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则得到，代入即可求出结果. 本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可． 【详解】解：根据正方体的体积公式得，． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，那么 （用含有a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】把化为从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握“幂的运算法则以及等量代换的思想”是解本题的关键． 6．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 7．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则是解题的关键． 题型五：幂的乘方的逆用 1．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先把变形为，得到，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解此题的关键，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知，，求的值是 ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法得出，解方程组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，解二元一次方程组，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，再代入已知条件即可得到答案，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， 故答案为： 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运算公式的逆用，掌握，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方的性质，可得，，比较2187和2018的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 8．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，，那么 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知（n为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字等于的末尾数字，又，从而得出结论． 【详解】（1）解∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9． （2）∵，则的末尾数字等于的末尾数字． ∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字为1． ∵的末尾数字为0， ∴的末尾数字为 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键． 题型六：积的乘方运算 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，科学记数法的表示方法即可求解，本题主要考查整式乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：． 4．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项． 【详解】解：         ． 【点睛】此题考查了幂的运算的运算以及合并同类项，解题的关键是知道同底数幂相乘底数不变，指数相加；还有负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂还是负数． 5．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：． 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘等运算法则，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先计算积的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 题型七：积的乘方的逆用 1．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】D 【分析】先把原式化为，再利用积的乘方运算的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解： ； 故选D 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法的运算，积的乘方，将原式变形为，再根据积的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此此题可根据积的乘方的逆用进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为． 5．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】 ． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】逆用积的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 7．（23-24七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．根据积的乘方的逆用法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 9．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“<”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这三个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：，，， 而， ； （2）解： ． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）在等式　　中，括号内的代数式应是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂的乘法法则得出，即可得出答案． 【解答】解：， 括号内的代数式应是， 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的应用，注意：． 2．（2023秋•宝山区期末）计算的正确结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行运算即可． 【解答】解：原式． 故选：． 【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题需要熟练掌握同底数幂的运算法则． 3．（2023秋•静安区校级月考）下列计算过程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故本选项错误； 、与不是同底数幂，不能运算，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记运算性质是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 4．（2023秋•闵行区校级月考）已知算式：①；②；③；④；其中正确的算式是　　 A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 【分析】利用同底数幂乘法法则将各式计算后进行判断即可． 【解答】解：①，则①正确，③错误； ②，则②正确，④错误； 故选：． 【点评】本题考查同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂相乘的法则、幂的乘方法则分别计算，判断即可． 【解答】解：、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 、，，，错误，故此选项符合题意； 、，，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键． 6．（2023秋•宝山区校级月考）已知，，那么　　 A． B． C． D． 【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二．填空题（共12小题） 7．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：　　．（结果用幂的形式表示） 【分析】将和化为相同的底数，根据同底数的幂的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 8．（2023秋•奉贤区月考）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是 　　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：根据正方体的体积公式得，． 故答案为：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、认识立体图形，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．（2023秋•闵行区校级月考）若，，那么　　． 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2023秋•青浦区校级期中）计算：　1　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键． 11．（2023秋•浦东新区期中）已知，，求的值是 　3　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及二元一次方程组的解法，进而得出答案． 【解答】解：，， ，， ， 解得：， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、二元一次方程组的解法，正确得出关于，的等式是解题关键． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知，那么　3　． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：， ， ， 解得：． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 13．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　 【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，再利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 14．（2023秋•宝山区期末）如果，那么　81　． 【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【解答】解：， ， 则． 故答案为：81． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．（2023秋•青浦区校级期中）已知，那么　5　． 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：5． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2023秋•浦东新区期末）比较大小：　　． 【分析】先根据乘方的意义，把写成，写成的形式，然后比较大小即可． 【解答】解： ， ， ，， ，即， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是把这两个数写成指数相同的幂． 18．（2023秋•闵行区期中）已知：，，则　4　． 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则化简，进而结合幂的乘方运算法则求出答案． 【解答】解：， ， ， ， 则． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 三．解答题（共7小题） 19．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 【分析】变形后利用同底数幂乘法和幂的乘方计算后，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识，准确变形和掌握法则是解题的关键． 20．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；分别计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 21．（2023秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】利用幂的乘方及同底数幂乘法法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查幂的乘方及同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22．（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 【分析】首先变形把等号左边2 ，然后再利用积的乘方进行计算，从而可得，进而可得，再解即可． 【解答】解：， 2 ， ， ， 则， ． 【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是熟练掌握积的乘方计算公式是正整数）． 23．（2024春•临川区校级月考）规定：． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断，与是否相等，并说明理由． 【分析】（1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于的一元一次方程，然后解方程即可求得的值； （3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， 理由：， ， ． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，解答本题的关键理解新定义，代入数据，求出相应式子的值． 24．（2024春•仪征市期末）若且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，则　4　； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 【分析】（1）根据且，、是正整数），则，进行解答即可； （2）先把8写成底数是2的幂进行计算，再根据已知条件，求出即可； （3）先逆用同底数幂相乘法则，把已知条件中的等式中的幂写成底数是5的幂相乘，通过计算，求出即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． 25．（2024春•高新区校级月考）材料，一般的，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：　2　，　　，　　； （2）猜想　　且，，； （3）已知，求和的值．且 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【解答】解：（1），，， ，，， 故答案为：2；4；6； （2）设，， 则，， ，， 即， 故答案为：； （3）由（2）知，， ， ， ． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$