第03讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年六年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第03讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则（重点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一：两个有理数的乘法运算 一、解答题 1．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 二、填空题 2．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 3．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 4．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 5．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 题型二：多个有理数的乘法 1．（2023六年级下·上海·专题练习）． 2．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：有理数乘法运算律 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 3．（20-21六年级下·上海普陀·期中）计算：． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 题型四：倒数 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列说法错误的是（    ） A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身 C．一个数的倒数不可能等于它本身 D．的倒数是 二、填空题 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义：乘积是的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【详解】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 3．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 4．（23-24六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上的点A表示的数的倒数为 ．    三、解答题 5．（20-21六年级下·上海·阶段练习）已知下列各数：是的绝对值，是的相反数，是的倒数． (1)在数轴上表示下列各数的对应点．    (2)把这些点所表示的数按从小到大的顺序用“”连接起来． 题型五：有理数的除法运算 一、单选题 1．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 2．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 二、填空题 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 4．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： . 5．（2024六年级下·上海·专题练习） ． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 7．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 三、解答题 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．（2023六年级下·上海·专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 题型六：有理数乘除混合运算 1．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）计算： 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 3．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：． 5．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 7．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 一．选择题（共4小题） 1．（2021春•徐汇区校级期中）一个有理数和它的相反数之积　　 A．一定为正数 B．一定为负数 C．一定为非负数 D．一定为非正数 2．（2023春•长宁区期末）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么　　 A．这两个数都是负数 B．这两个数都是正数 C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大 D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大 3．（2024春•青浦区期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点、处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？　　 A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 4．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 二．填空题（共9小题） 5．（2024春•徐汇区校级期末）计算：　　． 6．（2024春•长宁区期中）计算：　　． 7．（2024春•松江区期中）计算：　　． 8．（2024春•杨浦区期中）计算：　　． 9．（2024春•闵行区期中）　　． 10．（2023春•普陀区期中）绝对值小于3的所有整数的积是　　． 11．（2022春•奉贤区校级月考）五个有理数的积为负数，那么这五个有理数之中至少有　 　个负数． 12．（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　　． 13．（2023春•浦东新区校级期中）任何一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，例如：18可以分解成，，，这时就有，综合以上信息，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确的说法有 　　（只填序号）． 三．解答题（共11小题） 14．（2023春•浦东新区校级期中）． 15．（2024春•松江区期末）计算：． 16．（2024春•黄浦区期中）计算：． 17．（2022春•宝山区校级月考） 18．（2022春•奉贤区校级月考）． 19．（2024春•杨浦区期中）计算：． 20．（2024春•上海期中）计算：． 21．（2023春•浦东新区校级期中）． 22．（2022春•闵行区校级期中）计算：． 23．（2022春•徐汇区校级期中）计算： 24．（2023春•浦东新区校级期中） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的乘法与除法（6个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点4.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点5.有理数除法法则（重点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型一：两个有理数的乘法运算 一、解答题 1．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) ；(2)；(3)6；(4)0；(5)；(6) 【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答． 【详解】（1） ＝ =； （2） ＝ = （3） = =6 （4） ＝0 （5） = ＝ （6） = ＝ 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ． 二、填空题 2．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键． 3．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10． 5．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法，应用有理数乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型二：多个有理数的乘法 1．（2023六年级下·上海·专题练习）． 【答案】 【分析】根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数线化成假分数． 2．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型四：有理数乘法运算律 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式根据乘法分配律进行计算即可 【详解】解： 3．（20-21六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】254 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则以及乘法分配律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型四：倒数 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列说法错误的是（    ） A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身 C．一个数的倒数不可能等于它本身 D．的倒数是 【答案】C 【分析】本题考查倒数，有理数比较大小，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积等于1的两个数互为倒数和有理数大小比较法则逐项判定即可． 【详解】解：A、小于的数的倒数大于其本身，说法正确，故此选项不符合题意； B、大于1的数的倒数小于其本身，说法正确，故此选项不符合题意； C、的倒数等于它本身，故原说法错误，符合题意； D、（）的倒数是，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义：乘积是的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【详解】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 3．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 4．（23-24六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上的点A表示的数的倒数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及倒数的概念，确定单位长度的大小是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，、之间相隔三个单位长度， 故单位长度的大小为： ∴点A表示的数为：， 点A表示的数的倒数为：， 故答案为： 三、解答题 5．（20-21六年级下·上海·阶段练习）已知下列各数：是的绝对值，是的相反数，是的倒数． (1)在数轴上表示下列各数的对应点．    (2)把这些点所表示的数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据绝对值，相反数和倒数的性质求解，然后根据数轴的定义及数轴上点的特点表示各数即可； （2）根据数轴的性质：左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）的绝对值是，的相反数是，的倒数是， 在数轴上表示如图．    （2）把这些点所表示的数按从小到大的顺序排列起来为：． 【点睛】此题考查了数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确利用数轴表示各有理数是解题的关键． 题型五：有理数的除法运算 一、单选题 1．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 二、填空题 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 4．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： . 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键. 【详解】解：， 故答案为：. 5．（2024六年级下·上海·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 先把小数化为分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 先化成分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)0 (5) (6)3 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除． （1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，符号的确定方法是“奇负偶正”，由此即可求解； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，符号的确定方法是“奇负偶正”，由此即可求解； （3）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，符号的确定方法是“奇负偶正”，由此即可求解； （4）根据零除以任何非零数，都等于零，由此即可求解； （5）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，符号的确定方法是“奇负偶正”，由此即可求解； （6）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，符号的确定方法是“奇负偶正”，由此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 9．（2023六年级下·上海·专题练习）（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或． 【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可； （2）由（1）可知，结合可知即，化简即可； （3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：1，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （3）∵， ∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况， 当a、b、c中有一个负数、两个正数时，， 当a、b、c中有三个负数时，， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 题型六：有理数乘除混合运算 1．（23-24六年级上·上海黄浦·期末）计算： 【答案】． 【分析】此题考查了有理数的乘除运算，利用法则运算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则及其应用． 【详解】解：原式， ， ． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】 3．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ． 5．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 6．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【详解】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 7．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否 (2)72 (3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义． （1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据题意考虑所有可能性并列出即可． 【详解】（1）解：根据题意列式为：， ∵， ∴游戏不再继续， 即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：， ， ； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜； ②，乙负； ③，乙负； ④，乙负； ⑤，乙胜； ⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 一．选择题（共4小题） 1．（2021春•徐汇区校级期中）一个有理数和它的相反数之积　　 A．一定为正数 B．一定为负数 C．一定为非负数 D．一定为非正数 【分析】根据相反数的意义，有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：时有理数和它的相反数之积为零， 时， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，利用有理数的乘法是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 2．（2023春•长宁区期末）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么　　 A．这两个数都是负数 B．这两个数都是正数 C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大 D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大 【分析】根据有理数的加法判断出这两个数的正负情况，然后根据有理数的乘法运算法则解答． 【解答】解：两数之和为负数， 这两个数可能是两个负数，一正一负，零和负数， 它们的积是负数， 这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则并判断出两个数的情况是解题的关键． 3．（2024春•青浦区期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点、处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？　　 A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 【分析】先求出淘淘和巧巧的速度差，再求出淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处的路程差，然后根据时间路程差速度差，列出算式，求出答案即可． 【解答】解：（米秒），（米， （秒 经过60秒，淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，解题关键是理解时间路程差速度差． 4．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【解答】解：例如，，所以正确， 故选：． 【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 二．填空题（共9小题） 5．（2024春•徐汇区校级期末）计算：　　． 【分析】先化成分数再进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法的运算法则是解题的关键． 6．（2024春•长宁区期中）计算：　　． 【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2024春•松江区期中）计算：　　． 【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024春•杨浦区期中）计算：　5　． 【分析】除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【解答】解：， 故答案为：5． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 9．（2024春•闵行区期中）　　． 【分析】先根据有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数把除法变乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 10．（2023春•普陀区期中）绝对值小于3的所有整数的积是　0　． 【分析】根据绝对值的性质和任何数乘以0都等于0解答． 【解答】解：由题意得，． 故答案为：0． 【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，含有因数0是解题的关键． 11．（2022春•奉贤区校级月考）五个有理数的积为负数，那么这五个有理数之中至少有　1　个负数． 【分析】根据几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定解答． 【解答】解：五个有理数的积为负数， 这五个有理数中有1个或3个或5个负数， 至少有1个负数． 故答案为：1． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟记几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正是解题的关键． 12．（2024春•普陀区期中）如果，，，那么　　． 【分析】根据，确定，代入计算即可． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键． 13．（2023春•浦东新区校级期中）任何一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定，例如：18可以分解成，，，这时就有，综合以上信息，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确的说法有 　④　（只填序号）． 【分析】把1，24，36，分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同即可． 【解答】解：①， ；故①错误； ②，这几种分解中4和6的差的绝对值最小， ，故②错误； ③，其中6和6的差的绝对值最小， ，故③错误； ④是一个整数的平方， 设为整数）， 和的差为绝对值最小的数0， ，故④正确． 正确的有④． 故答案为：④． 【点评】此题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义是解题的关键． 三．解答题（共11小题） 14．（2023春•浦东新区校级期中）． 【分析】把变成，然后利用有理数乘法的分配律进行求解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确计算是解题的关键． 15．（2024春•松江区期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（2024春•黄浦区期中）计算：． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 17．（2022春•宝山区校级月考） 【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便． 18．（2022春•奉贤区校级月考）． 【分析】运用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了有理数的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握有理数的乘法法则． 19．（2024春•杨浦区期中）计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法法则是关键． 20．（2024春•上海期中）计算：． 【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【解答】解： ． 【点评】考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 21．（2023春•浦东新区校级期中）． 【分析】先统一成分数，再算乘除即可． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查有理数的乘除混合运算，熟记运算法则是解题的关键． 22．（2022春•闵行区校级期中）计算：． 【分析】把除法转化为乘法，约分即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 23．（2022春•徐汇区校级期中）计算： 【分析】根据有理数的乘除法计算即可． 【解答】解：原式． 【点评】此题考查有理数的乘除法问题，关键是根据有理数的乘除法法则计算． 24．（2023春•浦东新区校级期中） 【分析】首先计算括号内的式子，按首先正负数分别计算，然后把结果相加即可计算括号内的式子，最后进行除法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算的顺序是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$