8.2.2 两角和与差的正弦、正切（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 §8.2　三角恒等变换 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 [答案]　D 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 学业标准 学科素养 1．理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程．(难点) 2．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(重点) 1．通过两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过两角和与差的正弦、正切公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　两角和与差的正弦公式 　由公式Cα＋β或Cα－β可求sin 75°的值吗？ [提示]　可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 　由公式Cα±β可以得到sin (α＋β)的公式吗？ [提示]　可以，sin (α＋β)＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α＋β))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β)) ＝sin αcos β＋cos αsin β. 　能利用上述公式把sin (α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ [提示]　能．用－β代β即可． ◎结论形成 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin (α＋β)＝________________________ Sα＋β α，β∈R 两角差 的正弦 sin (α－β)＝________________________ Sα－β α，β∈R 导学2　两角和与差的正切公式 　前面学习的同角三角函数关系中，tan α，sin α，cos α的关系怎样？ [提示]　tan α＝eq \f(sin α,cos α). 　利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用 tan α，tan β表示吗？ [提示]　能．tan(α＋β)＝eq \f(sin α＋β,cos α＋β) ＝eq \f(sin αcos β＋cos αsin β,cos αcos β－sin αsin β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β). 　能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？ [提示]　能．将tan(α－β)＝tan [α＋(－β)]展开即可． 　公式中，α，β是任意实数吗？ [提示]　不是，α，β，α±β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. ◎结论形成 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z) 两角差 的正切 tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) Tα－β α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．(　　) (2)sin(α－β)＝sin α－sin β恒成立．(　　) (3)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝eq \f(\r(3),2).(　　) (4)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　 B．eq \f(\r(3),2)　　 C．－eq \f(1,2)　　 D．eq \f(1,2) 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D． 答案　D 3．tan 285°的值等于(　　) A．2＋eq \r(3) B．2－eq \r(3) C．－2－eq \r(3) D．－2＋eq \r(3) 解析　tan 285°＝tan(360°－75°)＝－tan 75°＝－tan(45°＋30°) ＝－eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝－eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝－2－eq \r(3). 答案　C 4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　) A．2 B．1 C．eq \f(1,2) D．4 解析　tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4. 解得tan αtan β＝eq \f(1,2)，故选C． 答案　C 题型一　三角公式的简单应用 　(1)求值：sin 105°＝(　　) A．eq \f(\r(6)－\r(2),4)　　　　　 B．eq \f(\r(6)＋\r(2),4) C．eq \f(\r(3)＋1,4) D．eq \f(\r(3)－1,4) [解析]　sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). [答案]　B (2)sin 17°cos 43°＋cos 17°sin 43°＝(　　) A．eq \f(1,2)　　 B．eq \f(\r(2),2)　　 C．eq \f(\r(3),2)　　 D．eq \f(\r(2)＋\r(6),4) [解析]　sin 17°cos 43°＋cos 17°sin 43°＝sin (17°＋43°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)， 故选C． [答案]　C (3)化简：(tan 10°－eq \r(3))eq \f(cos 10°,sin 50°)＝________. [解析]　 解法一　原式＝(tan 10°－tan 60°)·eq \f(cos 10°,sin 50°)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin 10°,cos 10°)－\f(sin 60°,cos 60°))) eq \f(cos 10°,sin 50°) ＝eq \f(sin －50°,cos 10°cos 60°)·eq \f(cos 10°,sin 50°)＝－2. 解法二　原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin 10°,cos 10°)－\r(3))) eq \f(cos 10°,sin 50°)＝eq \f(sin 10°－\r(3)cos 10°,cos 10°)·eq \f(cos 10°,sin 50°) ＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin 10°－\f(\r(3),2)cos 10°)),sin 50°)＝eq \f(2sin 10°－60°,sin 50°)＝－2. [答案]　－2 解决这类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题转化为特殊角的三角函数求值问题，或将非特殊角转化为特殊角的和与差的形式，再利用公式求解． [触类旁通] 1．(1)sin 77°cos 43°＋sin 13°cos 47°的值为(　　) A．eq \f(1,2)　　　　　　　 B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2) (2)化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)),sin α)＝________. (3)eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)＝________. 解析　(1)sin 77°＝sin(90°－13°)＝cos 13°， cos 43°＝cos(90°－47°)＝sin 47°， 则sin 77°cos 43°＋sin 13°cos 47° ＝cos 13°sin 47°＋sin 13°cos 47°＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2). (2)因为eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)),sin α) ＝eq \f(sin \f(π,6)cos α＋cos\f(π,6)sin α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,6)cos α－cos\f(π,6)sin α)),sin α) ＝eq \f(\r(3)sin α,sin α)＝eq \r(3). (3)eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)＝eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°) ＝－tan(75°－45°)＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3). 答案　(1)B　(2)eq \r(3)　(3)－eq \f(\r(3),3) 题型二　给值(式)求值问题 一题多变 　(1)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 (2)已知eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，cos (α－β)＝eq \f(12,13)，sin (α＋β)＝－eq \f(3,5)，求cos 2α与cos 2β的值． [解析]　(1)由已知，得2tan θ－eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，得tan θ＝2. (2)因为eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)， 所以0＜α－β＜eq \f(π,4)，π＜α＋β＜eq \f(3π,2). 所以sin (α－β)＝eq \r(1－cos2 α－β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)， cos (α＋β)＝－eq \r(1－sin2 α＋β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5). 所以cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(33,65)， cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(63,65). [答案]　(1)D　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)若例2(2)的条件不变，求sin 2α的值． 解析　由本例知 sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin (α－β)cos (α＋β)＋cos (α－β)sin (α＋β) ＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq \f(56,65). 2．(变条件、变结论)若例2(2)条件变为“若eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，sin (α－β)＝eq \f(5,13)，sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)”，求sin 2β的值． 解析　因为eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，所以0＜α－β＜eq \f(π,4)，π＜α＋β＜eq \f(3,2)π. 所以cos (α－β)＝eq \f(12,13)，cos (α＋β)＝－eq \f(12,13)， sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)] ＝sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq \f(5,13)＝0. [素养聚焦]　在给值(式)求值的题目中，利用正弦、余弦、正切的两角和与差公式进行计算，把数学运算的核心素养体现在解题过程中． 给值求值的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． [触类旁通] 2．(1)(2024·北京海淀高一期中)已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于(　　) A．eq \f(13,18) B．eq \f(13,22) C．eq \f(3,22) D．eq \f(1,6) 解析　∵tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)， ∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝ eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋β·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq \f(3,22)，故选C． 答案　C (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β＋\f(π,4)))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·sin β，则下列结论正确的是(　　) A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1 解析　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋β))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos β＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sin β ＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·sin β，则有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos β－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sin β＝0， 即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)－β))＝0，则α＋eq \f(π,4)＝β＋kπ，k∈Z，即α－β＝－eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z， 则tan(α－β)＝－1. 答案　D 题型三　辅助角公式及其应用 　(1)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(2),2) (2)函数y＝cos x＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的最大值是________，周期为________． [解析]　(1)∵sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))) ＝eq \f(3,2)sin θ＋eq \f(\r(3),2)cos θ＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，故选B． (2)y＝cos x＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝cos x＋cos xcoseq \f(π,3)－sin xsin eq \f(π,3) ＝eq \f(3,2)cos x－eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos x－\f(1,2)sin x)) ＝eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))). 当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1时，y有最大值eq \r(3).函数的周期为2π. [答案]　(1)B　(2)eq \r(3)　2π 辅助角公式的运用 (1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)·sin(α＋φ)[或asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)cos(α－φ)]将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． [触类旁通] 3．(1)已知eq \r(3)cos x－sin x＝－eq \f(6,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝(　　) A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5) 解析　∵eq \r(3)cos x－sin x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos x－\f(1,2)sin x)) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3)cos x－cos\f(π,3)sin x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x)) ＝－eq \f(6,5)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－eq \f(3,5). 答案　D (2)(2024·广东广州高一月考)已知f(x)＝eq \f(\r(2),4)sinx＋eq \f(\r(6),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f(x)的值域为(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),2))) 解析　f(x)＝eq \f(\r(2),4)sinx＋eq \f(\r(6),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq \f(\r(2),4)sinx＋eq \f(\r(6),4)cos x＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))， 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),2))). 答案　D [缜密思维提能区]　易错辨析 已知三角函数值，求角的大小 [典例]　已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β的值等于(　　) A．eq \f(π,3)　　　　　　　 B．－eq \f(2π,3)或eq \f(π,3) C．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．－eq \f(2π,3) [错解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan αtan β＝4. 所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3). 又因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＋β∈(－π，π)． 所以α＋β＝－eq \f(2π,3)或α＋β＝eq \f(π,3).故选B． [错因分析]　忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象． [正解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3eq \r(3)＜0，tan αtan β＝4＞0. 所以tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个负根， 即tan α＜0，tan β＜0. 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(－π，0)． 又因为tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)， 所以α＋β＝－eq \f(2π,3).故选D． [纠错心得] 确定角的范围是三角求值中最易出错的地方．在解题过程中往往要根据条件，进一步确定角的范围． 知识落实 技法强化 (1)两角和与差的正弦、正切公式的推导． (2)两角和与差的正弦、正切公式的正用、逆用、变形用． (3)给值求值(角)． (4)辅助角公式及应用. (1)两角和与差的正弦、正切公式的构造、角的构造． (2)求值或求角时易忽视角的范围. $$