模块综合检测卷1（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

模块综合检测卷(一) [时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·广东广州高一期中)已知向量a，b满足a＝(2,1)，b＝(1，y)，且a⊥b，则y＝(　　) A．2　　 B．－2　　 C．　　 D．－ 解析　因为a⊥b，则a·b＝2＋y＝0，解得y＝－2. 答案　B 2．(2024·湖北武汉高一期中)sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为(　　) A． B． C． D．1 解析　sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝. 答案　A 3．(2024·重庆高一月考)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析　由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，可知b＝2a＋b－2a＝(2,0)， 所以|b|＝2，|a|＝，且a·b＝1×2＋1×0＝2， 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B． 答案　B 4．(2024·四川成都高一期中)已知tan θ＝2，则＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析　＝＝＝－＝－. 答案　A 5．(2024·甘肃天水高一期中)函数f(x)＝sin 4x＋cos 4x＋的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析　f(x)＝sin 4x＋cos 4x＋＝sin＋， 由正弦函数的周期性公式知最小正周期为T＝＝. 答案　B 6．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D． 解析　由sin 2α＝，且＜2α＜π，可得cos 2α＝－，∴tan 2α＝－， ∴tan(α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝＝＝－2. 答案　A 7．已知sin α－cos α＝，则的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 解析　将sin α－cos α＝两边平方， 得1－2sin αcos α＝，解得2sin αcos α＝， 所以＝＝＝2sin αcos α＝. 答案　A 8．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析　记g(x)为f(x)向左平移个单位后得到的曲线，则g(x)＝f＝sin，由g(x)关于y轴对称，可得ω＋＝kπ＋，k∈Z，故有ω＝＋2k，所以ω的最小值为.选C． 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－ D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1 解析　由诱导公式二，知α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，所以A错误．当n＝2k(k∈Z)时， cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1(k∈Z)时， cos(nπ－α)＝cos [(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误． 若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以C正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确． 答案　CD 10．把函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A．最小正周期为π B．在区间上的最大值为 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为直线x＝ 解析　f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度得函数y＝sin， 再把横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin， 其最小正周期为T＝＝π，A选项正确； 由x∈，得2x＋∈，则当2x＋＝，即x＝时，g(x)取最大值为1，B选项错误； 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋π，k∈Z，所以函数g(x)的对称中心为，k∈Z，所以不成立，C选项错误； 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋π，k∈Z，所以函数g(x)的对称轴为x＝＋π，k∈Z，当k＝0时，x＝，D选项正确；故选AD． 答案　AD 11．下列不等式成立的是(　　) A．sin 1<sin B．sin >sin C．cos>cos 2 D．cos (－70°)>sin 18° 解析　对于A，因为0<1<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin 1<sin ，故A正确； 对于B，sin ＝sin ，sin ＝sin >sin ，故B错误； 对于C，因为<2<<π，y＝cos x在上单调递减，所以cos<cos 2，故C错误； 对于D，cos (－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故D正确． 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．cos＝________. 解析　cos＝cos＝cos＝. 答案　 13．如图所示，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点D)，点F为BC的中点，则·＝________. 解析　在边长为2的等边△ABC中，BD为中线，则BD⊥AC， ·＝·＝·＝－·＋·＝·＝×2×2×cos 60°＝1. 答案　1 14．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|2a－b|＝________. 解析　由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2. 答案　　2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知α是第四象限角，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos＝，求f(α)的值． 解析　(1)f(α)＝ ＝＝＝－cos α. (2)因为cos＝cos＝－sin α＝， 所以sin α＝－. 因为α是第四象限角， 所以cos α＝， 所以f(α)＝－cos α＝－. 16．(15分)已知函数f(x)＝sin sin x－cos2x . (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在上的单调性． 解析　(1)f(x)＝sin sin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x－ ＝sin －， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. (2)当x∈时，0≤2x－≤π， 从而当0≤2x－≤， 即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减，综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减． 17．(15分)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)． (1)a与b能垂直吗？ (2)若a与b的夹角为60°，求k的值． 解析　(1)因为|ka＋b|＝|a－kb|， 所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，且|a|＝|b|＝1. 即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)， 所以a·b＝.因为k2＋1≠0， 所以a·b≠0，即a与b不能垂直． (2)因为a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝. 所以＝.所以k＝1. 18．(17分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)先将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象．当x∈时，求g(x)的值域． 解析　(1)根据图象可得A＝4， ＝－＝，则·＝，因为ω>0，所以ω＝6. 将代入f(x)的解析式， 得4sin ＝0， 则6×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－＋kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝4sin . (2)由(1)知f(x)＝4sin ， 将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝4sin ＝4sin ， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得g(x)＝4sin 的图象， 因为x∈， 所以3x＋∈， 则－≤sin ≤1， 所以－2≤4sin ≤4， 故g(x)在上的值域为[－2,4]． 19．(17分)已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜， (1)求tan 2α的值； (2)求β. 解析　(1)由cos α＝，0＜α＜，得 sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝×＝4. 于是tan 2α＝＝＝－. (2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又cos (α－β)＝， ∴sin (α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝.∴β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$