第8章 阶段测评3 向量数量积的应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段测评(三)　向量数量积的应用 (时间90分钟，满分100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1，则向量a与b的夹角为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　∵b＝(0，2)，∴|b|＝2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，故选C． 答案　C 2．(2024·安徽合肥高一期中)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，m)，且a∥b，则a·b＝(　　) A．0 B．－5 C．4 D．3 解析　由a∥b，可得－m－2＝0，故m＝－2，即b＝(1，－2)， 则a·b＝－1×1＋2×(－2)＝－5. 答案　B 3．(2024·江西南昌高一期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，向量a与b的夹角为60°，则|4a－b|＝(　　) A．12 B．4 C．2 D．2 解析　因为|a|＝1，|b|＝2，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝1， 所以|4a－b|＝＝＝＝2. 答案　C 4．(2024·河南洛阳高一月考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－2b在b方向上的投影向量为(　　) A．b B．2b C．－b D．－2b 解析　由|a＋b|＝|a－b|，则a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，整理可得a·b＝0， 所以a－2b在b方向上的投影向量为b＝b＝－2b. 答案　D 5．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　) A． B．13 C．6 D． 解析　∵＝λ＋，且⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝2－λ2＋(λ－1)·＝0.又向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，∴·＝||·||cos 120°＝2×3×＝－3.∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝.故选D． 答案　D 6．在△ABC中，·＝0，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 解析　由已知得·＝·＝2－2＝0， ∴＝，则△ABC一定是等腰三角形． 答案　B 7．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝(　　) A．12　　 B．16　　 C．20　　 D．4 解析　因为·＝2·， 所以·－·＝·＝·， ∵AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||·||cos ，可得＝2， ∴·＝(＋)·＝2＋·＝8＋2×2×cos ＝12. 答案　A 8．已知O是△ABC的外心，且满足2＝＋，若在上的投影向量为，则sin ∠AOC＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　因为2＝＋， 所以2＝＋＋＋， 即＝－，所以B，O，C三点共线且O是BC的中点， 因为O是△ABC的外心，所以BC是圆的直径， 故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形， 过点A向BC作垂线，垂足为N，连接AN，如图所示． 因为在上的投影向量为＝， 所以在上的投影向量为 ＝－＝－＝， 而＝，则cos ∠AOC＝＝＝， 因为0<∠AOC<，所以sin ∠AOC＝＝. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，2)，c＝(1，1)，则(　　) A．a∥b B．(a＋b)⊥c C．a＋b＝c D．c＝5a＋3b 解析　由题意，2×2－(－3)×(－1)≠0，A错误； a＋b＝(－1，1)，(a＋b)·c＝－1＋1＝0，所以B正确，C错误； 5a＋3b＝5(2，－1)＋3(－3，2)＝(1，1)＝c，D正确．故选BD． 答案　BD 10．已知向量a＝(1，0)，b＝(2，－6)，c＝(－1，2)，则(　　) A．a·b＝2 B．(a＋b)∥c C．a在c上的投影的数量为 D．a与c夹角的余弦值为－ 解析　对于A，a·b＝2，A正确． 对于B，因为a＋b＝(3，－6)＝－3c，所以(a＋b)∥c，B正确． 对于C，|a|cos〈a，c〉＝＝－，C错误， 对于D，cos 〈a，c〉＝＝－，D正确． 答案　ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________． 解析　由c＝ta＋(1－t)b得b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0，即t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2＝0， 化简得t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案　2 12．(2024·广西梧州高一月考)若|a|＝3，|b|＝5，则|a－b|的取值范围是________． 解析　令〈a，b〉＝θ∈[0，π]，则－1≤cos θ≤1， 而|a－b|＝＝＝∈[2，8]， 所以|a－b|的取值范围是[2，8]. 答案　[2，8] 13．(2024·浙江台州高一期中)平面向量a，b中，已知a＝(4, －3)，|b|＝1，且a·b＝5，则a与b的夹角为________，向量b的坐标为________． 解析　因为a＝(4，－3)，所以|a|＝＝5， 又|b|＝1，且a·b＝5，设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ＝1×5cos θ＝5，解得cos θ＝1， 又θ∈[0，π]，所以θ＝0，即a与b的夹角为0， 所以a与b共线同向，又|b|＝1，所以b为a方向上的单位向量， 即b＝＝(4，－3)＝. 答案　0　 14．已知向量a，b，c满足＝2，＝3，＝4，0≤λ≤1，若b·c＝0，则的最小值为______． 解析　设n＝λb＋(1－λ)c， 则＝， 所以≤，＝＝λ2＋(1－λ)2＋2λ(1－λ)b·c＝9λ2＋16(1－λ)2＝25λ2－32λ＋16(0≤λ≤1)， 由二次函数性质，可得≤≤16，即≤≤4， 所以≥≥＝－2＝， 所以的最小值为. 答案　 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1). (1)求·及|＋|； (2)设实数t满足(－t)⊥ ，求t的值． 解析　(1)∵A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)， ∴＝(－3，－1)，＝(1，－5)， ＋＝(－2，－6)， ∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2， |＋|＝＝2. (2)∵(－t)⊥， ∴(－t)·＝0， 即·－t2＝0， 又＝(－3，－1)，＝(2，－1)， ·＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， 2＝22＋(－1)2＝5， ∴－5－5t＝0，∴t＝－1. 16．(15分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC． (1)以a，b为基底表示向量与； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·. 解析　(1)∵M为DC的中点， ∴＝. 又＝， ∴＝＋＝＋＝a＋b. ∵H为AD的中点，BF＝BC， ∴＝，＝. 又＝， ∴＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＝a－b. (2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6， ·＝(a＋b)·(a－b)＝a2＋a·b－b2 ＝×32＋×(－6)－×42＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$