8.2.3 倍角公式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列各式的值为的是(　　) A．sin 　　　　　　 B．sin cos C．cos2－sin2 D． 解析　A：sin ＝sin＝sin＝sin ＝，符合题意； B：sin cos ＝sin＝sin ＝，不符合题意； C：cos2－sin2＝cos＝cos ＝，不符合题意； D：＝·tan＝·tan ＝，符合题意．故选AD． 答案　AD 2．(2024·北京海淀高一期中)若sin α＋cos α＝，则sin 2α＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵sin α＋cos α＝，平方可得1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝，故选C． 答案　C 3．(2024·江苏盐城高一期中)已知sin α＝，则cos(－2α)＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　由题得cos(－2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝. 答案　B 4．(2024·江西南昌高一期末)已知sin θ－cos θ＝0，则tan 2θ＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　由sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝，则tan2θ＝＝＝2. 答案　B 5．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为__________． 解析　f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋， 所以当sin x＝1时，f(x)的最大值为5. 答案　5 6．(2024·四川遂宁高一月考)已知sin＝－，则cos＝________. 解析　cos＝1－2sin2＝1－2×2＝. 答案　 7．(2024·陕西西安高一月考)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________. 解析　因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，α，β∈(0，π)， 所以α∈，β∈，因为tan 2α＝＝＝＞0， 所以2α∈，β∈，因此－π＜2α－β＜0， 因为tan(2α－β)＝＝＝1，所以2α－β＝－. 答案　－ 8．已知sin sin ＝， 且α∈，求tan 4α的值． 解析　因为sin ＝sin ＝cos， 则已知条件可化为sin cos＝， 即sin ＝，所以sin ＝， 所以cos 2α＝. 因为α∈，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－＝－， 所以tan 2α＝＝－2， 故tan 4α＝＝＝. [关键能力·综合提升] 9．等腰三角形的底和腰之比为(黄金分割比)的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图所示，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形ABC的顶角A＝36°.根据这些信息，可求得cos 216°的值为(　　) A．－ B．－ C． D．－ 解析　由图形知∠A＝36°，则∠A＝18°， 所以sin 18°＝×＝×＝， ∴cos 36°＝1－2sin218°＝1－2×2＝， ∴cos 216°＝cos (180°＋36°)＝－cos 36°＝－. 答案　A 10．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　) A． B． C． D． 解析　∵cos 2α＝cos2α－sin2α， ∴sin2α＋cos 2α＝cos2α，∴cos2α＝， 又α∈，∴cos α＝， ∴α＝，故tan α＝，因此选D． 答案　D 11．化简：sin 2α＝________. 解析　sin 2α＝2sin αcos α· ＝2sin αcos α ＝2sin αcos α· ＝2sin αcos α·＝2sin α. 答案　2sin α 12．已知函数f(x)＝cos 2x＋asin x，若对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则实数a的取值范围是________． 解析　依题意，f(x)＝－2sin2x＋asin x＋1，x∈R，令t＝sin x∈[－1,1]， 对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则有f(x)max＝f，即当x＝，sin x＝1时，函数f(x)取得最大值， 于是函数y＝－2t2＋at＋1，t∈[－1,1]在t＝1时取得最大值，因此≥1，解得a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，＋∞)． 答案　[4，＋∞) 13．已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解析　∵tan α＝＞0，且α∈(0，π)， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0， ∴2α∈. ∵tan β＝－＜0，且β∈(0，π)， ∴β∈， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵2α∈，β∈ ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－. [学科素养·探索创新] 14．已知α∈(0，π)，β∈满足sin＝，cos＝，则sin(α＋2β)＝(　　 ) A． B． C． D．－ 解析　因为α∈(0，π)，则α＋∈，又sin＝<＝sin， 则α＋∈，得cos＝. 因为cos＝，则cos＝2cos2－1＝－. 又β∈，则β－∈，结合cos＝<＝cos，则β－∈，得sin＝－， 则sin＝2cossin＝－. 又注意到α＋2β＝α＋＋2， 则sin(α＋2β)＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 答案　B 15．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值． 解析　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin 在区间上为增函数，在区间上为减函数， 又f(0)＝1，f＝2，f＝－1， 所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin . 又因为f(x0)＝，所以sin ＝. 由x0∈，得2x0＋∈， 从而cos＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos ＝coscos＋sin sin ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$