8.2.2 两角和与差的正弦、正切（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列各式正确的是(　　) A．sin ＝sin cos＋cos B．cos＝sin －coscos C．cos＝coscos＋ D．cos＝cos－cos 解析　∵sin ＝，∴A正确； ∵cos＝－cos＝－cos，∴B正确； ∵cos＝cos，∴C正确； ∵cos＝cos≠cos－cos，∴D不正确． 答案　ABC 2．(2024·山东威海高一期末)cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17°＝(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析　cos28°cos73°＋cos62°cos17°＝cos28°sin17°＋sin28°cos17°＝sin45°＝. 答案　C 3．(2024·四川内江高一期中)若tan α＝2，tan(2α＋β)＝8，则tan(α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D． 解析　tan(α＋β)＝tan(2α＋β－α)＝＝＝. 答案　D 4．(2024·陕西西安高一期中)已知α∈，sin＝，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵α∈，α＋∈， ∴cos＝＝， ∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝. 答案　A 5．(2024·江苏扬州高一期中)计算：tan 73°－tan 13°－tan 73°tan 13°＝________. 解析　tan73°－tan13°＝tan60°(1＋tan73°tan13°)＝(1＋tan73°tan13°)， 所以tan73°－tan13°－tan73°tan13°＝. 答案　 6．(2024·山东青岛高一期中)函数y＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是________． 解析　因为y＝sin2x－cos2x＝2sin， 所以y＝sin2x－cos2x的最小正周期为＝π. 答案　π 7．已知＝，则满足条件的一个角α可以为________． 解析　＝＝tan(α＋45°)＝， 所以α＋45°＝60°＋k·180°，k∈Z，则α＝15°＋k·180°，k∈Z， 故满足条件的一个角为15°. 答案　15°(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝Asin ，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ) ＝，θ∈，求f. 解析　(1)由f＝Asin ＝Asin ＝＝， 可得A＝3. (2)f(θ)－f(－θ)＝， 则3sin －3sin ＝， 3－3＝. sin θ＝. 因为θ∈，所以cos θ＝， f＝3sin ＝3sin ＝3cos θ＝. [关键能力·综合提升] 9．已知α∈，tan＝－3，则sin α＝(　　) A． B．－ C． D．± 解析　由已知可得，tan α＝tan＝＝＝－， 所以＝－，所以cos α＝－2sin α. 又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，所以sin2α＝. 又α∈，tan α<0，所以α∈，所以sin α＝. 答案　A 10．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析　∵A＝180°－(B＋C)， ∴sin A＝sin (B＋C)＝2sin Bcos C． 又sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴sin Bcos C＝cos Bsin C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin (B－C)＝0. ∴B＝C，故△ABC为等腰三角形． 答案　D 11．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin ＝________. 解析　sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α ＝sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α ＝sin [(α－β)－α]＝－sin β＝， 即sin β＝－， 又β是第三象限角，所以cos β＝－， 所以sin ＝sin βcos＋cos βsin ＝×＋×＝. 答案　 12．已知A，B均为锐角，tan A＝3，sin B＝，那么A＋B＝______. 解析　因为B为锐角，sin B＝， 所以cos B＝＝，tan B＝＝2， 故tan(A＋B)＝＝＝－1， 因为A，B均为锐角，所以A＋B∈(0，π)，故A＋B＝. 答案　 13．已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx(ω>0)，f(x)的最小正周期为π. (1)求f(x)； (2)将f(x)的图象向右平移φ个单位长度得到g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求最小正数φ. 解析　(1)f(x)＝2＝2sin ， ∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2. ∴f(x)＝2sin . (2)g(x)＝2sin ＝2sin ， ∵g(x)为奇函数，∴－2φ－＝kπ，k∈Z， ∴φ＝－－，k∈Z，∵φ>0，∴φmin＝. [学科素养·探索创新] 14．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，3AE＝2BE，∠ECF＝，则下列结论正确的是(　　 ) A．AD＝DF B．AD＝2DF C．AD＝3DF D．AD＝4DF 解析　由题可知tan∠FCB＝tan(∠FCE＋∠BCE)＝＝＝4， 则tan∠FCD＝tan ＝＝＝＝，即CD＝4DF，AD＝4DF. 答案　D 15．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan·tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由． 解析　假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝， ②tantan β＝2－同时成立． 由①得＋β＝， 所以tan＝＝. 又tantan β＝2－， 所以tan＋tan β＝3－， 因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根， 解得x1＝1，x2＝2－. 若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， 所以tan＝2－，tan β＝1， 所以α＝，β＝， 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$