第7章 阶段测评2 三角函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段测评(二)　三角函数的性质与图象 (时间90分钟，满分100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．(2024·北京高一期中)下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为(　　) A．y＝sin x　　　　 B．y＝cos x C．y＝tan 2x D．y＝cos 2x 解析　对于AC，函数y＝sin x，y＝tan 2x都是奇函数，A错误，C错误； 对于B，函数y＝cos x是偶函数，周期为2π，B错误； 对于D，函数y＝cos 2x是偶函数，周期为π，D正确． 答案　D 2．(2024·山东济南高一期中)函数f(x)＝|sin x|的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 解析　由y＝sin x的图象与性质，f(x)＝|sin x|的单调递减区间为，k∈Z，所以D符合题意． 答案　D 3．(2024·广东广州高一期中)若函数f(x)＝cos(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)在上的值域为(　　) A． B． C． D． 解析　因为T＝＝，所以ω＝4，f(x)＝cos ， 因为x∈，所以4x－∈， －≤f(x)＝cos ≤1，所以f(x)∈. 答案　B 4．(2024·云南昆明高一月考)将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线y＝g(x)，则曲线y＝g(x)(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于点对称 解析　将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到h(x)＝f＝sin 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， g(x)＝h＝sin ， 所以g(x)＝sin ， 因为g≠±1，g＝1, 所以曲线y＝g(x)不关于直线x＝对称，关于直线x＝对称，故A错误，B正确， 又因为g≠0，g≠0， 所以曲线y＝g(x)不关于点对称，不关于点对称，故C、D都错误． 答案　B 5．(2024·北京门头沟高一期中)比较tan 48°、tan (－22°)、tan 114°的大小关系(　　) A．tan 114°＞tan 48°＞tan (－22°) B．tan (－22°)＞tan 114°＞tan 48° C．tan (－22°)＞tan 48°＞tan 114° D．tan 48°＞tan (－22°)＞tan 114° 解析　tan 114°＝tan (180°－66°)＝tan (－66°)， 因为函数y＝tan x在(－90°，90°)上单调递增，且－66°＜－22°＜48°， 所以tan (－66°)＜tan (－22°)＜tan 48°， 即tan 48°＞tan (－22°)＞tan 114°. 答案　D 6．已知函数f(x)＝tan ，则下列说法错误的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为 B．函数f(x)的值域为R C．点是函数f(x)的图象的一个对称中心 D．f<f 解析　因为f(x)＝tan ， 所以函数f(x)的最小正周期T＝，故A正确．由正切函数的图象和性质，可知函数f(x)的值域为R，故B正确． 由2x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 当k＝1时，x＝， 所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心，故C正确． 因为f＝tan ＝tan >0，f＝tan ＝tan<0， 所以f>f，故D错误．故选D． 答案　D 7．满足sin ≥的x的集合是(　　) A． B． C． D． 解析　sin ≥，故＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以满足sin ≥的x的集合是. 答案　A 8．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是(　　) 解析　函数的最小正周期为T＝， ∴当|a|＞1时，T＜2π，当0＜|a|＜1时，T＞2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现选项D不符合要求，故选D． 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝cos (ω>0)的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝2 B．函数f为奇函数 C．函数f(x)在上单调递减 D．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 解析　对于A：由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，A正确； 故f(x)＝cos ， 对于B：f＝cos ＝cos ＝sin 2x，故函数f为奇函数，B正确； 对于C：令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的递减区间为，k∈Z， 令k＝0，且x∈，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，C错误； 对于D：f＝cos ＝cos 0＝1为最大值，故直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，D正确．故选ABD． 答案　ABD 10．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝3cos B．f(x)在区间(3π，4π)上单调递增 C．f(x)>的解集为(k∈Z) D．f(x)的图象的对称轴方程为x＝kπ－(k∈Z) 解析　由图知A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝4＝4π，所以ω＝＝，所以f(x)＝3cos .因为点在f(x)的图象上，所以3cos ＝3，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝3cos ，故A错误；令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，因为(3π，4π)⊆(k∈Z)，所以B正确；令3cos >，则cos >，所以2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ－<x<4kπ＋π(k∈Z)，所以f(x)>的解集为(k∈Z)，故C正确；令x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)，故D错误． 答案　BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．函数y＝lg (1－tan x)的定义域是________． 解析　使函数有意义的实数x应满足条件 1－tan x＞0⇔tan x＜. 当x∈时，－＜x＜，故所求函数的定义域为(k∈Z). 答案　(k∈Z) 12．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则A＝________，φ＝________． 解析　由图象得解得 又＝－＝2π，则ω＝＝， 将代入原式，解得φ＝－. 答案　4π　－ 13．已知函数f(x)＝3sin (ω＞0)和g(x)＝2cos (2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________． 解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同， ∴f(x)与g(x)的最小正周期相等， ∵ω＞0，∴ω＝2， ∴f(x)＝3sin ，∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin ≤1， ∴－≤3sin ≤3，即f(x)的取值范围为. 答案　 14．对于函数f(x)＝，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数； ②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称； ④当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时， 0＜f(x)≤. 其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析　画出f(x)在一个周期[0，2π]上的图象． 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故③④正确． 答案　③④ 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解析　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3. (2)因为x∈， 所以2x＋∈. 所以当2x＋＝0， 即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－， 即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 16．(15分)已知函数f(x)＝2sin ＋a(a为常数). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 解析　(1)f(x)＝2sin ＋a. ∴f(x)的最小正周期T＝π. (2)当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增， 故所求区间为(k∈Z). (3)当x∈时， 2x－∈， ∴当x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin ＋a＝－2，∴a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$