7.3.4 正切函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·四川成都高一月考)y＝tan 定义域为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得2x－≠kπ＋，k∈Z， 解得x≠＋π，k∈Z，故定义域为. 答案　B 2．(2024·陕西汉中高一期中)若函数f(x)＝tan (ω＞0)的最小正周期为1，则f的值为(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 解析　因为函数f(x)＝tan (ω＞0)的最小正周期为1， 所以T＝1＝，解得：ω＝π， 所以f(x)＝tan ，则f＝tan ＝tan ＝. 答案　C 3．(多选题)已知函数f(x)＝tan ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的定义域为 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)在区间上单调递增 解析　由题意，函数f(x)＝tan ，可得f(x)的最小正周期为T＝，所以A不正确；令2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，即函数f(x)的定义域为，所以B正确；令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，可得x＝－，所以函数f(x)的图象关于点对称，所以C正确；由x∈，可得2x＋∈，根据正切函数的性质，可得函数f(x)在区间上单调递增，所以D正确． 答案　BCD 4．(2024·江西宜春高一月考)函数f(x)＝3tan ，x∈的值域为(　　) A． B． C．[，3 ] D． 解析　∵x∈，∴2x＋∈，∴tan ∈， ∴3tan ∈[，3]，故选C． 答案　C 5．(2024·山东聊城高一期中)已知函数y＝tan (2x＋φ)图象的一个对称中心为，则φ的值为________． 解析　由2×＋φ＝(k∈Z)，得φ＝－(k∈Z).又－＜φ＜，则φ＝－或φ＝. 答案　－或 6．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在区间上的大致图象依次是________(填序号). 解析　∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan |x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan (－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③. 答案　①②④③ 7．已知函数f(x)＝tan (3x＋φ)的图象关于点对称，则φ＝__________． 解析　因为f(x)＝tan (3x＋φ)的图象关于点对称， 所以－＋φ＝，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝－. 答案　－ 8．已知函数y＝3tan . (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的定义域； (3)说明此函数的图象是由y＝tan x的图象经过怎样的变换得到的？ 解析　(1)由题意得，函数y＝tan 的最小正周期T＝. (2)由2x－≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z. 所以原函数的定义域为. (3)把函数y＝tan x图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数y＝tan 的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝tan 的图象，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan 的图象． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．tan ＞tan B．sin 145°＜tan 47° C．函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 D．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) 解析　A错误，tan ＝tan ＝tan ， 因为0＜＜＜， 函数y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，即tan ＜tan ； B正确，sin 145°＝sin 35°＜1，tan 47°＞1， 故sin 145°＜tan 47°； C错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为； D正确，∵≤x＜， ∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2.故选BD． 答案　BD 10．(多选题)已知函数f(x)＝tan ＋6(ω>0)的最小正周期为，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝6 B．f(x)的图象经过点 C．f(x)的定义域为 D．不等式f(x)>9的解集为，k∈Z 解析　由正切函数的周期T＝＝，解得ω＝3.故A错误． 因为f＝tan ＋6＝5，所以f(x)的图象经过点.故B正确． 令3x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 即f(x)的定义域为.故C正确． 令tan ＋6>9，则tan >，所以＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，得<x<＋，k∈Z，即不等式f(x)>9的解集为，k∈Z.故D正确．故选BCD． 答案　BCD 11．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的部分图象如图，则f的值为__________． 解析　由图象可知： T＝2＝， ∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z). 又|φ|＜， ∴φ＝. 又f(0)＝1，∴A tan ＝1，得A＝1， ∴f(x)＝tan ， ∴f＝tan ＝tan ＝. 答案　 12．函数y＝的定义域为______． 解析　根据题意，得 解得 所以函数的定义域为∪(k∈Z). 答案　∪(k∈Z) 13．已知函数f(x)＝3tan . (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小． 解析　(1)∵f(x)＝3tan ＝－3tan ， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝4π. 令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)＝3tan 的单调增区间为，k∈Z， ∴函数f(x)＝3tan 的单调减区间为 ，k∈Z. (2)f(π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f＝3tan ＝3tan ＝－3tan . ∵0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan ＜tan ， ∴－3tan ＞－3tan ，即f(π)＞f. [学科素养·探索创新] 14．函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点A，B，则方程f(x)＝sin ，x∈[0，π]所有解的和为(　　 ) A． B． C． D． 解析　由题意，得－＝T，所以T＝， 因为ω>0，所以＝，所以ω＝2， 又tan ＝0，0<|φ|<，解得φ＝－， 所以f(x)＝tan ，故＝sin ，x∈[0，π]， 因为x∈[0，π]，所以2x－∈， 当sin ＝0或cos ＝1时满足题意， 所以2x－＝0或2x－＝π，解得x1＝，x2＝， 故x1＋x2＝＋＝. 答案　B 15．已知函数f(x)＝x2＋2x tan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z. (1)当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f(x)的最大值与最小值； (2)若函数g(x)＝为奇函数，求θ的值； (3)求使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围． 解析　(1)当θ＝－时， f(x)＝x2－x－1＝－. ∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)min＝－； 当x＝－1时，f(x)max＝. (2)由题知g(x)＝x－＋2tan θ， ∵g(x)为奇函数，∴0＝g(－x)＋g(x)＝－x＋＋2tan θ＋x－＋2tan θ＝4tan θ， ∴tan θ＝0，∴θ＝kπ，k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为x＝－tan θ. ∵f(x)在区间[－1，]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥， 即tan θ≤－或tan θ≥1， ∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z， 故θ的取值范围是∪，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $$