8.2.1 两角和与差的余弦（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

§8.2　三角恒等变换 8．2.1　两角和与差的余弦 学业标准 学科素养 1．了解两角差与和的余弦公式的推导过程．(难点) 2．熟记两角差与和的余弦公式，并能简单应用．(重点) 1．通过推导两角和与差的余弦公式，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过两角和与差的余弦公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　两角差的余弦公式 　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos (α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明． [提示]　不正确． 例如：当α＝，β＝时，cos (α－β)＝cos＝， 而cos α－cos β＝cos－cos＝－， 故cos (α－β)≠cos α－cos β； 再如：当α＝，β＝时， cos (α－β)＝cos＝， 而cos α－cos β＝cos－cos＝， 故cos (α－β)≠cos α－cos β. 　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__1__； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝　　； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝__0__； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝　　. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝__cos_(α－β)__． ◎结论形成 两角差的余弦公式 公式 cos (α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__. 简记符号Cα－β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 导学2　两角和的余弦公式 　把公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ [提示]　cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 　在cos (α＋β)的公式中，α，β的条件是什么？ [提示]　α，β为任意角． ◎结论形成 两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos (α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__ Cα＋β α，β∈R 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°.(　　) (2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β .(　　) (3)存在角α，β，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β.(　　) (4)cos 175°cos 55°＋sin 175°sin 55°＝－.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．cos 345°的值等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D．－ 解析　cos(300°＋45°) ＝cos 300°cos 45°－sin 300°sin 45° ＝×＋×＝.故选C． 答案　C 3．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　原式＝cos 83°cos 37°－sin 83°cos(90°－37°) ＝cos 83°cos 37°－sin 83°sin 37°＝cos(37°＋83°) ＝cos 120°＝－. 答案　A 4．计算：sin 60°＋cos 60°＝________. 解析　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°) ＝cos 30°＝. 答案　 题型一　两角和与差的余弦公式的简单应用 　求下列各式的值： (1)cos 15°－cos 75°； (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°； (3)cos 15°－sin 15°. [解析]　(1)cos 15°－cos 75° ＝cos(60°－45°)－cos(45°＋30°) ＝×＋×－×＋×＝. (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos(20°＋25°)＝. (3)cos 15°－sin 15° ＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15° ＝cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝×－× ＝. 公式Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如，30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值． [触类旁通] 1．求值：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°·sin 105°. 解析　(1)解法一　原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝×＋×＝. 解法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 题型二　给值求值 　(1)已知α是锐角，sin α＝，则cos等于(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． [解析]　因为α是锐角，sin α＝， 所以cos α＝， 所以cos＝×－×＝. [答案]　B (2)若cos (α＋β)＝，sin ＝，α，β∈，则cos的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，β－∈. 又cos (α＋β)＝，sin ＝，∴sin (α＋β)＝＝， cos＝＝， ∴cos＝cos＝cos (α＋β)cos＋sin (α＋β)sin ＝×＋×＝，故选C． [答案]　C [素养聚焦]　根据已知的三角函数值求未知的三角函数值，要观察条件与结论之间的关系，将二者沟通即为解题过程，体现了逻辑推理和数学运算核心素养． 给值求值问题的两个主要技巧 (1)已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的正负． (2)注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)，4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝(α＋β)＋β等． [触类旁通] 2．(2024·浙江衢州高一期末)已知α，β∈，且cos(α＋β)＝，sin α＝，则cos β＝(　　) A．－ B． C． D． 解析　因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 因此sin(α＋β)＝＝，cos α＝＝， 于是有cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝，故选C． 答案　C 题型三　给值求角一题多变 　已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值． [解析]　∵α，β∈且cos α＝， cos (α＋β)＝－， ∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝， sin (α＋β)＝＝. 又β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝×＋×＝. 又β∈，∴β＝. [母题变式] 1．(变条件)若例3条件中的“cos (α＋β)＝－”改为“sin (α＋β)＝”，求β的值． 解析　∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝，sin (α＋β)＝， ∴sin α＝，cos (α＋β)＝±， 当cos (α＋β)＝－时， cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－×＋×＝， ∵β∈，∴β＝； 当cos (α＋β)＝时，cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝＜＝cos (α＋β)， 且α＋β∈，β∈， ∴β＞α＋β，即α＜0，与已知矛盾，舍去，所以β＝. 2．(变结论)在例3的条件下，若γ∈，sin γ＝，求cos (β－γ)的值． 解析　由例3知β＝， 又γ∈，sin γ＝，∴cos γ＝， ∴cos (β－γ)＝cos ＝coscos γ＋sin sin γ ＝×＋×＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求所求角的某种三角函数值．(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数)． (2)结合三角函数值及角的范围求角． [触类旁通] 3．(2024·贵州铜仁高一期中)已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为(　　) A． B． C．或 D． 解析　∵α和β均为钝角， ∴cos α＝－＝－， cos β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 答案　D [缜密思维提能区]　易错辨析 三角形中角的范围不准致错 [典例]　已知在△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求 cos A． [错解]　∵sin C＝且C∈(0，π)， ∴cos C＝±， ∵cos B＝－，B∈(0，π)，∴sin B＝， ∴cos A＝cos [π－(B＋C)] ＝－(cos Bcos C－sin Bsin C) ＝－＝. [错因分析]　本题是在三角形中，没有注意角C的范围而致错． 因为cos B＜0，所以B是钝角，因此C是钝角是不可能的． [正解]　∵cos B＝－＜0，又B∈(0，π)， ∴B是钝角sin B＝，又sin C＝，B是钝角， ∴C是锐角，∴cos C＝ ∴cos A＝－cos (B＋C)＝. [纠错心得] 解题过程中，要仔细分析题意，认真对待每个条件，同时要挖掘出隐含条件，如本题要结合三角函数的性质合理确定角的范围． 知识落实 技法强化 (1)两角和与差的余弦公式的推导． (2)给角求值，给值求值，给值求角. (1)求三角函数值时注意角的构造． (2)求三角函数值时注意其符号的确定，求角时易忽视角的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$