8.1.1 向量数量积的概念（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

§8.1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 学业标准 学科素养 1．了解向量数量积的物理意义．(难点) 2．掌握向量数量积的定义，理解其几何意义．(重点) 1．通过向量数量积的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过向量数量积的应用，提升数学运算等核心素养． 导学1　两个向量的夹角 　设a，b是两个非零向量，能否把a，b平移到共同起点？ [提示]　能． ◎结论形成 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 范围 〈a，b〉∈__[0，π]__，〈a，b〉＝〈b，a〉 特殊 θ＝__0__ a与b同向 θ＝__π__ a与b反向 θ＝____ a与b垂直，记作__a⊥b__，规定__0__可与任一向量垂直 导学2　向量数量积的定义 　如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N，则力F做的功是多少？ [提示]　3×5×cos 30°＝(J). ◎结论形成 1．向量数量积的定义 条件 a与b为非零向量 结论 称__|a||b|cos_〈a，b〉__为向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作__a·b__， 即__a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉__ 规定 零向量与任一向量的数量积为__0__ [点拨]　两向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b或ab的形式． 2．向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量， (1)a⊥b⇔__a·b＝0__． (2)当a∥b时，a·b＝ (3)a·a＝__|a|2__或__|a|＝__． (4)cos 〈a，b〉＝____． (5)|a·b|__≤__|a||b|. 导学3　向量的投影与向量数量积的几何意义 　在平面直角坐标系中，若A(1，1)，B(4，4)，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A1，A2，过点B作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B1，B2， ①则＝________；＝________． [提示]　＝(3，0)；＝(0，3) ②在x轴上的投影(向量)及投影的数量分别是什么？二者有什么关系？ [提示]　，3；投影是一个向量，投影的数量与投影的长度有关，当两向量夹角为锐角时，此时，投影的数量即投影的长度． ◎结论形成 1．向量投影 (1)在直线上的投影：如图1所示，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量____为向量a在直线l上的投影向量或投影． (2)在向量上的投影：给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为__a在向量b上__的投影．如图2中，向量a在向量b上的投影为____． 2．投影的数量 a，b都为非零向量 向量b在a上投影的数量 __|b|cos_〈a，b〉__ 向量a在b上投影的数量 __|a|cos_〈a，b〉__ 3．a·b的几何意义 数量积a·b等于__a在向量b上的投影的数量与b的模__的乘积． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a，b的夹角为π时，这两个向量是相反向量．(　　) (2)在等边△ABC中，向量与向量夹角为60°.(　　) (3)两个非零向量a，b满足a＝λb，若λ＞0，则向量a，b的夹角为0.(　　) (4)向量a在向量b上的投影的数量一定是正数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，·＜0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析　∵·＝||||cos ∠BAC＜0， ∴cos ∠BAC＜0，即∠BAC为钝角，故选C． 答案　C 3．已知e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|＜1 解析　∵e1，e2共线，∴〈e1，e2〉＝0或π， ∴e1·e2＝±1. 答案　C 4．若|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则b在a上的投影的数量为________，a在b上投影的数量为________． 解析　|b|cos 〈a，b〉＝4×＝－2， |a|cos 〈a，b〉＝－4. 答案　－2　－4 题型一　与数量积有关命题的判断 　已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为(　　) ①|a·b|＝|a||b|⇒a∥b； ②a，b反向⇔a·b＝－|a||b|； ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|. A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 [解析]　需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为a·b＝|a|·|b|·cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，故命题①是真命题；②中若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题；④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题，故选C． [答案]　C 两向量方向相同时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为(或90°)，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线． [触类旁通] 1．给出以下命题： ①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0； ②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0； ③a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 其中正确命题的序号是________． 解析　上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误． 答案　③ 题型二　求向量的数量积、投影的数量一题多变 　如图所示，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： (1)·；(2)·；(3)·； (4)在上的投影的数量． [解析]　(1)因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. (4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在上投影的数量为||cos 120°＝4×＝－2. [母题变式] (变结论)本例(4)改为：求在上的投影的数量． 解析　||×cos 120°＝3×cos 120°＝－. (1)求平面向量数量积的步骤 ①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]； ②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． (2)求a在b上的投影的数量 |a|cos 〈a，b〉＝. [触类旁通] 2．已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为(　　) A．2　　　　　　 B．－2 C．2b D．－2b 解析　如图所示，＝a，＝b， ∵∠AOB＝120°，过A作AA′⊥OB，垂足为A′， ∴a在b上的投影为′，∴∠AOA′＝60°，OA＝8， ∴OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4，又|b|＝2. ∴′＝－2b，故选D． 答案　D 题型三　向量数量积性质的简单应用 　(多选题)对于任意向量a，b，c，下列命题不正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ [解析]　当a≠0，b≠0，a⊥b时，也可得到a·b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确． [答案]　AB [素养聚焦]　应用向量数量积的性质求夹角的过程中，体现了数学运算、直观想象核心素养． 求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观地得出． [触类旁通] 3．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________． 解析　·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 答案　等边三角形 知识落实 技法强化 (1)向量的夹角、向量数量积的定义． (2)向量数量积的性质． (3)向量的投影及向量数量积的几何意义． (1)向量的数量积的计算应用了数形结合的思想方法． (2)注意不要混淆投影与投影的数量． 学科网（北京）股份有限公司 $$