8.1.1 向量数量积的概念(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的概念、物理意义及投影，通过物理中力做功实例导入，衔接向量加减运算，构建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解核心内容。 其亮点在于以问题驱动探究，结合物理情境培养数学眼光，通过例题辨析（如向量夹角计算、投影判断）发展数学思维，课堂小结明确概念本质与注意事项。帮助学生深化理解，教师可提升教学效率。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 学习目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．　2.理解向量投影的数量的含义及投影向量的含义． 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！   如图，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. 新知学习 探究 返回导航 思考1　这个公式中哪些是向量，哪些是数量？ 提示：F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量． 思考2　你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积． 新知学习 探究 返回导航 点拨　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． 非零　 ∠AOB 垂直 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b； 【解】　由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　(1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C.a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题； B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题； 新知学习 探究 返回导航 C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题； D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题． 新知学习 探究 返回导航 (2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________． π 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 60° 新知学习 探究 返回导航 投影向量 投影 |a|cos〈a，b〉 新知学习 探究 返回导航 (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为(　　) A．2 B．－2 C．2b D．－2b √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为________． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2　 －2 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(一　两个向量的夹角) 1．给定两个 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________向量a，b，在平面内任选一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b，则称[0，π]内的 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)〈a，b〉的取值范围是[0，π]. (2)〈a，b〉＝〈b，a〉． 2．当〈a，b〉＝ eq \f(π,2) 时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量 eq \o(□,\s\up1(3)) ________． 　如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (1) eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(DF,\s\up16(→)) ； 【解】　 eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(DF,\s\up16(→)) 的夹角是∠EDF＝60°. 　如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (2) eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EF,\s\up16(→)) ； 【解】　因为 eq \o(EF,\s\up16(→)) ＝ eq \o(DA,\s\up16(→)) ，所以 eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EF,\s\up16(→)) 的夹角等于 eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(DA,\s\up16(→)) 的夹角，即∠EDA＝120°. 　如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (3) eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EB,\s\up16(→)) . 【解】　如图，延长FD至B′，使DB′＝FD， 则 eq \o(DB′,\s\up16(→)) ＝ eq \o(EB,\s\up16(→)) ，则 eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EB,\s\up16(→)) 的夹角等于 eq \o(DE,\s\up16(→)) 与 eq \o(DB′,\s\up16(→)) 的夹角，即∠EDB′＝120°. [跟踪训练1] 如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的夹角； 解：因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°. 如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BD,\s\up16(→)) ，所以∠DBC为向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的夹角． 因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°， 所以向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的夹角为120°. [跟踪训练1] 如图，已知△ABC是等边三角形． (2)若E为BC的中点，求向量 eq \o(AE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EC,\s\up16(→)) 的夹角． 解：因为E为BC的中点，所以AE⊥BC， 所以向量 eq \o(AE,\s\up16(→)) 与 eq \o(EC,\s\up16(→)) 的夹角为90°. eq \a\vs4\al(二　向量数量积的定义) 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉. 点拨　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”． (2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数．既可以是正数，也可以是0，还可以是负数． (3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0. (2)已知正三角形ABC的边长为1，求：① eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ；② eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ；③ eq \o(BC,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) . 【解】　①因为 eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(AC,\s\up16(→)) 的夹角为60°，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(AC,\s\up16(→)) |·cos 60°＝1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . ②因为 eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的夹角为120°，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(BC,\s\up16(→)) |·cos 120°＝1×1×(－ eq \f(1,2) )＝－ eq \f(1,2) . ③因为 eq \o(BC,\s\up16(→)) 与 eq \o(AC,\s\up16(→)) 的夹角为60°，所以 eq \o(BC,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(BC,\s\up16(→)) || eq \o(AC,\s\up16(→)) |·cos 60°＝1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . [跟踪训练2] (1)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝(　　) A．12 B．12 eq \r(2) C．－12 eq \r(2) D．－12 解析：m·n＝|m||n|cos 120°＝4×6×cos 120°＝24× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－12.故选D. (2)已知平面上三点A，B，C满足| eq \o(AB,\s\up16(→)) |＝3，| eq \o(BC,\s\up16(→)) |＝4，| eq \o(CA,\s\up16(→)) |＝5，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up16(→)) · eq \o(CA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CA,\s\up16(→)) · eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：由题得| eq \o(AC,\s\up16(→)) |2＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) |2＋| eq \o(BC,\s\up16(→)) |2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20× eq \f(4,5) －15× eq \f(3,5) ＝－16－9＝－25.故选D. eq \a\vs4\al(三　向量数量积的性质) 1．|a·b|≤|a||b|. 2．a·a＝|a|2，即|a|＝ eq \r(a·a) ，a2＝|a|2. 3．a⊥b⇔a·b＝0. 4．如果a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) . 【解析】　由题意，得cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－12,3×4) ＝－1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π. 求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值时一般采用夹角公式cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) .根据题中条件可求出|a|，|b|和a·b，从而可得cos θ及θ.确定θ时要注意θ∈[0，π]；当cos θ>0时，θ∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ；当cos θ<0时，θ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ；当cos θ＝0时，θ＝ eq \f(π,2) .　 [跟踪训练3] 在△ABC中，设 eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝b，若|a|＝2，|b|＝1，a·b＝ －1，则∠ACB＝________． 解析：设 eq \o(CB,\s\up16(→)) 与 eq \o(AC,\s\up16(→)) 的夹角为θ， 因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝2×1×cos θ＝－1， 所以cos θ＝－ eq \f(1,2) ， 所以θ＝120°，所以∠ACB＝60°. 四　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．投影向量 如图，设非零向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量 eq \o(A′B′,\s\up16(→)) 为向量a在直线l上的 eq \o(□,\s\up1(1)) __________或 eq \o(□,\s\up1(2)) ________． 2．投影的数量 一般地，如果a，b都是非零向量，则称 eq \o(□,\s\up1(3)) ________________________为向量a在向量b上的投影的数量． 【解析】　如图所示， eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝b，过A作AA′⊥BO的延长线，垂足为A′， 所以a在b上的投影为 eq \o(OA′,\s\up16(→)) ， 因为∠AOB＝120°， 所以∠AOA′＝60°，OA＝8， 所以OA′＝OA·cos 60°＝8× eq \f(1,2) ＝4， 又|b|＝2.所以 eq \o(OA′,\s\up16(→)) ＝－2b. (2)已知a·b＝12且|b|＝5，则向量a在向量b上的投影的数量为(　　) A． eq \f(12,5) B． eq \f(12,7) C． eq \f(5,12) D． eq \f(7,12) 【解析】　因为a·b＝12且|b|＝5，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(12,5) .故选A. 投影的数量可正、可负、可为零，其符号取决于两向量之间的夹角，向量的夹角是由两个向量的方向确定的，如在△ABC中， eq \o(BC,\s\up16(→)) 与 eq \o(CA,\s\up16(→)) ， eq \o(CA,\s\up16(→)) 与 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．因此，找准两个向量之间的夹角是关键．确定两个向量的夹角时，一定要注意“共始点”． [跟踪训练4] (1)在等腰梯形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝2 eq \o(DC,\s\up16(→)) ，则向量 eq \o(AD,\s\up16(→)) 在向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 上的投影为(　　) A． eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) B． eq \f(\r(3),4) eq \o(AB,\s\up16(→)) C． eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) D． eq \f(\r(3),2) eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析：如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F， 在等腰梯形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝2 eq \o(DC,\s\up16(→)) ，可得AE＋BF＝DC＝ eq \f(1,2) AB，则AE＝BF＝ eq \f(1,4) AB，故向量 eq \o(AD,\s\up16(→)) 在向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 上的投影为 eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) . eq \f(2,9) a 解析：依题意b在a上的投影为|b|cos 〈a，b〉 eq \f(a,|a|) ＝( eq \f(a·b,|a|) ) eq \f(a,|a|) ＝ eq \f(2,3) · eq \f(a,3) ＝ eq \f(2,9) a. 1．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中错误的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ eq \r(a2) 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝ eq \r(a2) ，所以D正确． 2．(教材P79T1改编)已知|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a与 b的夹角是120°，则a·b＝(　　) A．3 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|·cos 120°＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) ×(－ eq \f(1,2) )＝－3.故选B. 3．(教材P79T5改编)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影为(　　) A．－ eq \f(3,4) b B．－ eq \f(1,2) b C． eq \f(1,2) b D．－ eq \f(1,4) b 解析：向量a在向量b上的投影是|a|cos 〈a，b〉 eq \f(b,|b|) ＝2×cos 120°× eq \f(b,4) ＝ － eq \f(1,4) b.故选D. 4．(教材P80T1改编)在等边三角形ABC中，边长为2，则 eq \o(BC,\s\up16(→)) · eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝____________， eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(CA,\s\up16(→)) ＝____________． 解析： eq \o(BC,\s\up16(→)) · eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝| eq \o(BC,\s\up16(→)) || eq \o(BA,\s\up16(→)) |cos B＝2×2× eq \f(1,2) ＝2， eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(CA,\s\up16(→)) ＝－ eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝－| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(AC,\s\up16(→)) |cos A＝－2×2× eq \f(1,2) ＝－2. $