第7章 教考衔接2 三角函数中的参数问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

一、真题展示 1．(2024·北京卷)已知f(x)＝sin ωx(ω＞0)，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 2．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 二、真题溯源 [人教B版必修三P64习题7－3AT4] 判断下列函数奇偶性． (1)y＝－2sin 2x； (2)y＝|sin x|； (3)y＝3cos x＋1； (4)y＝tan x－1. [人教B版必修三P50练习AT3] ③求y＝－5sin 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． 三、类法探究 已知含参数ω的函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，三角函数的部分性质，求ω的取值范围，是近年来常考的一种类型题．由于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，难度较大，现就这一类问题进行归纳总结． 类型一　根据三角函数的单调性求参数 　(1)若f(x)＝sin 在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． [解析]　令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 又f(x)在[－t，t]上单调递增，则[－t，t]是，k∈Z的一个子区间， 当k＝0时，即，若[－t，t]是的子集，则t∈. [答案]　D (2)已知函数f(x)＝sin －(ω>0)，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　已知f(x)＝sin －(ω>0)， 由函数f(x)在上单调递减，且2ωx＋∈， 解得＋2k≤ω≤＋k，k∈Z， 因为ω>0，当且仅当k＝0时，有满足要求的取值，即≤ω≤. [答案]　C (3)已知函数f(x)＝sin 在上单调递增，则m的最大值为(　　) A． B．π C． D． [解析]　f(x)＝sin ， 周期T＝＝π， 函数f(x)在上单调递增， 则解得<m≤π， 则⊆， 函数f(x)的单调递增区间满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，－≤x≤； 当k＝1时，≤x≤； 当k＝2时，≤x≤， 所以⊆，则解得m≤ . [答案]　C 利用单调性求参数的范围的常见方法 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．求参数需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 类型二　根据三角函数的奇偶性求参数 　(1)已知f(x)＝2sin ＋1，将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)，则使得g(x)是偶函数的φ的最小值是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为f(x)＝2sin ＋1，由题意得g(x)＝2sin ＋1， 因为g(x)是偶函数， 所以－4φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z， 因为φ>0，所以φ的最小值是，故选A． [答案]　A (2)若函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为π，则满足条件“f(x＋φ)是偶函数”的φ的一个值为________(写出一个满足条件的φ即可). [解析]　因为f(x)＝2sin (ω>0)， 又f(x)的最小正周期为π，所以＝π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin ， 所以f(x＋φ)＝2sin . 又f(x＋φ)是偶函数，所以应满足2φ＋＝＋kπ，k∈Z， 所以有φ＝＋，k∈Z. [答案]　 (3)已知函数f(x)＝sin ，x∈R，设α>0，若函数g(x)＝f(x＋α)为奇函数，则α的值为________． [解析]　∵f(x)＝sin ，函数g(x)＝f(x＋α)为奇函数， ∴g(x)＝sin 为奇函数，则2α＋＝kπ(k∈Z)， ∵α>0，∴α＝－(k∈N＋). [答案]　α＝－(k∈N＋) (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)且B＝0； 函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A≠0)为偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z). (2)函数y＝A cos (ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)且B＝0； 函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A≠0)为偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z). 类型三　根据三角函数的对称性求参数 　(1)已知函数f(x)＝sin (ω>0)，若∃x0∈使得f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行，则ω的最小值是(　　) A． B．1 C． D．2 [解析]　已知f(x)＝sin ， 因为∃x0∈使得f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行， 所以函数f(x)在上存在最值，即函数f(x)在上存在对称轴， 令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 因为－≤x≤，所以－≤＋≤，即－≤＋≤， 则k∈Z， 又ω>0，故k＝0时，ω取最小值为，故选A． [答案]　A (2)已知函数f(x)＝m＋sin (2x＋φ)(φ>0)的最小值为2，且f(x)的图象关于点对称，则的最小值为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为函数f(x)＝m＋sin (2x＋φ)(φ>0)的最小值为2， 所以m－1＝2，解得m＝3，又f(x)的图象关于点对称， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z， 因为φ>0，所以φ＝kπ－，k∈N＋，所以φ的最小值为π－＝， 所以的最小值为＝，故选C． [答案]　C (3)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，若存在x1，x2，x3∈，且x3－x2＝2(x2－x1)＝4x1，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)>0，求φ的值． [解析]　令t＝2x＋φ，因为x1，x2, x3∈ ， 所以t1，t2, t3∈，<， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)>0，结合y＝sin t的图象(如图所示)， 得到t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π或t1＋t2＝3π，t2＋t3＝5π， 因为x3－x2＝2(x2－x1)＝4x1，所以x2＝3x1，x3＝7x1， 则解得φ＝－，此时x1＝，x2＝，x3＝，满足题意， 或解得φ＝，不符合题意，舍去．综上，可得φ的值为－. 将三角函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，根据正、余弦函数的对称轴、对称中心构建方程(组)，通过解方程(组)求参数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$