7.3.2 第1课时 正弦型函数的图象（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

7．3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　正弦型函数的图象 学业标准 学科素养 1．理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．(难点) 2．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(重点、难点) 1．通过“五点法”作函数图象，提升直观想象等核心素养． 2．在函数图象间的变换关系中培养逻辑推理等核心素养． 导学1　A(A＞0)对y＝A sin x的图象的影响 　对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？ [提示]　对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的. ◎结论形成 函数y＝A sin x的图象，可以看作是把y＝sin x图象上所有点的纵坐标__伸长__(当A＞1时)或__缩短__(当0＜A＜1时)到原来的__A__倍(横坐标不变)而得到． 导学2　φ(φ≠0)对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R的图象的影响 　如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？ [提示]　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位． 　如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin 的图象？ [提示]　向左平移个单位长度． ◎结论形成 如图所示，对于函数y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向__左__(当φ＞0时)或向__右__(当φ＜0时)平行移动__|φ|__个单位长度而得到的． 导学3　ω(ω＞0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 　函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？ [提示]　2π；π；4π 　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？ [提示]　当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍． 　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？ [提示]　可以，只要将y＝sin x图象横坐标“伸”或“缩”，纵坐标不变而得到． ◎结论形成 1．如图所示，函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标__缩短__(当ω＞1时)或__伸长__(当0＜ω＜1时)到原来的____倍(纵坐标__不变__)而得到． 2．由y＝sin x图象变换到y＝3sin 图象的方法： 把函数y＝sin x图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的____，就可得到y＝sin 2x的图象；把y＝sin 2x图象上的所有点，横坐标__不变__，纵坐标变为原来的__3__倍，就可得到y＝3sin 2x的图象；把y＝3sin 2x图象上的所有点，向__左__平移____个单位长度，就可得到y＝3sin 的图象． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)把函数y＝sin x的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝sin (x＋3)的图象．(　　) (2)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位长度后得到的图象与原图象重合．(　　) (3)函数y＝2sin ＋1的最大值为3.(　　) (4)函数y＝3sin 的最小正周期为2π.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．要得到函数y＝sin 的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析　将函数y＝sin x的图象上所有点向右平移个单位长度，就可得到函数y＝sin 的图象． 答案　B 3．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为(　　) A．2π　　 B．π　　 C．　　 D． 解析　由题意知g(x)＝sin ＋1＝sin x＋1.故T＝2π. 答案　A 4．将函数y＝sin 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数________的图象． 解析　y＝sin 的图象 y＝sin 的图象． 答案　y＝sin 题型一　“五点法”作图 　(1)利用“五点法”画出函数y＝sin 在长度为一个周期的闭区间上的简图： (2)说明该函数的图象是由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． [解析]　(1)先列表，后描点并画图． x＋ 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 (2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象． 或把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin ，即y＝sin 的图象． 用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [触类旁通] 1．用“五点法”画出函数y＝sin (x∈R)的图象． 解析　令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表： X 0 π 2π x y 0 0 － 0 描点画图： 因为函数的周期为π， 所以将函数在上的图象向左、向右每次平移π个单位，即得y＝sin (x∈R)的图象． 题型二　三角函数图象的平移变换 　(1)函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度得到函数(　　) A．y＝sin B．y＝－sin C．y＝－cos D．y＝cos [解析]　y＝sin 的图象向左平移个单位长度得到f(x)＝sin ＝cos ，故选D． [答案]　D (2)要得到函数y＝3sin 2x的图象，只需将y＝3sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [解析]　由题知y＝3sin ＝3sin ， 所以由y＝3sin 2x变到y＝3sin 只需向左平移个单位长度， 故由y＝3sin 变到y＝3sin 2x只需向右平移个单位长度． [答案]　B [素养聚焦]　在图象的平移过程中，揭示了图象间的内在联系，体现了逻辑推理的核心素养． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． [触类旁通] 2．(2024·辽宁抚顺高一期中)将函数f(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 　　　 B．sin C．sin 8x D．sin 解析　由题意得g(x)＝f＝sin ＝sin . 答案　B 题型三　三角函数图象的伸缩变换 　(1)将正弦函数f(x)＝sin x的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin [解析]　将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将所得函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝sin 的图象． ∴g(x)＝sin . [答案]　B (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin [解析]　由题意可知，把y＝sin 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到函数y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin ＝sin . [答案]　C 三角函数图象伸缩变换的方法 y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)y＝mf(x)y＝mf＝mA sin . [触类旁通] 3．(多选题)(2024·河北沧州高一月考)为了得到函数f(x)＝sin 的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 解析　正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度， 得到函数y＝sin 的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数f(x)＝sin 的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数f(x)＝sin 的图象，故C正确，D错误． 答案　AC [缜密思维提能区]　易错辨析 正弦型函数图象的变换 [典例]　将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________． [错解]　y＝sin y＝sin ＝sin y＝sin ， 故所得的函数解析式是y＝sin . [错因分析]　错误的根本原因是左右平移变换出错．实际上y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝f的图象． [正解]　y＝sin y＝sin ＝sin y＝sin ， 故所得的函数解析式是y＝sin . [答案]　y＝sin [纠错心得] 图象的左右平移是针对x而言的，如函数f(x)＝－2sin 的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝f＝－2sin ＝－2sin 的图象． 知识落实 技法强化 (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)五点法作图． (4)y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义． (1)本节应用了数形结合的思想方法研究三角函数图象的变换． (2)注意先平移和先伸缩时平移的量不一样． 学科网（北京）股份有限公司 $$