7.2.4 第1课时 角α与α＋k•2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数的关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

7．2.4　诱导公式 　　　　　　　　第1课时　角α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(重点) 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1．通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　诱导公式① 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？ [提示]　sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. ◎结论形成 诱导公式① sin(α＋k·2π)＝__sin_α__，(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝__cos_α__，(k∈Z) tan (α＋k·2π)＝__tan_α__，(k∈Z)． 导学2　诱导公式② 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系． [提示]　α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y)．sin(－α)＝－y＝－sin α，cos(－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－＝－tan α. ◎结论形成 1．角的旋转对称 角α的终边和角β的终边关于角　　的终边所在的直线对称． 2．诱导公式② sin(－α)＝__－sin_α__， cos(－α)＝__cos_α__， tan (－α)＝__－tan_α__. 导学3　诱导公式③ 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． [提示]　α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝＝－tan α. ◎结论形成 诱导公式③ sin(π－α)＝__sin_α__， cos(π－α)＝__－cos_α__， tan (π－α)＝__－tan_α__. 导学4　诱导公式④ 　你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？ [提示]　如cos(π＋α)＝cos [π－(－α)] ＝－cos(－α)＝－cos α. ◎结论形成 诱导公式④ sin(π＋α)＝__－sin_α__， cos(π＋α)＝__－cos_α__， tan (π＋α)＝__tan_α__. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式对任意角都成立．(　　) (2)若cos(π－α)＝，则cos α＝－.(　　) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (4)函数y＝sin x是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)等于(　　) A．π－4　　　　　　　 B．4 C．－4 D．4－π 解析　tan (π－α)＝－tan α＝－4. 答案　C 3．sin 585°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 答案　A 4．已知sin ＝m，则cos等于(　　) A．m B．－m C． D．－ 解析　cos＝cos＝－cos ＝－＝. 答案　C 题型一　给角求值问题 　求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos； (3)tan (－945°)． [解析]　(1)解法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－. 解法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－. (2)解法一　cos＝cos ＝cos＝cos ＝－cos＝－. 解法二　cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (3)tan (－945°)＝－tan 945° ＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)负化正：用公式一或三来转化． (2)大化小：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)小化锐：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)锐求值：得到锐角的三角函数后求值． [触类旁通] 1．求下列角的三角函数值： (1)cos(－1 050°)； (2)sin； (3)tan； (4)sin. [解析]　(1)cos(－1 050°)＝cos(1 080°－1 050°)＝cos 30°＝； (2)sin＝sin＝sin＝； (3)tan＝tan＝tan＝； (4)sin＝sin＝sin＝sin＝. 题型二　给值(式)求值问题一题多变 　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．－ (2)已知cos＝，求cos－sin2 的值． [解析]　(1)sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m， 所以sin α＋cos α＝m， 而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝＝. (2)因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2 ＝sin2 ＝1－cos2 ＝1－2＝， 所以cos－sin2 ＝－－ ＝－. [答案]　(1)A　(2)－ [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例2(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意，知题目变为cos＝， 求cos＋sin2 的值． 因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2 ＝1－cos2 ＝1－2＝， 所以cos＋sin2 ＝－＋ ＝－. 2．(变结论)例2(2)题中的条件不变，求cos－sin2 的值． 解析　cos－sin2 ＝cos－sin2 ＝－cos－sin2 ＝－－＝－. 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [触类旁通] 2．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解析　∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角， ∴sin(α－75°)＝－＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝. 题型三　三角函数式的化简问题 　(1)化简：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________. (2)已知tan (π－α)＝－，且α∈. 求值：. [解析]　(1)原式＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0. (2)由题知tan (π－α)＝－， ∴tan α＝， ∴＝ ＝＝＝－. [答案]　(1)0　(2)－ 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan. [触类旁通] 3．(1)若＝，则tan θ等于(　　) A．　　 B．－　　 C．－3　　 D．3 解析　＝＝，分子分母同除以cos θ，得＝， 解得tan θ＝－3. 答案　C (2)化简：·tan(π＋α)＝________. 解析　原式＝·tan α＝·＝－1. 答案　－1 [缜密思维提能区]　规范答题 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 [典例]　(13分)化简sin ＋cos，k∈Z. [规范解答]　原式＝sin ＋ cos.(3分) ①当k为奇数时， 设k＝2n＋1(n∈Z)，则 原式＝sin ＋cos ＝sin ＋cos ＝sin ＋cos(8分) ＝sin －cos.(10分) ②当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin ＋cos ＝－sin ＋cos.(13分) [纠错心得] (1)在化简三角函数式时，首先要细心观察所要化简的角之间有何联系，找出它们的内在关系，由此转化为利用公式进行化简． (2)若含有参数时，要注意是否需进行分情况讨论． (3)在解答题中要注意答题的规范性和完整性． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式①②③④. (1)记忆本节课的诱导公式的口诀是：函数名不变，符号看象限． (2)利用诱导公式要特别注意三角函数值符号的确定. 学科网（北京）股份有限公司 $$