7.2.4 第2课时 角α与π2±απ2±α的三角函数的关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第2课时　角α与±α，±α的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1．了解公式⑤和公式⑥的推导方法；能够准确记忆诱导公式⑤～⑧.(难点) 2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(重点) 1．通过诱导公式⑤～⑧的推导，培养逻辑推理等核心素养； 2．利用诱导公式求三角函数值，提升数学运算等核心素养. 导学1　诱导公式⑤ 　如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2. (1)P2点的坐标是什么？ [提示]　P2(y，x)． (2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ [提示]　对称．sin ＝cos α， cos＝sin α. ◎结论形成 诱导公式⑤ sin ＝__cos_α__， cos＝__sin_α__. 导学2　诱导公式⑥～⑧ 　能利用诱导公式②⑤探究α与＋α的三角函数的关系吗？ [提示]　如cos＝cos ＝－cos＝－sin α. 　利用前面学习的诱导公式，你能发现＋α与α、－α与α间的三角函数的关系吗？ [提示]　如sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α. cos＝cos＝cos ＝－sin α. ◎结论形成 诱导公式⑥⑦⑧ sin ＝__cos_α__， cos＝__－sin_α__. cos＝__sin_α__， sin ＝__－cos_α__. cos＝__－sin_α__， sin ＝__－cos_α__. [点拨] 巧记诱导公式①～⑧ 诱导公式一至六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． (2)“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的． (3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 例如，将cos写成cos，因为1是奇数，则“cos ”变为正弦函数符号“sin ”，又将α看成第一象限角时，＋α是第二象限角，cos符号为“－”，故有cos＝－sin α. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos＝cos α.(　　) (2)若cos 10°＝a，则sin 100°＝a.(　　) (3)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　　) (4)tan＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．sin 165°等于(　　) A．－sin 15°　　　　　 B．cos 15° C．sin 75° D．cos 75° 解析　sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°. 答案　D 3．已知sin ＝，则cos的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析　cos＝cos ＝sin ＝. 答案　C 4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________. 解析　由题意得sin α＝－＝－， 所以cos＝－sin α＝. 答案　 题型一　利用诱导公式化简、求值一题多变 　(1)已知cos＝，求sin 的值； (2)化简： . [解析]　(1)∵α＋＝＋， ∴sin ＝sin ＝cos＝. (2)原式＝ ＝tan α. [母题变式] (变结论)若例1(1)的条件不变，求sin 的值． 解析　sin ＝－sin ＝－sin ＝－cos ＝－. [素养聚焦]　通过运用诱导公式进行化简求值，把数学运算核心素养体现在解题过程中． 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． [提醒] 常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等． [触类旁通] 1．(1)已知sin＝，则cos＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　因为sin＝， 所以cos ＝cos ＝sin＝. 答案　A (2)(2024·浙江义乌高一期中)已知tanα＝3，α∈，则cos的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　因为 所以sin2α＝，cos2α＝， 又因为α∈， 所以sin α＝，cos α＝， 所以cos＝－sin α＝－，故选A． 答案　A 题型二　利用诱导公式证明恒等式 　(1)求证： ＝. (2)求证： ＝－tan α. [证明]　(1)右边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝左边． 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝ ＝－＝－tan α＝右边． 所以原式成立． 三角恒等式证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [触类旁通] 2．求证： ＝. 证明　左边＝＝ ＝ ＝＝ ＝. 右边＝＝＝. ∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三　诱导公式的综合应用一题多变 　已知cos α＝－，且α为第三象限角．求： (1)sin α的值； (2)f(α)＝的值． [解析]　(1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－＝－. (2)f(α)＝ ＝tan α·sin α＝·sin α＝ ＝2×＝－. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求f(α) ＝的值． 解析　f(α)＝＝sin α＝－. 2．(变条件、变结论)将本例条件“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值． 解析　由题意知m2＋2＝1， 解得m2＝， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－， 所以sin α＝，cos α＝－. 原式＝ ＝＝－. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [触类旁通] 3．已知sin＋2cos＝0. (1)若α为第一象限角，求sin α； (2)求的值． 解析　(1)由sin＋2cos＝0，得－cos α＋2sin α＝0，即2sin α＝cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，联立解得 或 因为α为第一象限角，所以sin α＝. (2)由(1)知2sin α＝cos α，得tan α＝. 故＝＝＝－. [缜密思维提能区]　规范答题 三角函数的求值问题 [典例]　(13分)已知tan α＝， 求＋ 的值． [规范解答]　＋ ＝＋ (4分) ＝＋(7分) ＝＋＝.(10分) ∵tan α＝， ∴＝， 即sin2α＝，即原式＝12. (13分) [纠错心得] (1)对于八组诱导公式要熟记，特别注意符号和三角函数名称的变化． (2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法． (3)解答题要注意书写规范、完整． 知识落实 技法强化 (1)诱导公式⑤⑥⑦⑧. (2)诱导公式的综合应用. (1)本节课的主要方法有：公式法、角的构造． (2)注意函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 学科网（北京）股份有限公司 $$