7.2.1 三角函数的定义（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

§7.2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 学业标准 学科素养 1．理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．(难点) 2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(重点) 1．通过三角函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数定义的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 　使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ [提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝. (2)对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ [提示]　否． ◎结论形成 设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝＞0)，如图，那么 (1)称　　为角α的正弦，记作sin α，即　sin α＝　； (2)称　　为角α的余弦，记作cos α，即　cos α＝　； (3)称　　为角α的正切，记作tan α，即　tan α＝　. 由上可知，对于每一个角α，都有__唯一__确定的正弦、余弦与之对应；当α≠　kπ＋　(k∈Z)时，有__唯一__的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． 导学2　三角函数在各象限的符号 　已知α≠，k∈Z. (1)试分析sin α，cos α，tan α在各象限的符号． (2)试总结三角函数的符号规律． [提示]　 (1) (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正． ◎结论形成 (1)当且仅当α的终边在__第一、二__象限，或__y轴正半轴__上时，sin α＞0；当且仅当α的终边在__第三、四__象限，或__y轴负半轴__上时，sin α＜0. (2)当且仅当α的终边在__第一、四__象限，或__x轴正半轴__上时，cos α＞0；当且仅当α的终边在__第二、三__象限，或__x轴负半轴__上时，cos α＜0. (3)当且仅当α的终边在__第一、三__象限时，tan α＞0；当且仅当α的终边在__第二、四__象限时，tan α＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．(　　) (2)若角 α 终边过点(1,3)，则sin α＝.(　　) (3)终边在x轴上的角的正切值不存在．(　　) (4)若角x的终边在第三象限，则cos α<0，tan α>0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C． D．－ 答案　B 3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 4．角α＝，则角α的余弦值为________． 解析　∵α＝时，角α的终边上任取一点(0,1)， ∴cos α＝0. 答案　0 题型一　三角函数定义及其应用多维探究 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，点P为(1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，点P为(－1,3)， 此时sin θ＝＝， tan θ＝＝－3. (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在α的终边上任选一点P(x，y)，设点P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． [解析]　设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k＞0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k＜0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝，＝＝＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝. [触类旁通] 1．(2024·辽宁沈阳高一月考)已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P(－2,1)，则＝(　　) A．－　　 B．－3　　 C．0　　 D．1 解析　由终边经过点P(－2,1)，根据三角函数的定义，可得r＝|OP|＝， 所以sin α＝，cos α＝， 则＝＝－3，故选B． 答案　B 题型二　三角函数值符号的应用 　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D． (2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵＜3＜π，π＜4＜π，＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [答案]　(2)D　(1)略 [素养聚焦]　利用三角函数的定义判断三角函数值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑推理核心素养． 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [触类旁通] 2．(1)(2024·北京海淀高一期中)若sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　α的终边过点(cos α，sin α)，又sin α＜0且cos α＞0， 则α的终边所在象限为第四象限． 答案　D (2)(多选题)若α是第三象限角，则下列各式成立的是(　　) A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 解析　因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，所以sin α＋cos α<0，A正确； 所以tan α－sin α>0，B错误；所以cos α－tan α<0，C正确；所以tan αsin α<0，D正确． 答案　ACD [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视对参数的分类讨论致误 [典例]　角α的终边过点P(－3a,4a)，a≠0，则cos α＝________. [错解]　因为x＝－3a，y＝4a， 所以r＝＝5a， 于是cos α＝＝－. [错因分析]　错解中，误以为a＞0，没有对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从而结果错误． [正解]　由题意，可得 |OP|＝＝5|a|，且a≠0. 当a＞0时，|OP|＝5a，则cos α＝＝－. 当a＜0时，|OP|＝－5a，则cos α＝＝. [答案]　－或 [纠错心得] 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分类讨论，以免丢解． 知识落实 技法强化 (1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数值在各象限内的符号. (1)本节课应用了由特殊到一般、转化与化归、分类讨论的思想方法． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为. [必备知识·基础巩固] 1．(2024·四川眉山高一期中)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P，则sin α＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析　因为2＋2＝1，由三角函数的定义可知，点P为角α的终边与单位圆的交点，所以sin α＝. 答案　B 2．(多选题)已知角α的终边经过点(2a－6，a＋1)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 解析　因为角α的终边经过点(2a－6，a＋1)，且cos α≤0，sin α＞0， 所以α是第二象限角或α的终边在y轴非负半轴上，可得解得－1＜a≤3，结合选项可知实数a的取值可以是1,3，故选BC． 答案　BC 3．(多选题)给出的下列函数值中符号为负的是(　　) A．sin(－1 000°) B．cos C．tan 2 D．sin 5 解析　A 为正，∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，∴sin(－1 000°)＞0； B为负，＝2π＋，∴是第三象限角， ∴cos＜0； C为负，∵2 rad≈2×57°18′＝114°36′，是第二象限角，∴tan 2＜0； D为负，∵＜5＜2π，5弧度是第四象限角， ∴sin 5＜0；故选BCD． 答案　BCD 4. (2024·北京海淀高一期中)在△ABC中，A为钝角，则点P(cos A，tan B)(　　) A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 解析　在△ABC中，A为钝角，则B为锐角，则cos A＜0，tan B＞0， 则点P(cos A，tan B)在第二象限，故选B． 答案　B 5．(2024·河南洛阳高一月考)已知角θ的终边经过点P(4，m)，若sin θ＝－，则实数m＝________. 解析　由于角θ的终边经过点P(4，m)， 由角θ正弦的定义得：sin θ＝，且sin θ＝－，得：＝－，解方程得：5m2＝m2＋16，即m2＝4，得m＝±2， 由于＝－＜0，则m＜0，所以m＝－2. 答案　－2 6．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限． 解析　由题意知：sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0， ∴∴θ为第三象限角． 答案　三 7．点P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于第________象限． 解析　因为2 023°＝5×360°＋223°，223°是第三象限角， 所以tan 2 023°>0，cos 2 023°<0，所以点P位于第四象限． 答案　四 8．判断下列各式的符号： (1)tan 120°·sin 269°； (2)cos 4·tan. 解析　(1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0. ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. ∴tan 120°·sin 269°＞0. (2)∵π＜4＜，∴4是第三象限角， ∴cos 4＜0.∵－＝－6π＋， ∴－是第一象限角．∴tan＞0. ∴cos 4·tan＜0. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　) A．P(4，－12) B．sin θ＝－ C．cos θ＝－ D．tan θ＝－ 解析　因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)， 令x－4＝1，即x＝5，得y＝loga1－12＝－12， 即P(5，－12)，sin θ＝＝－，cos θ＝＝，tan θ＝－.故选BD． 答案　BD 10．(2024·陕西咸阳高一月考)sin θcos θ＜0，则(　　) A．tan θ＜0，θ可能是二，四象限角 B．tan θ＞0，θ可能是一，三象限角 C．tan θ＜0，θ可能是三，四象限角 D．tan θ＞0，θ可能是二，四象限角 解析　由sin θcos θ＜0可得，sin θ与cos θ异号，所以tan θ＝＜0，根据任意角三角函数的定义可知，角θ为第一象限角时，sin θ＞0，cos θ＞0，不符合题意；角θ为第二象限角时，sin θ＞0，cos θ＜0，符合题意；角θ为第三象限角时，sin θ＜0，cos θ＜0，不符合题意；角θ为第四象限角时，sin θ＜0，cos θ＞0，符合题意；综上，角θ为第二、四象限角，故选A． 答案　A 11．函数y＝＋－的值域是________． 解析　由sin x≠0，cos x≠0知， 角x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时， sin x＞0，cos x＞0，sin xcos x＞0，得y＝0； 当x为第二象限角时， sin x＞0，cos x＜0，sin xcos x＜0，得y＝2； 当x为第三象限角时， sin x＜0，cos x＜0，sin xcos x＞0，得y＝－4； 当x为第四象限角时， sin x＜0，cos x＞0，sin xcos x＜0，得y＝2. 故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}． 答案　{－4,0,2} 12．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________． 解析　由cos α≤0，sin α>0，可知 解得－2<a≤3，故实数a的取值范围是(－2,3]． 答案　(－2,3] 13．若α是第三象限角，且＝－cos，试判断的终边所在象限． 解析　因为α是第三象限角， 所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z. 所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z. 所以的终边在第二或第四象限． 又＝－cos，所以cos<0. 所以是第二或第三象限角， 所以是第二象限角，的终边在第二象限． [学科素养·探索创新] 14．函数y＝＋＋的值域是(　　 ) A．{－1,1,3}　　　　　 B．{1,3} C．{－1,3} D．R 解析　由题意知sin x≠0，cos x≠0，所以x的终边不在坐标轴上．当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}． 答案　C 15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tan α的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈，写出弓形AB的面积S与α的函数关系式． 解析　(1)由题意可得B，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝， 故与角α终边相同的角β的集合为. (3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α， 故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$