第7章 7.2.2 单位圆与三角函数线（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义核心知识点为单位圆与三角函数线，先定义单位圆（x²+y²=1），通过单位圆上点坐标引出正弦线、余弦线、正切线，明确其方向（与坐标轴同向为正）和长度（绝对值），进而应用于作线、比较函数值大小、求角的范围，形成从概念到应用的学习支架。 特色在于以直观想象为核心，用单位圆有向线段具象化三角函数值（如MP表正弦线），题型从作图到证明（|sinα|+|cosα|≥1），培养数学抽象与逻辑推理。课中助教师突破难点（正切线作法），课后学生可借例题与练习巩固，查漏补缺。

7.2.2　单位圆与三角函数线 学业标准 学科素养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(难点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(重点) 1.通过三角函数线的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数线的应用，提升直观想象等核心素养． 导学 正弦线、余弦线与正切线 　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示． (1)试求P点的坐标． (2)能否用向量直观表示sin α，cos α，tan α. [提示]　(1)P(cos α，sin α). (2)根据三角函数的定义，用向量，，表示sin α，cos α，tan α. 　三角函数线的方向是如何规定的？ [提示]　方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 　三角函数线的长度和方向各表示什么？ [提示]　长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． ◎结论形成 1．单位圆 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点的集合称为单位圆． 2．三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，称为角α的正弦线 余弦线 称为角α的余弦线 正切线 设α的终边或其反向延长线与直线x＝1相交于点T，则称为角α的正切线 [点拨]　 (1)三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由点(1，0)指向角α的终边或其反向延长线与直线x＝1的交点． (2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦线也可写成.(　　) (2)三角函数线都只能取非负值．(　　) (3)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(　　) (4)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列角的正切线不存在的是(　　) A．－ B． C． D． 解析　因为的终边落在y轴正半轴上，所以该角的正切线不存在，故选B. 答案　B 3．如图所示，210°角的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 ． 答案　　　 4．比较大小：sin 1 sin (填“＞”或“＜”). 解析　作出角1弧度、弧度的正弦线，比较可得． 答案　＜ 题型一　作出三角函数线 　[教材例1迁移]作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－；(2)；(3). [解析]　如图所示． 其中，各角的正弦线都是，余弦线都是，正切线都是. 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.　 [触类旁通] 1．画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 解析　根据三角函数线的定义，可得，，分别为正弦线、余弦线和正切线，如图所示，其中sin ＝－，cos ＝－，tan ＝. 题型二　利用三角函数线比较三角函数的大小 　(2024·山西大同高一期中)设a＝sin，b＝cos ，c＝tan ，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c [解析]　设的终边与单位圆相交于点P， 根据三角函数线的定义可知a＝MP＝sin ， b＝OM＝cos ，c＝AT＝tan ， 显然AT ＞MP＞OM，所以b＜a＜c. [答案]　D [素养聚焦]　在利用三角函数线比较大小的过程中，体现了直观想象核心素养． 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定三角函数线的正负．　 [触类旁通] 2．若MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则(　　) A．MP＜OM＜0 B．OM ＞0＞MP C．MO＜MP＜0 D．MP＞0＞OM 解析　在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM，如图所示，则OM＜MP＜0. 答案　C 题型三　利用三角函数线求角的范围 　根据下列条件，求角α的取值集合： (1)sin α＝；(2)sin α≥；(3)cos α≤－. [解析]　(1)已知角α的正弦值，可知MP＝，则点P纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线y＝，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因此角α的集合为，如图1. (2)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图2中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为. (3)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图3中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为. [母题变式] (变条件)本例变为：若已知tan α≥，如何求角α的范围？ 解析　如图所示，过点A(1，0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥. 由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥， 有30°≤α＜90°或210°≤α＜270°，故满足tan α≥， 有k·180°＋30°≤α＜k·180°＋90°，k∈Z. 利用三角函数线求角的取值集合的方法 利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆的交点，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置，结合图象可得．　 [触类旁通] 3．已知－≤sin θ＜，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围． 解析　由三角函数线，可知sin ＝sin ＝， sin ＝sin ＝－，且－≤sin θ＜， 如图所示，画出单位圆，阴影部分即为所求． 故θ的取值集合是∪(k∈Z). [缜密思维提能区] 规范答题 三角函数线的应用 [典例]　(13分)利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1. [规范解答]　(1)当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长度等于r(r＝1)，所以|sin α|＋|cos α|＝1.(6分) (2)当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|＋|cos α|＝|MP|＋|OM|＞1. 综上，有|sin α|＋|cos α|≥1. (13分) [纠错心得] 要证明一个问题是正确的，我们必须把它所包含的所有情况逐一说明．若漏掉一种情况，整个证明过程就是不严密的． 知识落实 技法强化 (1)单位圆． (2)三角函数线及应用． (1)用三角函数线研究三角函数实际上应用了数形结合的思想方法． (2)注意三角函数线是有方向的线段，方向决定正负． 学科网（北京）股份有限公司 $