新定义问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

新定义问题 对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点，可以利用特殊法来理解题目给出的定义 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 一、数列背景下的新定义问题 数列背景下的新定义问题解题技巧： （1）读懂定义，理解新定义数列的含义，通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解； （2）累加法，累乘法，等差等比等主要通项公式的求解方法，求解题目中的通项问题； （3）等差等比求和、裂项相消法、错位相减法解题题中的数列求和问题； （4）对于证明问题，除了常规方法还需要掌握反证法、数学归纳法等方法. ①数列新定义 1—1—1、数列满足则称数列为下凸数列. （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； （2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列； （3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：. 1—1—2、卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律． （1）若，，，求，，，； （2）对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得； （3）若，，证明：当时，． 1—1—3、已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 1—1—4、对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． （1）若数列为2，4，3，7，求的值； （2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与关系； （ii）证明：． 1—1—5、如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”. （1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论） 、、、 、、、 、、、 、、、 （2）证明：若数列是“数列”，则且公差； （3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式. 1—1—6、将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”. (1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由； (2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：； (3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且. 1—1—7、无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． ②数论新定义 1—2—1、数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用. （1），，矩阵，求使的的最小值. （2），，，矩阵求. （3）矩阵，证明：，，. 1—2—2、如图所示数阵，第（）行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第（）个数为. 规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为. 是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. ③集合新定义 1—3—1、记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． （1）若，用表示； （2）证明：； （3）若，，，证明：． 1—3—2、已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. （1）写出，并求； （2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； （3）若2024是数列中的某一项，求及的值. ④函数新定义 1—4—1、欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，. (1)求，，； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和. 1—4—2、定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 二、函数背景下的新定义问题 函数背景下的新定义问题解题技巧： （1）单调性与最值是函数中不变的问题，因此熟练掌握利用导数求函数单调与最值是必不可少的； （2）对于不等式恒成立问题，需要构造函数求函数的单调与最值； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 2—1、英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； （3）设，证明：． 2—2、已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 2—3已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 2—4、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 2—5、一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比三角函数的三个性质： ①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围； （3）若，证明： 2—6、定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数. （1）求证：函数是单峰函数； （2）已知为函数的最优点，为函数的最优点. （i）求证：； （ii）求证：. 注：. 三、立体几何背景下的新定义问题 立体几何背景下的新定义问题常见问题： （1）几何中的体积问题； （2）线面角、二面角问题. 3—1、在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. （1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； （2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （3）记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 四、集合背景下的新定义问题 集合背景下的新定义有关的问题的求解策略：根据集合新定义，确定集合中元素的个数、特点 4—1、已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 4—2、对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，. （1）当时，写出集合； （2）有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示. （ⅰ）已知，试比较大小关系； （ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的. 4—3、已知，集合其中. （1）求中最小的元素； （2）设，，且，求的值； （3）记，，若集合中的元素个数为，求. 4—4、设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作. 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. （1）已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； （2）证明：①； ②. 4—5、已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)已知具有性质，求证：； (3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 4—6、给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 五、数论背景下的新定义问题 5—1、“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意， （1）计算：； （2）证明：对于任意， （3）证明：对于任意， 5—2、莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数. （1）求，； （2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值（用（）表示）. 5—3、已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. （1）写出所有4的1减数列； （2）若存在m的6减数列，证明：； （3）若存在2024的k减数列，求k的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新定义问题 对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点，可以利用特殊法来理解题目给出的定义 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 一、数列背景下的新定义问题 数列背景下的新定义问题解题技巧： （1）读懂定义，理解新定义数列的含义，通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解； （2）累加法，累乘法，等差等比等主要通项公式的求解方法，求解题目中的通项问题； （3）等差等比求和、裂项相消法、错位相减法解题题中的数列求和问题； （4）对于证明问题，除了常规方法还需要掌握反证法、数学归纳法等方法. ①数列新定义 1—1—1、数列满足则称数列为下凸数列. （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； （2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列； （3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 则，即， 所以任意一个正项等比数列为下凸数列. 【小问2详解】 显然， ， 所以正项数列为下凸数列. 下面证明：正项数列不是等比数列. 若是等比数列，则， 所以， 因为数列，分别为两个正项等比数列， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，与矛盾， 所以数列不是等比数列. 【小问3详解】 假设存在一个常数，使得，但， 因为，所以， 将中的换成得，. 进一步得，. 又，由不等式的可加性得，， 同理可得，， 所以， 所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增， 所以， 因为该规律是固定的，且， 所以当足够大时，必有，与题设矛盾， 所以不可能从某一项开始单调递增，所以， 令，， 由得，， 所以 所以， 即， 进一步得，， 所以， ， ， ， 相加得， 所以. 1—1—2、卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律． （1）若，，，求，，，； （2）对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得； （3）若，，证明：当时，． 【答案】（1），，， （2） （3）证明见解析 【解析】 小问1详解】 因为，，所以，；，； ，；，. 因为，， 所以，，，. 【小问2详解】 ， 对一般的，. 【小问3详解】 方法一： 记的前n项和为，由卷积运算的交换律有, 故， 因此，② ②－①得， 故当时，． 方法二： 记的前n项和为，常数列，注意 （Ⅰ） 易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得，注意 （Ⅱ） 注意是对所有对应项相加所得的数列，是对所有对应项相加所得的数列， 易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加， 得的通项即为， 故当时，． 注：以上论证可用符号语言说明如下： 定义数列加法：，其中． 容易验证卷积运算满足结合律：， 数列加法关于卷积满足分配律：． 因此. 1—1—3、已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 【答案】（1）不是“X数列” （2）证明见解析；， （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 由题， 所以有，， 故根据“X数列”的定义不是“X数列”. 【小问2详解】 因为， 所以当时，； 当时，； 则不满足，所以， 令，即， 则当时，有，； 当时，有；故即， 则对每一个，有且仅有一个且，使得， 综上，对任意，有且仅有一个，使得， 所以为“X数列”， 由上，， 即的“余项数列”通项公式为，. 【小问3详解】 因为是正项数列，所以单调递增， 所以，故， 因为，且为“X数列”， 所以，故由得， 的“余项数列”为等差数列，故其公差， 因为，所以， 若，则当时，，与矛盾， 故，所以，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， 所以，故， 所以，故， 所以， 又， 所以，. 1—1—4、对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． （1）若数列为2，4，3，7，求的值； （2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与关系； （ii）证明：． 【答案】（1）172； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 依题意，，， . 【小问2详解】 （i）记， ， ， ， ，所以. （ii）设是每项均为非负整数的数列， 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则， 当存在，使得时，若记数列为，则， 因此，从而对于任意给定的数列， 由，，由（i）知， 所以. 1—1—5、如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”. （1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论） 、、、 、、、 、、、 、、、 （2）证明：若数列是“数列”，则且公差； （3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式. 【答案】（1）、；（2）证明见解析；（3）或 【解析】（1）由“数列”的定义可知，数列、为“数列”. （2）证明：若，则由①可知， 所以或，且公差， 以下设. 由①，、，，， 两式作差得， 因为，所以. 由①，、，，， 两式作差得， 因为，所以，因此，. 若，则等差数列是递减数列， 由①为中的项，因此，，解得， 由且公差，所以或，，， 由①，为中的项，且， 这与等差数列递减矛盾，因此，不成立. 综上，且公差. （3）因为公差，所以，即是递增数列. 若，因为，所以， 则，且， 由①为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾. 因此，，又由（2），故. 由，知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项. 则由②，，使得且，. 因此，解得，又，故. 因为是递增数列， （i）若，则，此时. 因为，， 令，有，且，所以满足条件①. 因为，令，有，所以满足条件②. （ii）若，则，. 因为， . 令，则，且，所以满足条件①. 因为，令，，有，所以满足条件②. 综上，或. 1—1—6、将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”. (1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由； (2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：； (3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】（1）解：由题得数列各项的和为 由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为是一个小数， 由于数列各项为整数，所以“子列”的和不可能为， 所以不存在“完美互补子列”. （2）解：假设， 由题得数列的前100项和为, 所以不管在哪一个“子列”，都不可能， 所以假设不成立，所以. （3）解：时， ， 不妨设中项为中项为 则中所有项与中所有的项的和均为， 所以时，数列存在完美互补子数列. 时，只需将中，中移到中，将放入中，将放入中，则此时，中的的和均在原来的基础上增加了，所以时，数列存在完美互补子数列. 下面证明. 当时，数列共有对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中， （1）假设在中，则将放入中，将中的移到中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. （2）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. （3）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. 故对于时，中每一对完美互补子列，都至少有3种情况， 所以. 1—1—7、无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． 【答案】（1），，，，，，； （2）； （3）（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，，， ，，， ，． 【小问2详解】 由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． 【小问3详解】 显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． ②数论新定义 1—2—1、数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用. （1），，矩阵，求使的的最小值. （2），，，矩阵求. （3）矩阵，证明：，，. 【答案】（1）10 （2） （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 由题意得. 若，则，即. 因式分解得.因为，所以. 所以使的的最小值是10. 【小问2详解】 由题得第1对角线上的平方和为， 第2对角线上的平方和为 ， 第对角线上的平方和为 ， 第对角线上的平方和为， 所以 所以. 【小问3详解】 由题意知，证明 等价于证明， 注意到左侧求和式， 将右侧含有的表达式表示为求和式有 故只需证成立， 即证成立，令， 则需证成立， 记，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，即成立， 所以原不等式成立. 1—2—2、如图所示数阵，第（）行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第（）个数为. 规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为. 是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 【答案】（1）所以每一行的最后两个数相等，证明见解析； （2）证明见解析 （3）存在正整数k，k的最大值为3. 【解析】 （1）解：第1行最后两数，第2行的最后两数. 第（）行的第个数为，第个数为， 猜测：. 【法一】即证：， 因为， 只要证明，该式显然成立， 所以， 所以每行最后两个数相等. 【法二】因为 ； 又因为 . 即：. 所以每一行的最后两个数相等. （2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，此时结论成立. 因为， 第（）行的个数之和为： . 而第行倒数第二个数为， 由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. （3）当，时，，，当时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3. 下证：当时，恒成立. 由（1）知，，则， 因为 . 又，当时，. 当时，，所以. 综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立. ③集合新定义 1—3—1、记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． （1）若，用表示； （2）证明：； （3）若，，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 因为 ， 且， 所以，由可得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 又因为 所以， 所以. 【小问3详解】 对于， 因为， 所以， 所以， 所以， ， 所以， . 1—3—2、已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. （1）写出，并求； （2）判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； （3）若2024是数列中的某一项，求及的值. 【答案】（1），； （2）88是数列的第30项； （3），， 【解析】 【小问1详解】 因为，此时， ， . 【小问2详解】 当时，， 是数列中的项， 比它小的项分别有个， 有个， 有个， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项. 【小问3详解】 是数列中的项，故， 则当时，， 方法一：比它小的项分别有以下7种情况： ①个数字任取7个得个， ②，得个， ③，得个， ④，得个， ⑤，得个， ⑥，得个， ⑦，得个， 所以比2024小的项共有个， 其中 故2024是数列的第329项，即. 方法二：共有元素个， 最大的是，其次为， 所以2024是数列的第项，即. 在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则. ④函数新定义 1—4—1、欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，. (1)求，，； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和. 【答案】（1），，； （2），. 【解析】（1），，. （2）∵，∴ ∵，∴数列是以1为首项，以为公差的等差数列. ∴，∴， ， ， ∴ ∴. 1—4—2、定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 【答案】（1）5；11 （2） （3）大小关系及理由见解析 【解析】 【小问1详解】 由条件②可得； 由条件③可得． 【小问2详解】 由条件②）可得： ， ， ， 将上述个等式相加，得； 由条件③可得： ， ， 将上述个等式相加，得． 【小问3详解】 由（2），所以， 则， 则 ， 当且仅当时，，上式取得等号， 即时，均有， 所以，当时，； 当时，； 当时，，所以． 二、函数背景下的新定义问题 函数背景下的新定义问题解题技巧： （1）单调性与最值是函数中不变的问题，因此熟练掌握利用导数求函数单调与最值是必不可少的； （2）对于不等式恒成立问题，需要构造函数求函数的单调与最值； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 2—1、英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； （3）设，证明：． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 令，则，，，， 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故. 【小问2详解】 结论：， 证明如下： 令， 令， 故在上单调递增，， 故在上单调递增，， 即证得，即． 【小问3详解】 由（2）可得当时，，且由得， 当且仅当时取等号，故当时，， ， 而 ， 即有 故 而， 即证得. 2—2、已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】（1）不具有性质； （2）存在，，； （3）证明见解析. 【解析】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故不具有性质. （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质. （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证. 2—3已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）原点不存在“上位点”，理由见解析 （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在， 【解析】 【小问1详解】 已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. 【小问2详解】 设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. 【小问3详解】 将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 2—4、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）答案见解析； （3）． 【解析】 【小问1详解】 由，，有， 可知，，，， 由题意，，，所以，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数，又， 时，；时，； 所以时，；时，． 【小问3详解】 由， ． 由在上存在极值，所以在上存在变号零点． 令，则，． ①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件． ②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件． ③当，即时，令即，． 当时，，为减函数；时，，为增函数， ； 令，，，在时恒成立， 在上单调递增，，恒成立； ，，，则，， ； ， 令， 令，， 则在是单调递减，，所以， ， 令，则，，． ，即． 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点， 又由③知，当时，，为减函数，， 所以此时，，在内无零点， 在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为． 2—5、一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比三角函数的三个性质： ①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围； （3）若，证明： 【答案】（1）答案见解析，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 平方关系：； 倍角公式：； 导数：. 理由如下：平方关系，； 倍角公式：； 导数：，； 以上三个结论，证对一个即可. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，在上单调递增，即在上单调递增， 设，则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立，所以原不等式成立，得证. 2—6、定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数. （1）求证：函数是单峰函数； （2）已知为函数的最优点，为函数的最优点. （i）求证：； （ii）求证：. 注：. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析； （ii）证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 因为，令，则.， 因为，则，则在上单调递减， 又因为， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且 时，，， 所以在上递增，上递减，所以为单峰函数. 【小问2详解】 （i）令，则，令， 因为为在上的最优点，所以为在的最优点，， 所以，结合最优点的定义知，为在区间上的唯一零点. 又由（1）知，在递增，递减，且. 所以由零点存在性定理知在区间存在唯一的，使得， 即，所以. （ii）第一次操作：取，由对称性不妨去掉区间， 则存优区间为，为好点； 第二次操作：为一个试验点，为了保证对称性， 另一个试验点与关于区间的中心对称，所以； 又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为. 若，即，则（舍去）； 若，即，则，即，解得或（舍）. 则操作5次后的精度为. . 又， 所以. 所以，得证. 三、立体几何背景下的新定义问题 立体几何背景下的新定义问题常见问题： （1）几何中的体积问题； （2）线面角、二面角问题. 3—1、在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. （1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； （2）记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： （3）记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 【答案】（1），； （2），； （3）①16；②，共有12个面，24条棱. 【解析】 【小问1详解】 集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. 【小问2详解】 记集合，中所有点构成几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. 【小问3详解】 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 由题意面方程为，由题干定义知其法向量 面方程为，由题干定义知其法向量 故. 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为. 由图可知共有12个面，24条棱. 四、集合背景下的新定义问题 集合背景下的新定义有关的问题的求解策略：根据集合新定义，确定集合中元素的个数、特点 4—1、已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 【答案】（1）31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； （2）证明见解析； （3）8 【解析】 【小问1详解】 31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； 【小问2详解】 由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； 【小问3详解】 由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 4—2、对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，. （1）当时，写出集合； （2）有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示. （ⅰ）已知，试比较大小关系； （ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【小问1详解】 解：由自然数的子列集合，可得： 自然数，可得 【小问2详解】 解：（i）由， 可得，即， ，即， ，即，所以. （ii）加强命题如下：若由个数字构成题中的自然数（其中，一位整数，本题即为的情形）， 则所求，等号成立的条件是，当中相同数字排列在一起的情形， 证明：①当时，，显然成立； ②设当时，命题成立，即， 当时，相当于在原来字符串的基础上增加了个， 注意到此时时的每一种排列，此时匹配上到个排列， 都能构成时的一种排列，再结合不含有时的任何元素个排列， 则我们有， 而当中相同数字排列在一起时，成立， 则当时，命题也成立，由①②知，成立. 记 ， 显然， 下面证明：是所有中最小的，从而（其中） 设（其中为的一种顺序变换） 即只需证取得最小值时，当且仅当里所有相同的数字必相等， 根据对称性，以为例，即只需证明即可， 记，证明， 构造集合到集合的一种对应关系， 使得，其中中含有个，个，个， 根据定义，存在唯一的对应，即， 反过来，，设（其中，个，个，个）， 设中的角标分别为，取前个， 设中的角标分别为，取前个， 设中的角标分别为，取前个， 将，，，从小到大排列得到新的角标， 则取，根据子列集合的定义，可知， 因为里含有个，个，个（但是相同的数字不一定相邻） 这个在的作用下，柯达伊与对应，即. 综上所述，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，反之，任取集合中的一个元素，在集合中都能找到一个元素与之对应， 由此可知，所以的最小值为，满足条件的有： ， 4—3、已知，集合其中. （1）求中最小的元素； （2）设，，且，求的值； （3）记，，若集合中的元素个数为，求. 【答案】（1）7 （2）或10 （3） 【解析】 【小问1详解】 中的最小元素为. 【小问2详解】 由题得，设，. ①当时，或或或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ②当时，或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ③当时，不符合题意 因此，或10. 【小问3详解】 设，则，其中， ，所以， 设，则. 因为， 所以 . 因为， 所以，所以， 又因为，所以. 4—4、设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作. 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. （1）已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； （2）证明：①； ②. 【答案】（1）成立，理由见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【小问1详解】 设，，令 则C与D存在一一对应，所以集合. 【小问2详解】 ①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故. 备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可， 如：或等等均可， ②设，， 假设，即存在对应关系：为一一对应， 对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在. 记，则，故， 从而存在，使得； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 因此，不存在A到B的一一对应，所以. 4—5、已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)已知具有性质，求证：； (3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）6； （2）证明见解析； （3）7 【解析】（1）由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. （2）由题设，且， 所以， 所以，得证. （3）由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为7. 4—6、给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】（1）集合A不是规范数集，集合B是规范数集； （2）证明见解析； （3）范数的最小值 【解析】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集； 对于集合B：因为， 又，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合S中的元素为，即， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. （3）法一： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当，使得，且， 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数的最小值为； 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数； 综上所述：范数的最小值. 法二： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 所以对于，同样有，则， 由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立， 即，，……， 所以范数 ， 当且仅当时，等号成立， 所以范数的最小值. 五、数论背景下的新定义问题 5—1、“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意， （1）计算：； （2）证明：对于任意， （3）证明：对于任意， 【答案】（1）155 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 小问1详解】 由定义可知， . 【小问2详解】 因为， . 又 , 所以 【小问3详解】 由定义得： 对任意. 结合（2）可知 即， 也即. 所以， ， …… . 上述个等式两边分别相加得： . 5—2、莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数. （1）求，； （2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值（用（）表示）. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 因为，因为的指数，所以； 又，易知，，，，， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，， 因此的所有因数除之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数， 从个质数中任选个数的乘积一共有种结果， 所以 . （ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此的所有因数除之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数， 所以 . 令， 则（，）， 所以. 所以，. 因为，所以. 方法二： . 由展开式原理可知，的展开式即为上式所求. 5—3、已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 【答案】（1）数列和数列3，1； （2）证明见解析； （3）的最大值为512072. 【解析】（1）由题意得，则或， 故所有4的1减数列有数列和数列3，1. （2）因为对于，使得的正整数对有个， 且存在的6减数列，所以，得. ①当时，因为存在的6减数列， 所以数列中各项均不相同，所以. ②当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以. ③当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 综上所述，若存在的6减数列，则. （3）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大， 所以此时不是最大值，所以. 当时，若，交换的顺序后变为， 所以此时不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大， 所以此时不是最大值，所以. 若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2， 将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为， 所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式. 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2024的减数列，所以， 所以， 所以，当且仅当时，取最大值为512072. 所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072. 学科网（北京）股份有限公司 $$