精品解析：湖南省长沙市师大附中本部2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

湖南师大附中2024-2025学年度九年级上入学检测 数学试题 时量：90分钟 满分：100分 一．选择题（每题3分，共 30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】A、不是轴对称图形，但是中心对称图形，选项错误； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误； C、即是轴对称图形，也是中心对称图形，选项正确； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误； 故选：C． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查 B. 调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查 C. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 某种彩票中奖率是，则购买10张这种彩票一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查、方差、概率，根据抽样调查与全面调查的特点判断A，B，根据方差与稳定性的关系判断C，根据概率的定义判断D． 【详解】解：对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查意义重大，适合采用全面调查，故A选项说法错误，不合题意； 调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用抽样调查，故B选项说法错误，不合题意； 方差越小，稳定性最高，由可得乙的射击成绩较稳定，故C选项说法正确，符合题意； 某种彩票中奖率是，则购买10张这种彩票不一定会中奖，故D选项说法错误，不合题意； 故选C． 3. 去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级（1）班第一组8名学生捐款如下（单位：元）：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款的众数是（ ） A. 30元 B. 20元 C. 25元 D. 30元和20元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，根据出现次数最多的数即为众数，一组数据中可以没有众数，也可以有一个，或有多个，由此即可求解． 【详解】解：捐款数中，20元出现了3次，30元出现了3次， ∴众数是：20元和30元， 故选：D ． 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．竹篮打水是不可能事件； B．守株待兔是随机事件； C．水涨船高是必然事件； D．水中捞月是不可能事件； 故选：B． 5. 我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和加权平均数的计算方法可以解答本题． 本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 【详解】解：由题意可得， 李老师的总成绩是：分， 故选：C． 6. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 7. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了原点对称，求代数式的值，根据原点对称的特征量，确定a，b的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 则， 故选：D． 8. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用阴影部分的面积除以整个方砖的面积即可得到答案。 【详解】解：∵由图可知，阴影区域的面积等于3块地板的面积，总面积等于9块地板的面积， ∴小球最终停留在阴影区域的概率是． 故选：C． 9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心． 【详解】解，连接FC，PC， 由图可知， ，且， 连接EC，RC， 由图可知， ，且， 连接GC，QC， 由图可知， ，且， 故点C为旋转中心， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键． 10. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 已知一组数据：3、0、、5，则这组数据的极差为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查极差，根据极差是一组数据中的最大值与最小值的差值求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为5，最小值为， ∴这组数据的极差为， 故答案为：7． 12. 为了考察某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8， 8， 9， 7， 8(单位∶)， 该组数据的方差为_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查求数据方差，熟记求方差公式是解决问题的关键．先求出这种数据的平均值，再根据方差计算公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是_________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再根据公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解． 本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，的平均数是5， ∴， ∴一组数据，，，的平均数为： ． 故答案为：20． 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 15. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 16. 抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关于轴对称的两点坐标相同，坐标互为相反数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵关于轴对称：则变为， ∴， ∴抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 17. 某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是________． 【答案】14岁 【解析】 【分析】根据中位数的定义，把数据按照从小到大依次排列，即可找到中位数． 【详解】解：人数共有6+10+14+10=40人， 中位数为第20人和第21人岁数的平均数，为14岁， ∴中位数为14岁． 故答案为：14岁． 【点睛】本题考查了中位数的定义，把数据按照从小到大依次排列是解题的关键． 18. 二次函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，对于任意都有成立，则二次函数开口向下，且与轴没有交点，据此计算即可． 【详解】解：∵二次函数，若对于任意都有成立， ∴二次函数开口向下，且与轴没有交点， ∴， 解得， 故答案为：． 三．解答题（10+10+12+14=46分） 19. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中分钟以上；分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （2）全校约有学生1500人，估计“”层级的学生约有多少人？ （3）学校从“”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计与概率的综合应用． （1）先求出“”层级人数占调查人数的百分比，再乘圆周角度数，即可求出所对应扇形的圆心角度数，求出“B”层级的人数，即可补全条形统计图； （2）先求出“A”层级的人数占调查人数的百分比，乘该校学生总数，可估计出相应的人数； （3）画出树状图，求出所有等可能得结果，再确定恰好抽到1男1女的结果，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人， 扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数为：， “”层级的人数为：（人，； 【小问2详解】 解：估计“”层级的学生约有：（人； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， 恰好抽到1个男生和1个女生的概率为． 20. 如图，四边形是正方形，经逆时针旋转后与重合． （1）若，，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质; （1）根据三角形内角和定理，先算出，根据旋转性质，得出； （2）根据旋转性质得出，，即可算出的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵经逆时针旋转后与重合， ∴． 【小问2详解】 ∵经逆时针旋转后与重合，， ∴，， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程（为实数且）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 22. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）若为等边三角形，求的值； （3）若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或或；或． 【解析】 【分析】（）令，即，然后解方程即可； （）先求出顶点坐标，由（）得：，，根据两点间的距离得，又是等边三角形，则，从而求解； （）先求出抛物线解析式，解析式为，则，然后再分当时和当时两种情况分析即可； 设抛物线与得交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为，求出，，然后根据图象即可． 【小问1详解】 解：令，即， ∵， ∴，解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：由， ∴， 由（）得：，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，解得：， 根据图象可知：， ∴； 【小问3详解】 当时，， 令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴当时，， ∴， 如图，当时， ∵，即轴， ∴， ∴， ∵的横坐标为，， ∴，， ∴，， ∴或， 整理得：或， 解得：（舍去）或， 如图，当时， 由上可知，， 由勾股定理得：， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或，， 综上可知：或或； 如图，设抛物线与的交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为， ∴，解得：， ∴，， ∵当时，始终位于直线的下方， ∴或， 解得：， ∴实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024-2025学年度九年级上入学检测 数学试题 时量：90分钟 满分：100分 一．选择题（每题3分，共 30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查 B. 调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查 C. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 某种彩票中奖率是，则购买10张这种彩票一定会中奖 3. 去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级（1）班第一组8名学生捐款如下（单位：元）：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款的众数是（ ） A. 30元 B. 20元 C. 25元 D. 30元和20元 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 5. 我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（    ） A. B. C. D. 6. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 8. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 已知一组数据：3、0、、5，则这组数据的极差为______． 12. 为了考察某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8， 8， 9， 7， 8(单位∶)， 该组数据的方差为_________． 13. 已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是_________． 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 15. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________． 16. 抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为______． 17. 某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是________． 18. 二次函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围是___． 三．解答题（10+10+12+14=46分） 19. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中分钟以上；分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （2）全校约有学生1500人，估计“”层级的学生约有多少人？ （3）学校从“”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 20. 如图，四边形是正方形，经逆时针旋转后与重合． （1）若，，求的度数； （2）若，求的面积． 21. 已知关于的一元二次方程（为实数且）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 22. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）若为等边三角形，求的值； （3）若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $