精品解析：2024年内蒙古包头市中考数学模拟试题

2024年包头市中考模拟五 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. 0.17 C. D. 2. 地球绕太阳公转的轨道半径约是千米，用科学记数法表示这个数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，ab、∠1 =72°28'，则∠2的大小为（ ） A. 72°28' B. 101°28' C. 107°32' D. 107°72' 4. 若中的三边分别为a、b、c，且它们满足：，则这个三角形一定是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 设面积为5的正方形的边长为a，下列关于a的结论：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③，其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 已知的平均数为5，方差为2，则的平均数，方差分别是（ ） A. 13，18 B. 13，4 C. 5，18 D. 5，4 7. 如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，点、，等腰直角三角板的斜边，且OA在轴上，顶点在第二象限．将三角板沿轴向右平移，当顶点落在直线上时，点A关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点．若，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解： ______． 12. 若最简二次根式与能够合并，则______． 13. 当时，的结果是______． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 15. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 16. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象上，则sin∠BAO的值为_____． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17 计算： （1）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30° （2）解不等式组： 18. 端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友． （1）小刚拿到两个粽子都为大枣味是 事件；（填“必然”、“不可能”“随机”） （2）请你用树状图或列表的方法，求小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率． 19. 如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C两地相距120海里． （1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）； （2）若该渔船从A处沿方向向港口C驶去，当到达点时，测得港口B在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）． 20. 墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是，加热后，水温达到最高温度，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于，当水温降至时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度与时间成一次函数关系；保温时，温度与时间成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示． （1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围； （2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了几次？ 21. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径． 22. 已知平行四边形的顶点、分别在其的边、上，顶点、在其的对角线上． 图1 图2 （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图1，当，，求时，求的值． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）请直接写出A、B两点的坐标及的度数； （2）如图1，若点P为抛物线对称轴上的点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若点E、F分别为线段和上的动点，且，过E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N．在E、F两点的运动过程中，试探究： ① 是否是一个定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由； ②若将沿着翻折得到，将沿着DF翻折得到，当点F从点B运动到点C的过程中，求点和点的运动轨迹的长度之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年包头市中考模拟五 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. 0.17 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数和无理数的概念，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．根据有理数和无理数的概念求解即可． 【详解】解：是分数，属于有理数，故A不符合题意； 0.17是小数，属于有理数，故B不符合题意； 是无理数，故C符合题意； 是有理数，故D不符合题意； 故选：C． 2. 地球绕太阳公转的轨道半径约是千米，用科学记数法表示这个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：B． 【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 如图，ab、∠1 =72°28'，则∠2的大小为（ ） A. 72°28' B. 101°28' C. 107°32' D. 107°72' 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠3＝72°28'，然后再利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵ab， ∴∠1＝∠3＝72°28'， ∴∠2＝180°﹣∠3＝107°32′， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，度分秒的换算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4. 若中的三边分别为a、b、c，且它们满足：，则这个三角形一定是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了有理数的乘法，等式的性质等知识点，由有理数的乘法法则，等腰三角形，等边三角形的判定方法求出三角形一定是等腰三角形．重点掌握有理数的乘法积为0，每一个因数都为0． 【详解】解：∵ ∴或或， 解得：或或， ①若三个多项式其中一个多项式为0，则是等腰三角形； ②若三个多项式其中两个式项式为0，则是等边三角形； ③若三个多项式其中三个式项式都为0，则是等边三角形； 综合所述：一定是等腰三角形， 故选：B． 5. 设面积为5的正方形的边长为a，下列关于a的结论：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③，其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，实数与数轴等知识点，先求出正方形的边长a的值，再逐个判断即可． 【详解】解：∵面积为5的正方形的边长为a， ， ∴a是无理数， a可以用数轴上的一个点来表示， ， ， 即正确的有①②③． 故选：D． 6. 已知的平均数为5，方差为2，则的平均数，方差分别是（ ） A. 13，18 B. 13，4 C. 5，18 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式直接计算即可求得． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求方差和求平均数，灵活利用两个公式，进行准确计算是解答的关键． 7. 如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式．利用圆周角定理得出度数，再利用弧长公式计算即可．正确记忆公式是重点．熟练掌握圆周角定理是关键． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∴的长度为：， 故选：B． 8. 如图，平面直角坐标系中，点、，等腰直角三角板的斜边，且OA在轴上，顶点在第二象限．将三角板沿轴向右平移，当顶点落在直线上时，点A关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到点B的坐标为（-2,2），由平移的性质得到点B落在直线CD上时坐标为（2，2），由对称性和勾股定理算出结果． 【详解】解：如图所示，作BE垂直OA，平移后点B的位置在直线CD上的对应点为B’， ∵△是等腰直角三角形， ∴∠BAO=∠BOA=45︒， ∵OA=4， ∴OE=BE=2， ∴点B（-2,2）， ∵点B（-2,2向右平移以后落在直线上为B’， ∴B’为（2,2）， ∵点O和点D重合，A’的对称点为A’’， ∴△A’DB’≌ △A’’DB, ∴DA’=D A’’=4， ∴A’’为（4,4）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质以及图形的对称性，关键在于熟悉应用45︒角来解决问题． 9. 如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【详解】过点F作于点G， ， ， 平分 平分， ， ∴，即CE的长为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得出． 10. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线恰好经过点，与边交于点，连接，以下四个结论中：①；②；③；④如果，那么．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到垂直平分，再根据菱形的性质得到，，，可证是等边三角形，再根据性质即可判定，根据平行线间的距离和菱形的性质即可判断和，由勾股定理和角所对直角边是斜边的一半即可判断． 【详解】连接， 由题意作图可知：垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故正确； ∵是中点， ∴， ∴，，故错误，故正确； 如图，过作交延长线于点， 易得四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴，则正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理和平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键． 12. 若最简二次根式与能够合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与能够合并，得 3x+5=2x+7．解得x=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 13. 当时，的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查考查分式的除法及化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 当时，原式， 故答案为：． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得，由于圆的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵圆的直径垂直于弦， ∴，则为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可 详解】解：由题意可得： ∴ ∴ ∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根 ∴ ∴ ∴α2＋2β=5 故答案是：5 【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键 16. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠BAO的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】点A在反比例函数函数上，点B在上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N， ∵点A在反比例函数函数上，点B在上， ∴， 又∵∠AOB＝90° ∴∠AOM＝∠OBN， ∴△AOM∽△OBN， ∴， ∴， 设OB＝m，则OA＝m，AB＝＝m， 在△BAO中，sin∠BAO＝＝＝， 故答案为． 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠BAO的值． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算： （1）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30° （2）解不等式组： 【答案】（1）10；（2）1＜x≤4． 【解析】 【分析】(1)先用零次幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，最后计算即可； （2）先分别解出两个不等式的解集，最后求两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）原式＝1+9﹣2+4× ＝1+9﹣2+2 ＝10； （2） ， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4， 则不等式组的解集为1＜x≤4． 【点睛】本题主要考查了零指数幂、解一元一次不等式组等知识点，掌握好基础知识和解不等式组的方法是解答本题的关键． 18. 端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友． （1）小刚拿到的两个粽子都为大枣味是 事件；（填“必然”、“不可能”“随机”） （2）请你用树状图或列表方法，求小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”求解即可； （2）通过列表法可得，一共有12种等可能的结果，小红拿到的两个粽子刚好是同一味道有4种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小刚拿到的两个粽子都为大枣味是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解： （2）记两个是大枣味的粽子分别为，，两个火腿味的分别为，，列表如下： 一共有12种等可能的结果，小红拿到的两个粽子刚好是同一味道有4种等可能的结果， 所以． 【点睛】本题考查事件的分类、用树状图或列表法求概率及概率公式，熟练掌握用树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． 19. 如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C两地相距120海里． （1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）； （2）若该渔船从A处沿方向向港口C驶去，当到达点时，测得港口B在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）． 【答案】（1）此时点到港口的距离为海里 （2）此时该渔船的航行距离为海里． 【解析】 【分析】（1）延长，过点作延长线与点，利用，代入数据计算即可求解； （2）过点作于点N，推出，设，则，，根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：延长，过点作延长线与点， 由题意可得：，海里， 则海里， ， 即， （海里）， 即此时点到港口的距离为海里； 【小问2详解】 解：过点作于点N，如图： 由（1）得：海里，海里， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴海里， 答：此时该渔船的航行距离为海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 20. 墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是，加热后，水温达到最高温度，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于，当水温降至时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度与时间成一次函数关系；保温时，温度与时间成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示． （1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围； （2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了几次？ 【答案】（1）， （2）5次 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的知识，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，难度中等． （1）将已知点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式利用待定系数法确定函数的解析式即可； （2）分别令两个函数值为30求得的值的差即为保持的时间，然后即可求得加温几次． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， ∵经过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 设反比例函数的解析式为， ∵经过点， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，解得：； 令，解得：， 所以一次加温能保持（分钟）以上， 所以次， ∴墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了5次． 21. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证； （2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：连接OD，OE，如图所示： ∵， ∴∠A=∠ODA， ∵点E是边BC的中点， ∴OE∥AB， ∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE， ∴∠DOE=∠COE， ∵， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODE＝∠ACB＝90°， ∴DE是⊙O的切线； 小问2详解】 解：连接CD，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，即， ∵AD＝4，BD＝9， ∴， ∴， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 22. 已知平行四边形的顶点、分别在其的边、上，顶点、在其的对角线上． 图1 图2 （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图1，当，，求时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形，四边形都是平行四边形，得到和，然后证明，即可证明出； （2）作于M点，设，首先根据，证明出四边形和四边形都是矩形，然后根据同角的余角相等得到，然后根据同角的三角函数值相等得到，即可表示出BF和FH的长度，进而可求出的值； （3）过点E作于M点，首先根据题意证明出，得到，，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，设，根据题意表示出，，过点E作，交BD于N，然后由证明出，设，根据相似三角形的性质得出，然后由30°角所对直角边是斜边的一半得到，进而得到，解方程求出，然后表示出，根据勾股定理得到EH和EF的长度，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵四边形EFGH是平行四边形 ∴ ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作于M点，设 ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（1）得： ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点E作于M点 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）得： ∴ ∴ 过点E作，交BD于N ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 由勾股定理得： ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意正确作出辅助线求解． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）请直接写出A、B两点的坐标及的度数； （2）如图1，若点P为抛物线对称轴上的点，且，求点P的坐标； （3）如图2，若点E、F分别为线段和上的动点，且，过E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N．在E、F两点的运动过程中，试探究： ① 是否是一个定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由； ②若将沿着翻折得到，将沿着DF翻折得到，当点F从点B运动到点C的过程中，求点和点的运动轨迹的长度之和． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或 （3）①是一个定值，这个定值为1；②，的运动轨迹的长度之和为 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的解析式可求出点，，的坐标，再分别求出，，的长，根据勾股定理的逆定理可以得出的形状，从而得出结果； （2）先根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴，从而可得出点的坐标，所以有，以为圆心，2为半径作出，再得出，可知点P在上，进而可得出点的坐标； （3）①作，的中点，，连接，，如图，则，，，，则，先证明，得出；再证明，得出，从而有，在中，有，最后可得出，进而可得出结论； ②先证明，得出与重合，再根据点在以为圆心，2为半径的圆上运动，再求出点从点到点的过程中，点运动的弧长所对应的圆心角的度数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：中，令得，； 令得，，解得，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 由得抛物线的对称轴为， ∴点，则为的中点， ∴， ∴以为圆心，2为半径作出，如图， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，，分以下两种情况： 若点在轴下方，点的坐标为； 若点在轴上方，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 ①，是一个定值，理由如下： 作，的中点，，连接，，如图，则，，，，则， ∵为的中点， ∴，． ∵，则， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，故是一个定值，这个定值为1． ②如图，将沿翻折至， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴将沿着翻折至，则与重合， 由于运动过程中有， ∴在以为圆心，2为半径的圆上运动． 当在点时，与重合， 当在点时，如图所示， 此时为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的运动轨迹长度为：， ∴，的运动轨迹长度之和为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，弧长的计算，折叠中点的轨迹问题等知识点，综合性较强，难度较大，综合运用基本性质进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$