精品解析：湖南省衡阳市耒阳市东江中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

耒阳市东江中学2023年九年级第一次月考数学试卷 （总分：130分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图表示互为相反数的两个点是（ ） A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 2. 年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达纳秒（秒=纳秒）用科学记数法表示纳秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 7. 某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（） 销售数量（双） 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 8. 在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式的值不存在，则__________． 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 11. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 12. 某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差__________． 13. 小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系： 日期（日） 成绩（个） 小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 14. 在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ． 15. 如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____． 16. 如图在中，，，，D、E分别是、边上的点，且，若P是的中点，Q是的中点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（17～19题每小题6分，20～24题每小题8分，25～26题每小题12分，共82分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图1．用过的餐巾纸投放情况统计图2． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_______°； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； 22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 23. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：） 24. 如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 25. 如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长． （2）如图3，延长交直线于点．求证： 26. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．已知直线过B，C两点． （1）求抛物线和直线的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点P在第一象限内，连接，交直线于点D．设的面积为，的面积为，求的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 耒阳市东江中学2023年九年级第一次月考数学试卷 （总分：130分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图表示互为相反数的两个点是（ ） A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数的相反数定义求解即可． 【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2. 年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达纳秒（秒=纳秒）用科学记数法表示纳秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵1秒=1000000000纳秒， ∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可． 【详解】A. ，计算正确，符合题意； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. 不能计算，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解答此题的关键． 5. 如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案． 【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键． 6. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】解：由图可知， 图1的面积为：x2-12， 图2的面积为：（x+1）（x-1）， 所以x2-1=（x+1）（x-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 7. 某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（） 销售数量（双） 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号． 【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C． 【点睛】本题考查对统计量的意义的理解与运用，能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，证明△AOE∽△OBF得到，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图， 则∠AEO=∠BFO=90°， ∴∠AOE+∠OAE=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BOF+∠AOE=90°， ∴∠OAE=∠BOF， ∴△AOE∽△OBF， ∴，即， ∴ ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式的值不存在，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】∵分式的值不存在， ∴x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可． 【详解】∵，，， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根． 11. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可． 【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件， ∴次品所占的百分比是：， ∴这一批次产品中的次品件数是：：(件)， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 12. 某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差__________． 【答案】8.0 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0； 故答案为：8.0． 【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 13. 小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系： 日期（日） 成绩（个） 小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式． 【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得： ， 解得， ∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3）， ∴点A1的坐标是：， 即A1． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 15. 如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB=6，又因为PA=PB，所以可求出PA的长． 【详解】解：∵EA，EC都是圆O的切线， ∴EC＝EA， 同理FC＝FB，PA＝PB， ∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6， ∴PA＝3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长=PA+PB． 16. 如图在中，，，，D、E分别是、边上的点，且，若P是的中点，Q是的中点，连接，则的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，线段最短等知识，连接，由勾股定理得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，由题意可得出点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动，且当点B，P，Q三点共线时，最小，即可得出． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵D、E分别是、边上的点，且， ∴， ∴点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动， 且当点B，P，Q三点共线时，最小， ， 故答案为：2． 三、解答题（17～19题每小题6分，20～24题每小题8分，25～26题每小题12分，共82分） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键． 18. 解方程： 【答案】x=3． 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解： 去分母得， 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3． 【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验． 19. 如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：连接BD，交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解析】 【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形． 【详解】略． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可． 【详解】原式= = = = = = =， 原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键． 21. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图1．用过的餐巾纸投放情况统计图2． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_______°； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； 【答案】（1）200；198； （2） 补全图形如下： （3）该校有3600名学生，将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）由投放到蓝色收集桶44人，占比22%，可得总人数，由乘以“灰”的占比即可得到答案； （2）先求解投放到绿色收集桶的人数，再补全图形即可； （3）由总人数乘以“绿”的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解： 此次调查一共随机采访了200名学生， ， 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 故答案为：200，198； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， 所以该校有3600名学生，将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数约为人． 【点睛】本题考查的是条形图与扇形图，从统计图中获取信息，求解扇形某部分所对的圆心角，利用样本估计总体，熟练的从条形图与扇形图中获取信息是解本题的关键． 22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【解析】 【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案． 【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨． （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆， 依题意，得：， 解得：25≤m≤27． ∵m为正整数， ∴m可以为25，26，27， ∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：） 【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒． 【解析】 【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000-460，进而解得x的值． 【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知： AB=3x， 在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000， ∴AO=2000， ∴DO=2000， ∵CD=460， ∴OC=OD-CD=2000-460， 在Rt△BOC中，∠BCO=45°， ∴BO=OC， ∵OB=OA+AB=2000+3x， ∴2000+3x=2000-460， 解得x≈335（米/秒）． 答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 24. 如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】 （1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵直线与⊙相切于点， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DAC+∠OAC＝90°， ∴∠DCA+∠OCA＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∴OC⊥DC， 又∵点C在⊙上， ∴直线是⊙的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线与⊙相切于点可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线是⊙的切线； （2）先证明BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得，由此可求得，最后便可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠CAB＝30°， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， 又∵OB＝OC， ∴BOC为等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝2， ∴， ∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°， ∴∠E＝90°－∠COB＝30°， ∴OE＝2OC＝4， ∴在RtCOE中，， ∴ ， ∴ ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键． 25. 如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长． （2）如图3，延长交直线于点．求证： 【答案】（1） ①如图2中，结论：． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ② （2） 证明：如图3中，设交于． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据“边角边”，证明即可；②过点作于，根据①中，，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据，得出，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案； （2）设交于，根据（1），得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据等量代换，得出，再根据垂线的定义，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略① ②如图2中，过点作于． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三线合一的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂线的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 26. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．已知直线过B，C两点． （1）求抛物线和直线的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点P在第一象限内，连接，交直线于点D．设的面积为，的面积为，求的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①最大值为；②点P的坐标为时，点Q的坐标为或，时， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质，（3）注意要分是对角线与边两种情况讨论． （1）把，代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把，代入即可求解； （2）①设点D的坐标为，利用待定系数法求得直线的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平分线分线段成比例定理求得，设设，则，整理得，，根据，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， 抛物线的表达式为， 点C坐标为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 ① ∵交直线于点D， ∴设点D的坐标为， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为， 分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴，，，， ∴， 设，则，整理得，， ∵， ∴， 解得， ∴有最大值，最大值为． ② 存在，理由如下：过点F作于G， ∵的对称轴为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F的坐标为， 当为边时， ∵四边形为平行四边形， ∴，轴， ∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2， 当时，， ∴点P的坐标为， ∴， 点Q的坐标为， 根据对称性当时，时，四边形也是平行四边形， 当为对角线时， ∵四边形也是平行四边形， ∴，轴， 同理求得：点P的坐标为， ∴， 点Q的坐标为， 综上，点P的坐标为时，点Q的坐标为或，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $