精品解析：浙江省金华市第五中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024学年第一学期期初作业检查初三数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，，故本选项比例式不成立； B、由得，，故本选项比例式成立； C、由得，，故本选项比例式不成立； D、由得，，故本选项比例式不成立． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键． 2. 如果正多边形的一个内角是，则这个多边形是( ) A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形的每个角都相等，同样每个外角也相等，一个内角是144°，则外角是180°−144°＝36°．又已知多边形的外角和是360度，由此即可求出答案． 【详解】解：360÷（180−144）＝10，则这个多边形是正十边形. 故选: A. 【点睛】本题考查了多边形的外角和，解题的关键是熟记任何一个多边形的外角和都是360°这一定理． 3. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 4. 将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A. （5，4） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣5，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3， 即y＝2（x﹣1）2﹣2． 其顶点坐标是(1，﹣2)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答． 【详解】连接OB， ∵点B是的中点， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， 由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 8. 二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 该函数图象与轴的交点在轴的下方 C. 对称轴是直线 D. 若是方程的正数解，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据，并结合二次函数的图象和性质以及表格中的数据，进行判断． 【详解】A、∵，由表格中的数据可以看出，当时，的值最大，∴该函数图象开口向上，∴该选项错误； B、当时，；∵，∴，∴该函数图象与轴的交点在轴的上方，∴该选项错误； C、当时，；当时，；∴的对称轴为，对称轴是直线，∴该选项错误； D、∵， ∴，， 由表中数据可知，在与之间，故对应的x的值在与0和2与3之间， ∴若是方程的正数解，则，∴该选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是能够根据题目的条件熟练运用二次函数的图象和性质进行求解． 9. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求出，，从而可求出，，进而可得出：，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， 解得：， ∴． ∵， ∴． 由题意可知，， ∴可设：， 将代入，得：， 解得：， ∴． 由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等， ∵， ∴m的值等于时的纵坐标， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数与几何变换等知识，解题的关键是在于能根据函数图象发现规律：m的值等于时的纵坐标． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知四边形内接于，若，则的度数为________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】已知四边形内接于，得到，已知，，即可求得的度数． 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 12. 若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由题意可得：，求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意可得： 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式，列出方程． 13. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可得：当时，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 14. 若点在抛物线上，则的最大值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到的最大值，本题得以解决． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值，为， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为________． 【答案】6或 【解析】 【分析】分或两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，， 若，则，即，解得：； 若，则，即，解得：， 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，审清题意，利用相似三角形的性质，分或两种情况求解是解题的关键． 16. 在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 三、解答题（本题有 8 小题，共72分） 17. 如图，已知，，． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据的值代入求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 18. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）当函数值时，求自变量x的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）自变量x的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）将函数配方即可得到答案； （2）令解出交点，根据抛物线性质即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当，时函数图像在x轴的下方， ∴当函数值时，，； 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数与一元二次不等式之间的关系，解题的关键是熟练掌握函数图像的性质． 19. 如图，是格点三角形． （1）将图1中的绕点B顺时针旋转，得，请在图1中画出． （2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用网格，分别找到的对应点，顺次连接即可； （2）借助坐标系，如图确定点，借助网格分别做出且，且，连接即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 如图， 【点睛】本题考查了格点作图，旋转和相似的性质；解题的关键是按要求正确找到对应点． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点． （1）求证：点为线段的中点． （2）若，，求的半径及阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）半径为3， 【解析】 【分析】（1）连结，可得，已知，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点为线段的中点； （2）根据已知条件可证，得到，，且是等腰三角形，进而得到，设，则，解方程即可求得的半径，连接，可证是等边三角形，再根据即可求出阴影部分的面积； 【小问1详解】 连结， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点为线段的中点． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则 ， 解得：（舍去），， ∴的半径为3， 连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴边上的高为， ∴， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，不规则图形面积的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ 若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【答案】(1)每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；(2)每千克应涨价为5元． 【解析】 【详解】（1）根据“每千克涨价1元，日销售量将减少20千克”即可得到关于利润的解析式，再根据函数的性质即可得到结果； （2）先求出y=6000时x的值，再比较即可得到结果． 22. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】（1）， （2）当时，求的最大值与最小值之差为9 （3）y的最小值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）是与轴的交点，可得，再将代入求值，可求得的值； （2）根据二次函数的解析式；当时，仅当时，取得最大值；仅当时，取得最小值；再计算的最大值与最小值之差； （3）分类讨论：当时及当时，根据函数特点，计算求出y的最小值． 【小问1详解】 函数，为常数）的图象经过点，， ，， 将点代入可得：，解得：， ，； 【小问2详解】 ， 当时， ①仅当时，取得最小值，此时； ②仅当时，取得最大值，此时； ， 当时，求的最大值与最小值之差为9； 【小问3详解】 ， 当时，则在时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， 当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式为______； （2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标； （3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______． 【答案】（1） （2）的最大值为17，此时点的坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式代入及点代入即可得到答案； （2）设，用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值； （3）根据平移性质得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据平移性质及菱形性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 解得， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设，由题意可得， 当时，，解得，，故， 当时，，故， ∵对称轴直线与轴交于点， ∴， ， ∵， ∴当时最大，最大值为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位， ， 当时，， ∴坐标为：， 设F点坐标为， 当，， 时， ∵，， ，根据平移的性质可得， ∴， 根据可得， ， ， ∴或； ②当， ，时， ∵，， ，根据平移的性质可得， ∴， 根据， ， 解得：， ，， 综上所述M点坐标为：或或或． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数性质及动点围成菱形，解题的关键是求出二次函数解析式，设出动点根据性质及菱形性质求解． 24. 等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，． （1）求的大小（用α，β表示）； （2）连接，交于H（如图2）．若，且．求证：； （3）在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若， ①求证：， ； ②请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ①证明：如图3中，连接，延长交于点I． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴ 即， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，； ②或 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接．利用圆周角定理求解； （2）证明，，可得结论； （3）①如图3中，连接，延长交于点I．证明，推出，，再证明，可得结论； ②连接，．设，则，，设，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②解：连接，． ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期初作业检查初三数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果正多边形的一个内角是，则这个多边形是( ) A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 3. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 4. 将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A. （5，4） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣5，﹣2） 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是（ ） A. 该函数图象开口向上 B. 该函数图象与轴的交点在轴的下方 C. 对称轴是直线 D. 若是方程的正数解，则 9. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知四边形内接于，若，则的度数为________． 12. 若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_____． 13. 如图，二次函数与一次函数图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 14. 若点在抛物线上，则的最大值等于_______． 15. 如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为________． 16. 在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为_________． 三、解答题（本题有 8 小题，共72分） 17. 如图，已知，，． （1）求的值； （2）若，求的长． 18. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）当函数值时，求自变量x取值范围． 19. 如图，是格点三角形． （1）将图1中的绕点B顺时针旋转，得，请在图1中画出． （2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点． （1）求证：点为线段的中点． （2）若，，求的半径及阴影部分的面积． 21. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 当每千克涨价为多少元时，每天盈利最多？最多是多少？ 若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 22. 已知函数，为常数）图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式为______； （2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标； （3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______． 24. 等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，． （1）求的大小（用α，β表示）； （2）连接，交于H（如图2）．若，且．求证：； （3）在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若， ①求证：， ； ②请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $