河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式

河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 一．选择题（共15小题） 1．（2024•丛台区二模）已知a＜b，则一定有6﹣4a□6﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 2．（2024•馆陶县二模）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，w1、w2分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•丛台区二模）小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约435公里，线路②全程约430公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的1.2倍，假设汽车在线路①的平均时速为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•峰峰矿区二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设人数为x人，下列说法错误的是（　　） A．每人出8钱，则物价为8x钱 B．每人出7钱，则物价为（7x+4）钱 C．列出关于x的方程：8x﹣3＝7x+4 D．物价是53钱 5．（2024•邱县二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 6．（2024•邯郸二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x+9x＝1 B． C．9x﹣7x＝1 D． 7．（2024•邯山区二模）在解关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0时，佳佳将k的值写成了﹣k，有两个相等的实数根，则原方程（　　） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．（2024•武安市二模）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（2024•邯郸二模）关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2 10．（2024•峰峰矿区二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 11．（2024•峰峰矿区二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2024•丛台区二模）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　） A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g 13．（2024•丛台区二模）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 14．（2024•丛台区二模）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣b＜0 C． D．a﹣1＜b﹣1 15．（2024•丛台区二模）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 二．填空题（共5小题） 16．（2024•邯山区二模）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是　 　． 17．（2024•峰峰矿区二模）若a，b表示非零常数，整式ax+b的值随x的取值而发生变化．如下表： x ﹣3 ﹣1 0 1 3 … ax+b ﹣3 1 3 5 9 … 则关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3的解是 　 　． 18．（2024•峰峰矿区二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n＝7，则m＝　 　；A处的数值为 　 　； （2）x的值为 　 　． 19．（2024•武安市二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 20．（2024•邯山区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•邱县二模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金 （元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场． （1）试判断A队胜、平各几场？ （2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？ 22．（2024•峰峰矿区二模）某客商准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． （1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，若A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，设购进A型商品m（20≤m≤125）件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 23．（2024•邯郸二模）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且|a+2|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）点A、点B开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动．求t秒后点A、点B之间的距离（用含t的代数式表示）． 24．（2024•邯郸二模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝2x﹣1，再将y＝2x﹣1代入方程①得x+3（2x﹣1）＝4，… 乙同学： 解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3，再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y）＝4+3，… （1）甲同学运用的方法是 　 　，乙同学运用的方法是 　 　；（填序号） ①代入消元法；②加减消元法． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 25．（2024•峰峰矿区二模）已知整式，整式Q＝﹣5（x﹣2）． （1）当x＝3时，求P的值； （2）若P大于Q，求x的取值范围，并在数轴上表示． 河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•丛台区二模）已知a＜b，则一定有6﹣4a□6﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣4a＞﹣4b， ∴6﹣4a＞6﹣4b， 故选：A． 2．（2024•馆陶县二模）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，w1、w2分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：若设一根跳绳的单价为x元，一个篮球的价格为（4x+50）元， 根据图象可知，w1、w2与数量n是正比例函数， w1＝n（4x+50），w2＝nx， 根据题意可得100＝xn，600＝（4x+50）n， 故， 故选：A． 3．（2024•丛台区二模）小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约435公里，线路②全程约430公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的1.2倍，假设汽车在线路①的平均时速为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 1． 故选：D． 4．（2024•峰峰矿区二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设人数为x人，下列说法错误的是（　　） A．每人出8钱，则物价为8x钱 B．每人出7钱，则物价为（7x+4）钱 C．列出关于x的方程：8x﹣3＝7x+4 D．物价是53钱 【解答】解：设人数为x人， ∵每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱， ∴物价为（8x﹣3）钱或（7x+4）钱， ∴8x﹣3＝7x+4， 解得x＝7， ∴8x﹣3＝53， ∴物价是53钱， ∴四个选项中只有A选项说法错误，符合题意； 故选：A． 5．（2024•邱县二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 【解答】解：A、2x≤10，解得x≤5，不符合题意； B、2x＜10，解得x＜5，不符合题意； C、﹣2x≥﹣10，解得x≤5，符合题意； D、﹣2x≤﹣10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 6．（2024•邯郸二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x+9x＝1 B． C．9x﹣7x＝1 D． 【解答】解：由题意可得， xx＝1， 故选：B． 7．（2024•邯山区二模）在解关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0时，佳佳将k的值写成了﹣k，有两个相等的实数根，则原方程（　　） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4+4k＝0，解得k＝﹣1， ∴原方程为x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝4+4×1＝8＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， 故选：D． 8．（2024•武安市二模）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x﹣2）人， 由题意得，， 故选：B． 9．（2024•邯郸二模）关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0， 解得k≤2且k≠0． 故选：B． 10．（2024•峰峰矿区二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 11．（2024•峰峰矿区二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：解不等式1，得：x＜﹣2， 解不等式3﹣x≥2，得：x≤1， 将不等式组两个不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：B． 12．（2024•丛台区二模）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　） A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g 【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得： ， 解得：． 故选：C． 13．（2024•丛台区二模）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4． 故选：A． 14．（2024•丛台区二模）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣b＜0 C． D．a﹣1＜b﹣1 【解答】解：∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b， ∴选项A符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣1＞b﹣1， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 15．（2024•丛台区二模）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限， ∴a≤0， ∵ax2+x+2＝0， 当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0， 解得x＝﹣2； 方程有一个实数根， 当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程， ∵Δ＝1﹣8a＞0， ∴方程有2个实数根． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 16．（2024•邯山区二模）由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是　a＜0　． 【解答】解：∵x＜y，ax＞ay， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 17．（2024•峰峰矿区二模）若a，b表示非零常数，整式ax+b的值随x的取值而发生变化．如下表： x ﹣3 ﹣1 0 1 3 … ax+b ﹣3 1 3 5 9 … 则关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3的解是 　x＝0　． 【解答】解：关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3可化为ax+b＝3， 由表格可知，当x＝0时，ax+b＝3， ∴关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3的解为x＝0． 故答案为：x＝0． 18．（2024•峰峰矿区二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n＝7，则m＝　12　；A处的数值为 　1　； （2）x的值为 　﹣10　． 【解答】解：（1）由题意，得：m+n﹣4＝15，A+2+m＝15， ∵n＝7， ∴m＝15+4﹣7＝12， ∴A＝15﹣2﹣12＝1； 故答案为：12，1； （2）∵2+m+A＝﹣4+m+n， ∴A＝n﹣6， ∵﹣4+A+B＝﹣4+m+n， ∴B＝m+n﹣A＝m+n﹣n+6＝m+6， ∵n+B+x＝m+n﹣4， ∴x＝m﹣4﹣B＝m﹣4﹣m﹣6＝﹣10； 故答案为：﹣10． 19．（2024•武安市二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　4　． 【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0， 解得m＝4． 故答案为：4． 20．（2024•邯山区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 　1　． 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根， ∴m+n+1＝0， ∴m+n＝﹣1， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣1）2＝1． 故答案为：1． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•邱县二模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金 （元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场． （1）试判断A队胜、平各几场？ （2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？ 【解答】解：（1）设A队胜利x场， ∵一共打了12场， ∴平了12﹣x场， ∴3x+（12﹣x）＝20， 解得：x＝4； ∴12﹣x＝8， ∴A队胜4场，平8场； （2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为1500×4＝6000元， 平了8场，奖金为700×8＝5600元， ∴奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 22．（2024•峰峰矿区二模）某客商准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． （1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，若A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，设购进A型商品m（20≤m≤125）件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝150+10＝160（元）． 答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元； （2）设商场销售这批商品的利润为w元， 根据题意得：w＝（240﹣160）m+（220﹣150）（250﹣m）， 即w＝10m+17500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵20≤m≤125， ∴当m＝125时，w取得最大值，最大值为10×125+17500＝18750（元），此时250﹣m＝250﹣125＝125（件）． 答：商场销售这批商品的最大利润为18750元，此时的进货方案为：购进125件A型商品，125件B型商品． 23．（2024•邯郸二模）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且|a+2|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　﹣2　，b＝　5　； （2）点A、点B开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动．求t秒后点A、点B之间的距离（用含t的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣5）2＝0，且|a+2|≥0，（b﹣5）2≥0， ∴a+2＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 故答案为：﹣2，5； （2）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后点A表示的数为：﹣2﹣t，点B表示的数为：5+2t， ∴t秒后点A、点B之间的距离为：5+2t﹣（﹣2﹣t）＝5+2t+2+t＝3t+7． 24．（2024•邯郸二模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝2x﹣1，再将y＝2x﹣1代入方程①得x+3（2x﹣1）＝4，… 乙同学： 解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3，再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y）＝4+3，… （1）甲同学运用的方法是 　①　，乙同学运用的方法是 　②　；（填序号） ①代入消元法；②加减消元法． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【解答】解：（1）甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②； 故答案为：①，②； （2）选择①， 解：把方程2x﹣y＝1变形为y＝2x﹣1， 再将y＝2x﹣1代入方程①得x+3（2x﹣1）＝4， 解得：x＝1， 把x＝1代入得：y＝2﹣1＝1， 则方程组的解为； 选择②， 解：将方程2x﹣y＝1的两边乘以3得6x﹣3y＝3， 再将①+②，得到（x+3y）+（6x﹣3y）＝4+3， 整理得：7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1代入①得：1+3y＝4， 解得：y＝1， 则方程组的解为． 25．（2024•峰峰矿区二模）已知整式，整式Q＝﹣5（x﹣2）． （1）当x＝3时，求P的值； （2）若P大于Q，求x的取值范围，并在数轴上表示． 【解答】解：（1）当x＝3时，， ∴P的值为﹣5； （2）∵P大于Q， ∴， ∴1﹣2x＞﹣5x+10， ∴﹣2x+5x＞10﹣1， ∴3x＞9， ∴x＞3， 在数轴上表示如图所示： 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/11 16:32:31；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$