重庆市第三十七中学校2023-2024学年九年级上学期入学考试数学试题

2023-2024学年度（上）初三入学测试 数学模拟试题 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 4．方程的根是（　　） A． B． C． ， D． ， 5．若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 第7题图 第8题图 8．如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．下列方法不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（每小题4分，共32分） 11．化简： ． 12．三角形的周长为16cm，它的三条中位线围成的三角形的周长是 ． 13．某校举行九年级学生篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有 个班． 14．如图，在等腰中，，是的垂直平分线，线段，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    第14题图 第15题图 16．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 17．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 18．材料：对于一个四位正整数，若，则称这个数为“尚美数”，并记，．例如：对于四位正整数3586，∵，，∴3586是“尚美数”，且，．若一个“尚美数”的千位数字小于百位数字，且是7的整数倍，则的最小值为 . 3、 解答题（19题8分，其余每题10分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为、、 (1)在图中将△ABC向右平移2个单位，做出平移后的，并写出点B的对应点的坐标； (2)在图中画出△ABC绕点A按顺时针旋转后的，并写出点C的对应点的坐标. 20. (1) 解不等式组：. (2) 解方程： x2＋3x－2＝0； 21. (1) 因式分解： ； (2) 分式化简：. 22. 如图，在中，． (1)用尺规完成下列基本作图：在AD上取点E，使，连接BE，过点A作BE的垂线，垂足为点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）中作图，求证：．补充完成下列证明过程﹒ 证明：∵，上于点O， ∴①___ ______ 在中，有， ∴， ． ∴②___ ______（AAS） ∴③_____ ____． ∵四边形是平行四边形， ∴④____ _____．   ∴． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E、F分别是AC、BC的中点，延长AB至点D，使，连接EF、ED、EB、FD、ED交于点O． (1)证明：BF与ED互相平分； (2)若AB=4，CF=3，求OE的长度．      24.为了促进学生加强体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，去年学校在某体育用品店购买A品牌足球共花费3600元，B品牌足球共花费2700元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，对于每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜10元． (1)去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？ (2)今年由于参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共38个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了10%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？ 25.如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，等边三角形△DCE顶点D从O点出发，沿以每秒1单位的速度在射线OM上运动，且点D不与点A重合，设运动时间为t（s），连接BE． （1）如图1，当0≤t＜6时，求证：△DCA≌△ECB； （2）如图2，当6＜t＜10时，此时△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长，若不存在，请说明理由. （图1） （图2） 26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连接CK，EK，CE． (1)如图1，若α＝45°，则△ECK的形状为 ． (2)在（1）的条件下，若将图1中△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示．求证：BE﹣AE＝2CK． (3)若BC＝8，AC＝15，点D在边AC上（不与点A，C重合），AD＝2CD，将线段AD绕点A旋转，点K始终为BD的中点，则线段CK长度的最大值是多少？请直接写出结果. 重庆市第三十七中学校2023-2024学年度（上）初三入学测试数学模拟试题（学生版） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$重庆市第三十七中学校 2023-2024 学年度(上)初三入学测试数学模拟试题(学生版) 1 / 4 2023-2024 学年度(上)初三入学测试 数学模拟试题 班级: 姓名: 得分: 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.多项式 28 4x x 中各项的公因式是( ) A.4 B.2 1x C. 4 1x D. 4x 2.若分式 3 9 2 x x 的值为零,则 x的值为( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 3.一个多边形每一个外角都等于36 ,则这个多边形的边数为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 4.方程 22 8 0x 的根是( ) A. 2x B. 2x C. 1 2x , 2 2x D. 1 4x , 2 4x 5.若 a b ,则下列不等式中正确的是( ) A. 1 1a b B. 3 3a b C. a b D. 2 2 a b 6.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( ) A. 2 26 9 ( 3)x x x B.2 4 2 2( 2 )x y x y C. 2( 2)( 2) 4x x x D. 2 22 2 ( 1) 1x x x 7.等边三角形(三条边都相等的三角形是等边三角形)纸板 ABC在数轴上的位置如图所示,点 A、B对 应的数分别为 2 和 1,若 ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转,翻转第 1 次后,点 C所对应的数 为 0,则翻转 2023 次后,点 C所对应的数是( ) A.﹣2021 B.﹣2022 C.﹣2023 D.﹣2024 第 7 题图 第 8 题图 8.如图,一次函数 y kx b (k,b为常数,且 0k )的图象与直线 1 2 y x 都经过点 2,1A ,当 1 2 kx b x 时,x的取值范围是( ) A. 2x B. 1x C. 1x D. 2x 9.下列方法不能判定四边形 ABCD为平行四边形的是( ) A. AB CD , AD BC B. B D , A C C. AB CD , B D D. AB CD , BC AD 10.阅读材料:我们把形如 2ax bx c 的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式就是完全平方公式的逆写,即 2 2 2)2 (a ab b a b .例如: 2( 1) 3x , 2( 2) 2x x , 2 21 32 2 4 x x 是 2 2 4x x 的三种不同形式的配方.则下列说法正确的个数是( ) ① 2( 2) 2x x 和 2( 31)x 都是 2 2 4x x 不同形式的配方 ② 2 2( 1) 4x k x 是完全平方式,则 k的值为 3 ③ 23 5 3 4 b b 有最小值,最小值为 2 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 11.化简: = . 重庆市第三十七中学校 2023-2024 学年度(上)初三入学测试数学模拟试题(学生版) 2 / 4 12.三角形的周长为 16cm,它的三条中位线围成的三角形的周长是 . 13.某校举行九年级学生篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共 进行了 28 场,则九年级共有 个班. 14.如图,在等腰? ? ? ? 中,∠? ? ? = 120 ,? ? 是? ? 的垂直平分线,线段? ? = 2cm,则? ? 的长为 cm. 15.如图,在平面直角坐标系中,点? (−3,0),? (3,0),? (3,2),如果以? ,? ,? ,? 为顶点的四边形为平 行四边形,且点? 在第三象限,那么点? 的坐标是 . 第 14 题图 第 15 题图 16.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,请人去买几株椽.每株脚钱三文 足,无钱准与一株椽.”其大意:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为 6210 文.如果每株椽的运费是 3 文, 那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6210 文能买多少株椽?若设这批椽的 数量为 x株,则可列分式方程为 . 17.若实数? 使关于? 的不等式组 3 − ≤ 2? − ? < −2 有整数解且至多有4个整数解,且使关于? 的分式方程 = − 2的解为非负数,则满足条件的所有整数? 的和为 . 18.材料:对于一个四位正整数? ? ? ? ,若? + ? = ? + ? = 11,则称这个数为“尚美数”,并记? (? ? ? ? ) = , ? ? ? ? ? = ? ? − ? ? .例如:对于四位正整数 3586,∵3 + 8 = 11,5 + 6 = 11,∴3586 是“尚美数”,且 ? (3586) = = ,? (? ) = 35 − 86 = −51.若一个“尚美数”? 的千位数字小于百位数字,且? (? )是 7 的整数倍,则? (? )的最小值为 . 三、解答题(19 题 8 分,其余每题 10 分) 19. 如图,在平面直角坐标系中, ABC的三个顶点分别为 1, 1A 、 3,3B 、 4,1C (1)在图中将 ABC向右平移 2 个单位,做出平移后的 1 1 1A BC ,并写出点 B的对应点的 1B 坐标; (2)在图中画出 ABC绕点 A按顺时针旋转90 后的 2 2 2A B C ,并写出点 C的对应点 2C 的坐标. 20. (1) 解不等式组: 1 1 0 3 3 4( 1) 1 x x . (2) 解方程: x2+3x-2=0; 重庆市第三十七中学校 2023-2024 学年度(上)初三入学测试数学模拟试题(学生版) 3 / 4 21. (1) 因式分解: 4 2 2 42a a b b ; (2) 分式化简: 2 2 3 4 4 1 (2 ) 1 1 x x x x . 22. 如图,在 ABCD 中, AD AB . (1)用尺规完成下列基本作图:在 AD上取点 E,使 AE AB ,连接 BE,过点 A作 BE的垂线,垂足为点 O, 交 BC于点 F;(保留作图痕迹,不写作法和结论) (2)根据(1)中作图,求证:DE CF .补充完成下列证明过程﹒ 证明:∵ AE AB , AF BE⊥ 上于点 O, ∴①_ _ 在 ABCD 中,有 AE BF∥ , ∴ OAE OFB, OEA OBF. ∴②_ _(AAS) ∴③_ _. ∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴④_ _. ∴DE CF . 23.如图,在 Rt ABC中,∠ABC=90 ,E、F分别是 AC、BC的中点,延长 AB至点 D,使 1 2 BD AB , 连接 EF、ED、EB、FD、ED交 BC 于点 O. (1)证明:BF与 ED互相平分; (2)若 AB=4,CF=3,求 OE的长度. 24.为了促进学生加强体育锻炼,增强体质,某中学从去年开始,开展了“足球训练营”活动,去年学校在某 体育用品店购买 A品牌足球共花费 3600 元,B品牌足球共花费 2700 元,且购买 A品牌足球数量是 B品牌 数量的 1.5 倍,对于每个足球的售价,A品牌比 B品牌便宜 10 元. (1)去年 A,B品牌足球的销售单价各是多少元? (2)今年由于参加“足球训练营”人数增加,需要从该店再购买 A,B两种足球共 38 个,已知该店对每个足球 的售价,今年进行了调整,A品牌比去年提高了 10%,B品牌比去年降低了 10%,如果今年购买 A,B两 种足球的总费用不超过去年总费用的一半,那么学校最多可购买多少个 A品牌足球? 重庆市第三十七中学校 2023-2024 学年度(上)初三入学测试数学模拟试题(学生版) 4 / 4 25.如图 1, ABC是边长为 4 的等边三角形,边 AB在射线 OM上,且 OA=6,等边三角形 DCE顶点 D 从 O点出发,沿以每秒 1 单位的速度在射线 OM上运动,且点 D不与点 A重合,设运动时间为 t(s), 连接 BE. (1)如图 1,当 0≤t<6 时,求证: DCA≌ ECB; (2)如图 2,当 6<t<10 时,此时 BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出 BDE 的最小周长, 若不存在,请说明理由. (图 1) (图 2) 26. 如图,在 Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠BAC= ,点 D在边 AC上(不与点 A,C重合),连接 BD, 点 K为线段 BD的中点,过点 D作 DE⊥AB于点 E,连接 CK,EK,CE. (1)如图 1,若 =45 ,则 ECK的形状为 . (2)在(1)的条件下,若将图 1 中 ADE绕点 A顺时针旋转一定的角度(旋转角小于 90 ),使得 D,E,B 三点共线,点 K为线段 BD的中点,如图 2 所示.求证:BE﹣AE=2CK. (3)若 BC=8,AC=15,点 D在边 AC上(不与点 A,C重合),AD=2CD,将线段 AD绕点 A旋转,点 K 始终为 BD的中点,则线段 CK长度的最大值是多少?请直接写出结果. 重庆市第三十七中学校2023-2024学年度（上）初三入学测试 数学模拟试题 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D．` 3．一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 4．方程的根是（　　） A． B． C． ， D． ， 5．若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 第7题图 8．如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第8题图 9．下列方法不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．化简： ． 12．三角形的周长为16cm，它的三条中位线围成的三角形的周长是 ． 13．某校举行九年级学生篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有 个班． 14．如图，在等腰中，，是的垂直平分线，线段DE=2cm，则BD的长为 cm. 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    第14题图 第15题图 16．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 17．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 18．材料：对于一个四位正整数，若a+c=b+d=11，则称这个数为“尚美数”，并记，．例如：对于四位正整数3586，∵3+8=11,5+6=11，∴3586是“尚美数”，且，．若一个“尚美数”M的千位数字小于百位数字，且G(M)是7的整数倍，则f(M)的最小值为 . 三、解答题（19题8分，其余每题10分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为、、 (1)在图中将△ABC向右平移2个单位，做出平移后的，并写出点B的对应点的坐标； (2)在图中画出△ABC绕点A按顺时针旋转后的，并写出点C的对应点的坐标. 20. (1) 解不等式组：. (2) 解方程： x2＋3x－2＝0； 21. (1) 因式分解： ； (2) 分式化简：. 计算补充练习 1.解一元二次方程 （1）3x（x+1）=2（x+1）； （2）4y2=12y+3 【答案】（1）x1=﹣1，x2=； （2）x1=，x2=． （3）； （4）. 【答案】（3），. （4）无解. 2.化简求值 （1）（4+3）﹣（2+）（2﹣） （2）（1﹣）÷． 【答案】（1）y2-3xy； （2）. （3）； （4）． 【答案】（1）； （2） 3.计算 （1）   （2）． 【答案】（1）； （2）． （3）计算：； （4） 【答案】（3）； （4） 22. 如图，在中，． (1)用尺规完成下列基本作图：在AD上取点E，使，连接BE，过点A作BE的垂线，垂足为点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）中作图，求证：．补充完成下列证明过程﹒ 证明：∵，上于点O， ∴①___ ______ 在中，有， ∴， ． ∴②___ ______（AAS） ∴③_____ ____． ∵四边形是平行四边形， ∴④____ _____．   ∴． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E、F分别是AC、BC的中点，延长AB至点D，使，连接EF、ED、EB、FD、ED交于点O． (1)证明：BF与ED互相平分； (2)若AB=4，CF=3，求OE的长度．      24.为了促进学生加强体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，去年学校在某体育用品店购买A品牌足球共花费3600元，B品牌足球共花费2700元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，对于每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜10元． (1)去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？ (2)今年由于参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共38个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了10%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？ 25.如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，等边三角形△DCE顶点D从O点出发，沿以每秒1单位的速度在射线OM上运动，且点D不与点A重合，设运动时间为t（s），连接BE． （1）如图1，当0≤t＜6时，求证：△DCA≌△ECB； （2）如图2，当6＜t＜10时，此时△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长，若不存在，请说明理由. （图1） （图2） 26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连接CK，EK，CE． (1)如图1，若α＝45°，则△ECK的形状为 ． (2)在（1）的条件下，若将图1中△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示．求证：BE﹣AE＝2CK． (3)若BC＝8，AC＝15，点D在边AC上（不与点A，C重合），AD＝2CD，将线段AD绕点A旋转，点K始终为BD的中点，则线段CK长度的最大值是多少？请直接写出结果. 重庆市第三十七中学校2023-2024学年度（上）初三入学测试数学模拟试题（教师版） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$