广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024年9月广附高二开学考试数学问卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（8道，共40分） 1．已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（），，则（    ）. A． B．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 C．在上单调递减 D． 6．在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二．多选题（3道，共18分） 9．已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（   ）    A．直线与直线所成角的大小不变 B．平面平面 C．点到平面的距离为定值 D．存在一点，使得直线与平面所成角为 11．一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（    ） A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为4，众数为3 C．平均数为2，方差为2.1 D．中位数为3，方差为0.85 三．填空题（3道，共15分） 12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ． 14．设函数的定义域关于原点对称且满足： （ⅰ）；（ⅱ）存在正常数使． 则函数的一个周期是 ． 四．解答题（13，15，15，17，17，共77分） 15．已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的单调区间. 16．已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 17．如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，   (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． (1)证明：平面； (2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 19．已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． (1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． (2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． (3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024年9月广附高二开学考试数学答案 1．D，2．A，3．A，4．D，5．D，6．D，7．D 8．C 【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，理由如下：若，则， 整理得，所以，即点在的角平分线上，同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心. 故，故． 因为角A为锐角，，所以．由定理得到，故． 又因为（当且仅当时取等号），所以，所以，故， 方法二：如图，延长，交于点D， 设，即，故， 设， 则，，作的内切圆与边切于点E，与切于点F， 设圆O半径为r，且A为锐角，， 故，解得或（舍去），故， 又，解得，负值舍去，，即，由图知， .故选：C． 9．BCD 10．ABC 11．ABD 【详解】对于A：10次点数为符合题意，故A正确； 对于B：10次点数为符合题意，故B正确； 对于C：设10次点数为且，平均数为， 假设有一次点数为，不妨设，由方差公式，代入相关数据得： ，即，显然最大只能取， 不妨设得，此时方程无解，所以， 当时得：，最大只能取， 不妨设得，此时方程有唯一解，， 即10次点数为，但此时平均数为不合题意，所以， 当得取得， 此时方程无解（其余情况也均无解），所以，当时，平均数为不合题意. 综上所述，假设有一次点数为不成立，故C错误；对于D：10次点数为符合题意，故D正确.故选：ABD 12． 13． 【详解】因为，由正弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得， 由余弦定理，所以，又，所以， 因为是中边上中线，则，即，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，故，即面积的最大值为． 故答案为： 14． 【详解】令，， ∴是奇函数．∵ ，∴， ∴， 是以为周期的周期函数． 15． 【详解】（1）因为函数的图象过，两点，所以，即，解得， 又因为，则.所以， 所以，则， 又因为，所以，即， 所以将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度得. （2）由（1）知，， 因为，所以，即， 解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 16． 【详解】（1），， ，， ；① ； ②； （2），则，，且， 所以，，， ，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号 的最小值为． 17． 【详解】（1）,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； （2）在中，＝， 所以，＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:   易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴    ，解得：，所以： 法二：在中，＝， 所以，＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得：，解得：，所以： 18． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，所以平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 中，，， 且，则， 所以直线BD与平面夹角为. 19． 【详解】（1）解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． （2）解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． （3）解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$