精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质检测数学试卷

2024~2025学年上海市延安中学高一新生数学综合素质检测试卷 数学 试卷 9.9 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若不等式的解集为，则a的取值集合为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一次不等式的解集求参数即可. 【详解】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 2. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【解析】 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题. 3. 已知集合，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知，先求得，再计算集合的交集即可. 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为：. 4. 已知，，用表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解. 【详解】因为，， 所以， ； 所以． 故答案为: . 5. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设两条直角边的边长分别为，则， 故即，当且仅当时等号成立， 故直角三角形面积的最大值为， 故答案为： 6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____. 【答案】； 【解析】 【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立； （2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能； （3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论． 【详解】解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为； （2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能． （3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为， 得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得； 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题． 7. 已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是_____ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 8. 关于的不等式的解集是，则的解集是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得参数，再求目标分式不等式即可. 【详解】等价于，因其解集为， 故可得，且，，故可得， 则，即，等价于， 解得. 故答案为：. 9. 已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 【答案】511 【解析】 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 10. 已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详解】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 11. 若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为_____ 【答案】1012 【解析】 【分析】由为“延安集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】由，则，代入，即， 整理得，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“延安集”的个数. 故答案为：1012. 12. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 下列表示错误的是（ ） A. B. C. = D. 若则 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D 【详解】对于A：因为空集没有任何元素，故，故A正确； 对于B：因为空集是任何集合的子集，故，故B正确； 对于C：表示与的交点所构成的集合， 所以，故C错误； 对于D：若则，故D正确； 故选：C 14. “”是“不等式与同解”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足. 【详解】取，，满足， 所以即为，即为， 两不等式的解集不同，故充分性不满足； 不等式与不等式的解集相同，均为R， 但不满足，故必要性不满足. 所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 15. 设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程组的知识求得正确答案. 【详解】由得，则，，所以， 则，解得， 所以关于的方程组有唯一解. 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D 16. 对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②若，，则； ③“”是“”的充分条件； ④若，则； ⑤若，，则. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用举反例判断假命题，利用推理证明来确定真命题. 【详解】对于①：当时，由，显然无法得到，充分性不成立，故①是假命题； 对于②：取，，，满足，，但此时，，不满足，故②是假命题； 对于③：取，，满足，但不满足，充分性不成立，故③是假命题； 对于④：是上的单调增函数，故当时，，故④是真命题； ⑤：是上的单调增函数，故当时，，故⑤是真命题. 综上所述，只有2个真命题. 故选：B. 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【答案】当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 【解析】 【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可． 【详解】由于且，故， 当时，，此时，不合题意，故， 由于得，， ①若，若，则，不合题意，所以，则， 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； ②若，时，即， 当时，，联立解得，此时， 又因为，则，解得； 当时，，联立解得，此时， 又因为，所以，解得； ③若，时，即， 由，得，由根与系数关系得，，解得， 此时，，符合题意， 又因为，所以，解得， 综上所述，当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 18. 设关于的不等式的解集为M． （1）求M； （2）若且，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 （2）a∈ 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得. （2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，即， 当时，不等式转化为，解集为空集. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 【小问2详解】 由于且， 所以， 解得. 19. （1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 【答案】（1），当时两式相等；（2）49. 【解析】 【分析】（1）利用作差法，结合代数运算即可求解； （2）适当配凑后，结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）作差比较：=， 所以，，当时两式相等． （2）因为，故可得， 则 ， 当且仅当，，即取得等号， 故的最小值为. 20. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】（1）100 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市延安中学高一新生数学综合素质检测试卷 数学 试卷 9.9 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若不等式的解集为，则a的取值集合为______ 2. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 3. 已知集合，，则______ 4. 已知，，用表示为__． 5. 若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____. 6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____. 7. 已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是_____ 8. 关于的不等式的解集是，则的解集是_________ 9. 已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 10. 已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是_____ 11. 若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为_____ 12. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 二．选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 下列表示错误的是（ ） A. B. C. = D. 若则 14. “”是“不等式与同解”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 16. 对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②若，，则； ③“”是“”的充分条件； ④若，则； ⑤若，，则. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 18. 设关于的不等式的解集为M． （1）求M； （2）若且，求实数a的取值范围． 19. （1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 20. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 21. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $