精品解析：2024年广东省揭阳市中考数学模考训练题

2024年广东省揭阳市中考数学模考训练卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，A轴对称图形，故符合要求； B、C、D不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 在实数：，，4，π，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：，π，都是无限不循环小数，是无理数，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 3. 已知点在反比例的数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据反比例函数为可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到的大小关系． 【详解】∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 4. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵与位似，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长是， ∴的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 由根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故选C． 6. 在平面直角坐标系中，若线段AB平行于y轴且AB＝3，点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为（　　） A. （2，﹣1） B. （2，6） C. （﹣1，3）或（5，3） D. （2，0）或（2，6） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由点A的位置及AB＝3即可得到点B的坐标． 【详解】如图所示，点A的坐标为（2，3）， 则点B的坐标为：（2，6）或（2，0）． 故选：D． 【点睛】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与y轴平行的直线的特征，正确表示点在直角坐标系中的位置是解题的关键． 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 8. 关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 9. 如图，是二次函数（） 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（－2，0）．有下列说法:①；②；③；④若，，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号及a与b的关系，进而判断①②，由抛物线经过（1，0）且抛物线开口向下可得x=2时y＜0，从而判断③，由抛物线对称轴为直线，开口向下，根据点，与对称轴的距离可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴b＜0， ∵抛物线与x轴交点在y轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，①错误． ∵， ∴b=a， ∵抛物线经过（-2，0），对称轴为直线， ∴抛物线经过点（1，0）， ∴a+b+c=2b+c=0，②正确． ∵抛物线经过（1，0）且抛物线开口向下， ∴x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，③正确， ∵抛物线开口向下，， ∴y1＞y2，④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 10. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，，，，CIHG，从而可得，进而利用平行线的性质可得，然后可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质可得，再设，，从而可得，再证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，从而根据，求出的值，进而求出，，的长，最后证明一线三等角模型相似∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，然后根据正方形的面积的面积的面积，正方形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ，，CIHG， ， ， ， ∽， ，， ， 设，， ， ，，， ≌（ASA）， ， ， ， ， 或舍去， ，， ， ，， ，， ， ∽， ， ， ， 正方形的面积的面积的面积 ， 正方形的面积的面积 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时能提取公因式先提取公因式，然后再看能否运用公式因式分解． 12. 科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为___________． 【答案】2.25×108 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：根据科学记数法的定义：225000000= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键． 13. 如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形，则CD=AB=6米，EF=BD=1.5米， 设MF=x，然后解直角三角形得到，，再由CF+CD=FD，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得四边形ABCD是矩形，四边形BEFD是矩形， ∴CD=AB=6米，EF=BD=1.5米， 设MF=x， 在中， 在中， ∵CF+CD=FD， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识是解答此题的关键． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出树状图，得出所有可能的结果和符合事件要求的所有可能的结果，用概率公式求得即可． 【详解】如图， ， 共有9种等可能性的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种， 两次摸到不同数字的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或列表法求简单事件的概率，正确画出树状图是解题的关键． 15. 如图，AB为半圆的直径，圆心为点O，，将半圆绕点B逆时针旋转45°，点A旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】设BC与半圆交于点D，连接OD，AD，则阴影部分的面积等于，计算即可． 【详解】如图，设BC与半圆交于点D，连接OD，AD， ∵AB是直径，AB=4，∠ABC=45°，OD=OB， ∴∠ADB=90°，∠BDO=45°，∠BOD=∠AOD=90°，OA=OD=OB=2， ∴=2π，==π，=2， ∴阴影部分的面积=2π-π-2=π-2， 故答案为：π-2． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，等腰直角三角形的面积，旋转的性质，熟练把阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差计算是解题的关键． 16. 已知，点P为矩形的边上的一个动点，连结，过点P作的垂线，交于点Q，，在点P运动的过程中，的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过证明，可得，由二次函数的性质可得的最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数性质，证明三角形相似是解题的关键． 三．解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）化简二次根式，计算零次幂，代入特殊角三角函数值，最后再算加减法． （2）化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，最后再算加减法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 用不等式解答： 用甲、乙两种原料配制成某种饮料10kg，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位/kg） 500 200 原料价格（元/kg） 10 8 （1）要求至少含有4100单位的维生素C，购买的甲种原料至少是多少kg？ （2）如果要求购买的甲、乙两种原料费用不超过92元，购买的甲种原料最多是多少kg？ 【答案】（1）购买的甲种原料至少是7kg （2）购买的甲种原料最多是6kg 【解析】 【分析】（1）设买的甲种饮料为x kg，根据题意列出一元一次不等式，解不等式则可得出答案； （2）设购买的甲种原料为y kg，根据题意列出一元一次不等式，解不等式则可得出答案． 【小问1详解】 解：设买的甲种饮料为xkg，根据题意，得． 解不等式，得． 所以，购买的甲种原料至少是7kg． 【小问2详解】 解：设购买的甲种原料为ykg，根据题意，得． 解不等式，得． 所以，购买甲种原料最多是6kg． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19. 先化简，再求值：，其中x的值为一元二次方程的根． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，一元二次方程的解，利用整式的运算法则进行化简，根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，射线交一圆于点B，C，射线交该圆于点D，E，且． （1）判断与的数量关系．（不必证明） （2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分． 【答案】（1）相等 （2）图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，尺规作图—作垂线，作角平分线，中垂线的性质： （1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，得到，等角对等边，即可得出结论； （2）根据尺规作—垂线和角平分线的方法，作图，根据中垂线的性质，结合等边对等角，进行判断即可． 【小问1详解】 解：连接， ． 【小问2详解】 如图所示， 点F即为所求作的点． 证明：， ， ∵是的垂直平分线，且平分， ． ∴平分． 四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分） 21. 为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，其中类别的具体数据为：3，1，5，9，11，5，6，8，9，5，10，5；现将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为______，类别具体数据中，众数为_______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为_______，圆心角的度数为_______； （4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ 【答案】（1）60，5小时 （2）见解析 （3）20， （4）1000名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量和众数等等： （1）用B类别的人数除以其人数占比可得参与调查的人数，即得到样本容量，再根据众数的定义求出A类别数据中的众数即可； （2）先求出C类别人数，再补全统计图即可； （3）用2000乘以样本中寒假阅读的总时间少于24小时的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的人数为60人，即样本容量为60； ∵A类别具体数据中5小时出现了4次，出现的次数最多， ∴A类别具体数据中的众数为4， 故答案为：60；5小时； 【小问2详解】 解：C类别的人数为人， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， 故答案为：20；； 【小问4详解】 解：名， ∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请直接写出当时，的解集 （3）横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A，B之间的双曲线和线段AB围成的封闭图形（不含边界）记作区域G，直接写出区域G整点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）和 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式 （2）根据两个函数的图象的交点即可求得的解集 （3）先由、，确定区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是，即确定的取值为或，然后再确定纵坐标的值，即可求得区域内的点的坐标 【小问1详解】 将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴， 将点、分别代入一次函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式是：，一次函数的表达式是 【小问2详解】 ∵由（1）知点、点， ∴观察图象，当时，或 【小问3详解】 ∵、， ∴反比例函数与一次函数的图象围成的区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是， ∴的取值为整数时，或， 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； ∴区域G整点的坐标为和 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握两个函数的性质是解决问题的关键 23. 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为________，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）与的数量关系为：，理由见解析；（3）的值为或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）与的数量关系为：，理由如下： 如图2，连接PF， ∵F为的中点， ， ∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ，， 在和Rt△PBF中， ， ， ； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为三等分点，且， ， ，， ∵四边形是矩形， ，， 过点E作于M， 则四边形为矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ； ②如图4，若点E为的三等分点，且， 则，， 过点E作于N， 则， 同理可得：，， 在中，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】（1） （2）， （3）4或5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线：可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线：，从而得解析式，再令，可得c的值； （3）依据题意，根据点B的取值范围代入解析式可求解． 【小问1详解】 解：由题意，∵抛物线：， ∴抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题可得点，将代入抛物线：， 得， ∴抛物线：． ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 25. 如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析 【解析】 【分析】（1）①证明，，从而证明即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； （2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； （3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解． 【详解】（1）①证明：为的直径， ， 于点F， ， ②， 中， （2）中，，，， ∴，， 由（1）可知：，， ，即， （3）是等腰直角三角形．理由如下： 中，， 由（1）可知：， ，即 ， ， ， 由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立， 且， ， 锐角 中，， 为的直径， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省揭阳市中考数学模考训练卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数：，，4，π，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知点在反比例的数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若线段AB平行于y轴且AB＝3，点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为（　　） A. （2，﹣1） B. （2，6） C. （﹣1，3）或（5，3） D. （2，0）或（2，6） 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C 且 D. 9. 如图，是二次函数（） 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（－2，0）．有下列说法:①；②；③；④若，，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ③④ 10. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为___________． 13. 如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为，则学校大门ME的高是______米． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 15. 如图，AB为半圆的直径，圆心为点O，，将半圆绕点B逆时针旋转45°，点A旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）． 16. 已知，点P为矩形的边上的一个动点，连结，过点P作的垂线，交于点Q，，在点P运动的过程中，的最大值为________． 三．解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分） 17. 计算： （1） （2） 18. 用不等式解答： 用甲、乙两种原料配制成某种饮料10kg，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位/kg） 500 200 原料价格（元/kg） 10 8 （1）要求至少含有4100单位的维生素C，购买的甲种原料至少是多少kg？ （2）如果要求购买的甲、乙两种原料费用不超过92元，购买的甲种原料最多是多少kg？ 19. 先化简，再求值：，其中x的值为一元二次方程的根． 20. 如图，射线交一圆于点B，C，射线交该圆于点D，E，且． （1）判断与的数量关系．（不必证明） （2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分． 四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分） 21. 为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，其中类别的具体数据为：3，1，5，9，11，5，6，8，9，5，10，5；现将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样样本容量为______，类别具体数据中，众数为_______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为_______，圆心角的度数为_______； （4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请直接写出当时，的解集 （3）横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A，B之间的双曲线和线段AB围成的封闭图形（不含边界）记作区域G，直接写出区域G整点的坐标． 23 综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为________，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 25. 如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$