精品解析：2024年江苏省南京市第二十九中学中考特长生考试数学试卷

2024年29中特长生考试数学真题 综合部分 一、填空选择题 1. 因式分解：． 2. 已知，，，．求P、Q的值． 3. 如图，反比例函数与矩形的边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值． 4. 如图，，，H为中点，延长线与延长线交于点F，求． 5. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围． 6. 在平面直角坐标系中，点P坐标，点M的坐标，当长度最小时，m的值为多少？ 二、解答题 7. 试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系． 8. 如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 9. 如图，在中，D是边上一点，，面积为S，面积为，求的最大值． 数学特长生加试 一、填空选择题 10. a、b、c为三个不同的非零实数，已知，，则的值为______． 11. 如图，中，，，，为边上的高，、分别为、的内心，则______． 二、解答题 12. 如图，在内部有一点P，过点P作一条直线分别与、交于A、B两点，使得，尺规作图，保留作图痕迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年29中特长生考试数学真题 综合部分 一、填空选择题 1. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，把原式变形为，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 2. 已知，，，．求P、Q的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质、分式的求值等知识，由题意可得，，根据完全平方公式变形后代入即可求出P的值，把化简后，再进行整体代入即可求出Q的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 3. 如图，反比例函数与矩形的边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了反比例函数几何意义运用，解题的关键是表示出． 由题意得，，设D坐标，则B坐标，得出，即可得面积为，面积为，得出，即可求解； 【详解】解：由题意得，， 设D坐标，则B坐标， ∵点D在反比例函数图像上， ∴， 则矩形面积为，面积为， ∵P在反比例函数图像上， ∴面积为， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，，，H为中点，延长线与延长线交于点F，求． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，根据等腰三角形的判定和性质得到平分，设，则，由三角形内角和定理和等边对等角得到，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，H为中点， ∴平分 设，则， ∴ ∴ 5. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质、二次函数的图象和性质等知识，连接，取中点M，连接、、，求出，，，根据直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理得到，则Q在以M为圆心，1为半径的圆上，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，取中点M，连接、、， 当时，，解得， ∴ 点A坐标， ∴， ∵点C坐标为， ∴， 在中，， ∴ ∵中点为M， ∴ ∵Q为中点，M为中点 ∴ ∴Q在以M为圆心，1为半径的圆上， ∴ ∴ ∴ 6. 在平面直角坐标系中，点P坐标，点M的坐标，当长度最小时，m的值为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，由两点间的距离公式可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出当取最小值时的值． 【详解】解：由坐标系中两点间距离公式， 整理得： 当最小时，长度最小，此时． 二、解答题 7. 试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系． 【答案】 证明：①当时， 若时，无解， 若，，，则， 即时，在有一个解； ②当时， 若时，无解， 若，，，则或； 即或时，在有一个解， 综上，当时，方程没有解； 当或或时，方程有一个解： 当时，方程有两个解． 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值方程及一元一次方程的解法是解题的关键；根据题意结合绝对值方程进行分类讨论即可求解 【详解】略 8. 如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 【答案】 三线延长线交于一点， 证明如下：延长、交于点P，连接，交于点， ∵， ∴，， ∴； ∵N为中点， ∴， ∴，即为中点， 又∵M为中点， ∴M与重合，即P、M、N三点共线， ∴、、延长线交于一点P． 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长、交于点P，连接，交于点，由得到，，则，由N为中点得到，则，即为中点，由已知M为中点，即可得到结论． 【详解】略 9. 如图，在中，D是边上一点，，面积为S，面积为，求的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理和二次函数的性质，根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，进一步得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解；∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ 当时，最大值为． 数学特长生加试 一、填空选择题 10. a、b、c为三个不同的非零实数，已知，，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了因式分解、分式的求值等知识，根据题意得到，，进一步求出，，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得：， 化简得：， ∴， ∵b、c为不同的非零实数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20. 11. 如图，中，，，，为边上的高，、分别为、的内心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点G，于点H，连接，，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，得出，根据等积法求出，根据内心的性质求出，，解直角三角形得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：作于点G，于点H，连接，，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵、分别为、的内心，，， ∴、分别平分、，，分别为和内切圆的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴在中，， 同理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了内心的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握内心的性质． 二、解答题 12. 如图，在内部有一点P，过点P作一条直线分别与、交于A、B两点，使得，尺规作图，保留作图痕迹． 【答案】 1．作的角平分线，在角平分线上任取一点， 2．过作的垂线，交于点H， 3．以为圆心为半径作圆， 4．连接，交圆于点， 5．连接，过作的垂线，该垂线即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了基本作图，切线的判定和性质、切线长定理、位似图形的判定和性质等知识，作的角平分线，在角平分线上任取一点，过作的垂线，交于点H，以为圆心为半径作圆，连接，交圆于点，连接，过作的垂线，该垂线即为所求． 【详解】略 理由：过P作交角平分线于点C，以C为圆心为半径作圆， 由位似可得，圆C与、相切于点E、F， ，可得为圆C切线， ∴， ∵， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $