精品解析：2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学模测试题

2024年江苏省南京市玄武区科利华中学数学中考模测试卷（3） 试题数：22，满分：100 1. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长，正方形的边长为，用、表示下列面积，与相交于点，下列各选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ） A 2 B. 3 C. 3.5 D. 4.5 4. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（ ） A. A，B，C三点可能构成锐角三角形 B. A，B，C三点可能构成直角三角形 C. A，B，C三点可能构成钝角三角形 D. A，B，C三点可能构成等腰三角形 5. 把2022个正整数1，2，3，4，…，2022按如图方式列成一个表，用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（ ） A. 192 B. 190 C. 188 D. 186 6. 如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　） A. B. C D. 7. 本题中的两个图形都可看作是由拼成的，如果表示总体1，那么用最简分数表示为_____． 8. 如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，如表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是n，则输出的数是______． A 1 2 3 4 5 B 2 5 10 17 26 9. 一个扇形的半径为6厘米，圆心角为60°，那么扇形的弧长为______厘米． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值为______________． 11. 如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则长为_____，的最小值为_____． 12. 已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论： ①； ②； ③方程的解为，； ④对于任意实数，总有． 其中正确的结论是______．（填写序号）． 13. 下表是我校七年级各班某月课外选修课程上课时间的统计表，其中各班同一选修课程上课时间相同． 音体美选修课程 上课次数 科技类选修课程 上课次数 学科类选修课程 上课次数 选修课程上课 总时间（单位：h） 1班 4 6 5 14.5 2班 4 6 4 14 3班 4 7 4 15 4班 5 b 14 科技类选修课程每次上课时间为_________h，该年级4班这个月音体美选修课程上课次数最多可能是_________次． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段AP取最大值时， _____，点M的坐标为 _____． 15. 用计算器计算： _________________．（结果保留3个有效数字） 16. 如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°． （1）求 直径； （2）比较与的长度哪个更长．（相关数据：） 19. 如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、． （1）填空：用a，b表示的面积 （写出化简后结果）； （2）用a，b表示的面积，并化简； （3）如图2，若点M是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）． 20. 如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路、公路和的距离相等，如果你是红方的指挥员，请你在下图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 21. 在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接； （1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是________． （2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）． （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段，连接，试求线段长度的最小值． 22. 规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”． （1）函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由； （2）已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”； （3）已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省南京市玄武区科利华中学数学中考模测试卷（3） 试题数：22，满分：100 1. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案． 【解答】解：是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，是的平分线， ∴，故A结论正确； ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ，故C结论正确； ，故B结论正确； ∴D结论不一定正确． 故选：D． 2. 如图，正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长，正方形的边长为，用、表示下列面积，与相交于点，下列各选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分别求出选项中图形的面积，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵正方形的边长，正方形的边长为， ∴，， ∴；故A正确； ∵， ∵，， ∴； ∴；故B正确； ∵， ∴， ∴；故D正确； ∵，， ∵，且没有确定的值， ∴与不一定相等；故C不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，几何图形的面积，列代数式表示面积，解题的关键是正确的表示出每个图形的面积，从而进行判断． 3. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质推出，由此得当P、A、B三点共线时，此时P与D点重合，的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴要使最小，即要使最小， ∴当P、A、B三点共线时，此时P与D点重合，的最小值为， 故选:B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（ ） A. A，B，C三点可能构成锐角三角形 B. A，B，C三点可能构成直角三角形 C. A，B，C三点可能构成钝角三角形 D. A，B，C三点可能构成等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，，则，，，讨论，的值即可判定． 【详解】解：不妨设，，，则，，， 由，可知，即； A.当时，无解，则不可能是锐角三角形，故A错误； B.当，时，成立，此时为直角三角形，故B正确； C.当时，为钝角，且成立，故C正确； D.当，时，成立，此时为等腰三角形，故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力． 5. 把2022个正整数1，2，3，4，…，2022按如图方式列成一个表，用图中阴影所示方式框住表中任意4个数，这四个数的和可能是（ ） A. 192 B. 190 C. 188 D. 186 【答案】A 【解析】 【分析】记右上角的一个数为x，通过图表可以得出这四个数之间的数量关系是相邻的两个数之间相差6，从而可以得出另三个数，将表示出的4个数相加，根据各选项建立方程求出其解即可判断． 【详解】解：记右上角的一个数为x， ∴另三个数用含x的式子表示为：． 四个数的和为：， A、，解得：，符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，38是第六行第3个数，不可以用如图方式框住，不符合题意； D、，解得：，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，要把实际问题抽象到解方程中来是解题关键． 6. 如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H． ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH， ∴CH＝AH＝OC•sin60°＝， ∴AC＝， ∵CN＝DN，DM＝AM， ∴MN＝， ∵CP＝PB，AN＝DN， ∴PN＝， 当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2， ∴PM＋MN的最大值为． 故答案选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 7. 本题中的两个图形都可看作是由拼成的，如果表示总体1，那么用最简分数表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意列出算式，再利用分数的基本性质解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了运算律的除法，利用题意列出算式是解题的关键． 8. 如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，如表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是n，则输出的数是______． A 1 2 3 4 5 B 2 5 10 17 26 【答案】 【解析】 【分析】根据表格中的五组数据归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由表格可知，当输入的数是1时，输出的数是， 当输入的数是2时，输出的数是， 当输入数是3时，输出的数是， 当输入的数是4时，输出的数是， 当输入的数是5时，输出的数是， 归纳类推得：当输入的数是时，则输出的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 9. 一个扇形的半径为6厘米，圆心角为60°，那么扇形的弧长为______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：扇形的弧长为 厘米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意可分三种情况：①点在上，点在上；②点、都在上，③点在上，点在点处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，， 当点运动到点时，，当点运动到点B时，， 点运动到点时，，点运动到点时，， 故可分三种情况： ①点在上，点在上，如图， 当与全等时， ∵，， ∴，解得：； ②点、都在上，如图， 当与全等时，点、重合，即， ∵，， ∴，解得：； ③点在上，点在点处，如图， 当与全等时， 则，解得：， 综上，满足条件的t值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键． 11. 如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为_____，的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，利用三角形相似可求得的长，设A点关于的对称点A′，当时，的值最小，进而求得即可． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴， ， 如图，设A点关于的对称点为，连接， 则， ∴当三点在一条线上，且时，最小， ∴由三角形的面积公式知，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称的应用，相似三角形的判定与性质，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键． 12. 已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论： ①； ②； ③方程的解为，； ④对于任意实数，总有． 其中正确的结论是______．（填写序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据二次函数的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大可判断①；由对称轴为 可得 它的图象经过点， 从而可判断②；由二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 从而可判断③；当时，函数取得最小值 从而可判断④． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数图象的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，对称轴为直线 ∵它的图象经过点，， 而 ∴ 故①不符合题意； 由对称轴 可得 ∵它的图象经过点， ∴ ∴ 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为： ∴方程的解为，；故③符合题意； 当时，函数取得最小值 ∴对于任意实数有 即 故④不符合题意； 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用二次函数的性质“判断代数式的符号，判断方程的根，代数式的最值”是解本题的关键． 13. 下表是我校七年级各班某月课外选修课程上课时间统计表，其中各班同一选修课程上课时间相同． 音体美选修课程 上课次数 科技类选修课程 上课次数 学科类选修课程 上课次数 选修课程上课 总时间（单位：h） 1班 4 6 5 14.5 2班 4 6 4 14 3班 4 7 4 15 4班 5 b 14 科技类选修课程每次上课时间为_________h，该年级4班这个月音体美选修课程上课次数最多可能是_________次． 【答案】 ①. 科技类选修课程每次上课时间为1h， ②. 该年级4班这个月音体美选修课程上课次数最多可能是6次 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出科技类选修课程上课的时间和学科类选修课程上课的时间，然后根据活动次数都是正整数和0，即可得答案． 【详解】解： 设科技类选修课程上课的时间xh， 由题意得： 解得：x=1， 科技类选修课程上课的时间为1h， 同理可以求出学科类选修课程上课的时间为： 音体美选修课程上课时间为：h， 设4班音体美选修课程上课次数最多为y次，则4班学科类选修课程上课的次数为： 上课次数都是正整数和0， 一定是正整数和0， 的值可以为1或2或3或4或5或6， 该年级4班这个月音体美选修课程上课次数最多是6次． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键求出科技类选修课程上课的时间和学科类选修课程上课的时间． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段AP取最大值时， _____，点M的坐标为 _____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】以M为直角顶点，为直角边构造等腰直角三角形，连接，然后证明根，接着得到当N，A，B三点共线时，最大，即最大，利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，以M为直角顶点，为直角边构造等腰直角三角形，连接， 由题意 ， ∴， ∴， ∴， 当N，A，B三点共线时，最大，即最大，此时， 如图2，过M作轴，垂足为T， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值， ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、利用了等量代换及转化的思想等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 15. 用计算器计算： _________________．（结果保留3个有效数字） 【答案】 【解析】 【分析】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记有效数字的概念．从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．应用计算器计算结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 【详解】解： 故答案为: ． 16. 如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解； 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 18. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°． （1）求 的直径； （2）比较与的长度哪个更长．（相关数据：） 【答案】（1）20km （2）AB的长度更长 【解析】 【分析】（1）先根据切线求出∠EAO=90°-，再根据垂径定理得出AE=BE=，然后利用解直角三角形求出OE，再利用勾股定理求出OA即可； （2）利用弧长公式求出的长度，再比较即可． 【小问1详解】 解：连结OA，过点O作OE⊥AB于E， ∵粒子注入和引出路径都与 相切， ∴∠EAO=90°-， ∵OE⊥AB，OE所在的是直径，AB为弦， ∴AE=BE=， ∴tan∠EAO=， ∴km， ∴AOkm， ∴ 的直径为2×10=20km； 【小问2详解】 解：的长l=， ∵， ∴， ∴AB的长度更长． 【点睛】本题考查圆的切线的实际应用问题，垂径定理，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，掌握圆的切线的实际应用问题，垂径定理，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式是解题关键． 19. 如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、． （1）填空：用a，b表示的面积 （写出化简后结果）； （2）用a，b表示的面积，并化简； （3）如图2，若点M是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据，即可得出答案； （3）先得出，，再求出，，进而得出，求出的值，结合完全平方公式，即可解答． 【小问1详解】 解：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可知， ； 【小问3详解】 解：∵点M是线段的中点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、长方形的性质、三角形面积以及梯形面积公式等知识；熟练掌握正方形和长方形的性质，熟记三角形面积公式和梯形面积公式是解题的关键． 20. 如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路、公路和的距离相等，如果你是红方的指挥员，请你在下图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】作的角平分线，作的角平分线，射线交射线于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接； （1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段数量关系是________． （2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）． （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段，连接，试求线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），BQ=CP即可； （2）结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），可得BQ=CP； （3）AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，可证△CAQ≌△EAP（SAS），CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=BE=1即可． 【小问1详解】 解：由旋转知，AQ=AP， ∵∠PAQ=∠BAC， ∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP， ∴∠BAQ=∠CAP， 在△BAQ和△CAP中， ， ∴△BAQ≌△CAP（SAS）， ∴BQ=CP， 故答案为：BQ=PC； 【小问2详解】 结论：仍然成立， 理由：由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，，， ∵，∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 即：点P与点F重合，最小，最小值为， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 故线段长度最小值是1． 【点睛】本题考查三角形旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，掌握旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，利用辅助线构造准确的图形．把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键． 22. 规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数上，点Q（，）在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”． （1）函数和函数是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由； （2）已知函数和互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”； （3）已知二次函数与互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于，，其中，，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线上的一点F的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1）是，与 （2）2023，与 （3）或， 【解析】 【分析】（1）设在上，则在，代入解析式，组成方程组求解即可； （2）设在上，则在上，代入解析式求得，根据“守望函数”定义，得，所以，即当时，n有最大值2023，即可求解； （3）设在，则在上，代入解析式求得，根据有且仅有存在一对“守望点”，则，即，所以顶点M的纵坐标为；由二次函数与x轴交于，，即，为两个根，所以，，根据，即可求得a，从而可求得b、c，即可求解． 【小问1详解】 解：设在上，则在， ∴， 解得， ∴与互为“守望函数”，“守望点”为与． 【小问2详解】 解：设在上，则在上， ∴， ∴消去t得， ∵是“守望函数”， ∴， ∴，即n有最大值2023， 当n=2023时，s2-2s+1=0, 解得：s=1， ∴t=3， ∴此时“守望点”为与． 【小问3详解】 解：设在，则在上， ∴， 整理得， ∵有且仅有存在一对“守望点”， ∴，即， ∴顶点M的纵坐标为， ∵由二次函数与x轴交于，，即，为两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上，或，． 【点睛】本题考查新定义，二次函数与一次函数的综合运用，二次函数与一次二次方程，根与系数关系，根的判别式，理解新定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系，二欠函数图象与一次函数图象性质是解题词的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$