专题03 圆的基本性质（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【融会贯通】 1．在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的面积； (2)如图2 ，当时，求的值； (3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ； 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 3．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 类型二、二次函数与圆 【解惑】如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 2．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式和b的值． (2)在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 3．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 类型三、坐标与旋转规律 【解惑】如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的，并直接写出、的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转所得的，并直接写出、的坐标； (3)可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为 ． 2．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标； （2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标． 类型四、秦九韶——海伦公式 【解惑】阅读材料，回答问题： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下： 如图，在锐角三角形中，，，． 求证：，其中． 证明：如图，过点A作于点D，则 设，，则① ∴② 解得 ∴ ∵ ∴ ③ ∴． 中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式． (1)补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容； (2)若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积； (3)在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值． 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． (1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； (2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 2．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）    (1)如图1，在中，，，． ①求的面积； ②设边上的高为，边上的高为，求的值． (2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用． 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为. 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 . (1)在中，，，，利用上面公式求的面积； (2)求证：. 类型五、圆的平移 【解惑】【学习材料】 求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：． 【类比思考】 若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为______； 若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为______． 【拓展应用】 已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式； 若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为______． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，所在圆的圆心为，，将向右平移5个单位，得到（点平移后的对应点为）． (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________． (2)在图中画出，求的长． 2．综合与实践： 问题情境 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到和，点是对角线的中点，操作探究； (1)图1中的沿方向平移，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为与交于点与交于点，得到图2，则四边形的形状是什么形状？ (2)“探究小组”的同学将图1中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到，点的对应点为与交于点，连接交于点，得到图3，他们认为四边形是菱形，“探究小组”的发现是否正确？请你说明理由． 3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 类型六、圆的折叠 【解惑】现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是． (1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长． 【融会贯通】 1．如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：； (2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 2．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； (2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 3．有一张矩形纸片ABCD中，其中AB=2cm，AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（2）所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？ 类型七、圆的旋转 【解惑】旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． (1)【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边上的点，若，则有怎样的数量关系？为什么？ (2)【类比探究】如图2，P为正方形内一点，，，，则______； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，，证明：． 【融会贯通】 1．【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．    【问题解决】： (1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 2．如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 3．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ (2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； (3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 类型八、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【融会贯通】 1．综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． (1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 2．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取点E，使，点F是上的一点，且 连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， ∵于点D，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴ （依据1），． ∵ 四边形内接于， ∴ ．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为_________，依据2为_________； (2)将上述证明过程补充完整． 3．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ① 又② 又 即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 类型九、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系xOy中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图1，若点M在坐标原点，点． ①点的“对应点”Q的坐标为 ； ②若点P的“对应点”Q的坐标为，则点P的坐标为 ； (2)如图2，已知的半径为1，M是上一点点，，若为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．①当点在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）； ②当点M在上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 ．（用含m的式子表示） 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 2．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 3．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． (1)线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． (2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 类型十、圆中的无刻度尺作图 【解惑】如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 【融会贯通】 1．按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O； (2)如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M． 2．如图，点在上，点在内，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中作弦，使； (2)在图2中作矩形，使矩形的面积是面积的8倍． 3．如图，在方格纸中，点A、B是方格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作的线用实线，并加粗加黑，重要的点请重点标出）． (1)在图1中，画出线段绕点P按顺时针方向旋转所得到的线段； (2)在图2中画出线段的中点O； (3)将向右平移5格，得到线段． ①点D到的距离为 ； ②在图3中，作矩形，使得点E、F分别在上； ③在图4中，在上找一点P，使得平分． 【一览众山小】 1．如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 5．如图，四边形 是正方形，其中，…依次连接，它们的圆心依次按 A、B 、C、D循环．当时，曲线的长度是 ． 6．如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为 ． 7．（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 8．已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，，若，求证：平分； (2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长． 9．综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，连接对应点，和，，延长交于点． (1)如图1，当点落在边上时，证明：； (2)如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，点在轴上，连接且，求线段的长； (3)连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【答案】(1)图见解析；点的坐标为； (2)图见解析；点的坐标为； (3)点B经过的路径长为 【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形． （1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）根据旋转的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）点B经过的路径为弧，求得弧的半径计算弧长即可． 【详解】（1）解：关于原点成中心对称的图形如图所示； 点的坐标为； （2）解：旋转后的图形如图所示； 点的坐标为； （3）解：由题可得， ， 点B经过的路径长为． 【融会贯通】 1．在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的面积； (2)如图2 ，当时，求的值； (3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ； 【答案】(1)的面积为 (2)的值为 (3) 【分析】（1）如图所示，过点作，根据含角的直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据三角形的面积的计算方法即可求解； （2）如图所示，过点作于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合矩形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的值，在中，运用勾股定理即可求解； （3）根据题意，可得点运动的路径是以点为圆，以为半径的圆（不包括起点和终点），当最大时，面积最大，可得当与点重合时，最大，由此即可求解的面积，再根据弧长公式即可求解点运动路径． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵旋转，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积为； （2）解：如图所示，过点作于点 根据旋转，可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的值为； （3）解：如图所示，线段绕点顺时针旋转得到线段，则点运动的路径是以点为圆心，以为半径的圆（不包含起点和终点），设点运动路径与交于点，过点作于点， 由（1）的计算方法可得，，其中的大小不变， ∴当最大时，的面积最大， ∴当点与点重合时，最大，且最大值为， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆的基础知识，弧长的计算方法，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析是解题的关键． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【详解】（1）解：如图，为所求；点的坐标为， （2）如图，为所求；， （3）， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 3．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，． (1)如图（1）求水深； (2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； (3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 【答案】(1) (2) (3)圆心运动的路径长为的长度 【分析】本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案； （2）连接，过点作，与的延长线相较于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为的长度，求出弧对的圆心角带入公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 半圆与相切于点P， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ； （2）如图，连接，过点作，与的延长线相较于点， ， ， 在和中， ， ， 由（1）知，， ，， ， 在中，由勾股定理可得； （3）如图所示： 由（1）可知，， 在中，， ， ， 由题意可得，圆心运动的路径长为的长度． 类型二、二次函数与圆 【解惑】如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【融会贯通】 1．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)四边形不能是一个菱形．理由见解析 (3)长的取值范围为或或 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 2．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式和b的值． (2)在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)，； (2)不存在．理由见解析 (3)1 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据△，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， ， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ， 二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ，，， ，，， 点在二次函数位于轴上方的图象上，且， ， 整理得：， ， 方程无实数根， 不存在符合条件的点； （3）如图，设交轴于点， ，， ， 点与点关于原点对称， ， ， ， ， 为圆的直径， ， 平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在和中， ，， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ，， ， 综上所述，的值为1． 【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 3．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 类型三、坐标与旋转规律 【解惑】如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的，并直接写出、的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转所得的，并直接写出、的坐标； (3)可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析，、； (2)作图见解析，、； (3)G(-2，-2)． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A， B， C的对应点A1， B1， Ci即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A， B， C的对应点A2， B2， C2即可； （3）利用旋转变换的性质求解即可． 【详解】（1）解∶如图1，△A1BlC1即为所求作的三角形，由图可知、； （2）解：如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，由图可知、； （3）解：设G(x0，y0)， ∵可由绕点G旋转得到，、，、， ∴， 化简得， 解得， ∴G(-2，-2)， 故答案为：G(-2，-2)． 【点睛】本题考查旋转变换， 平移变换，求解二元一次方程组等知识，掌握旋转变换，平移变换的性质是解题的关键． 2．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 3．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标； （2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标． 【答案】（1），；（2）， 【分析】(1)据图形，A4的横坐标是A3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B4横坐标是B3的2倍，纵坐标是0； (2)由（1）知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出An、Bn的坐标． 【详解】（1），它们的纵坐标都是3， 而横坐标依次为． 因此，，即 ，它们的纵坐标都是0， 而横坐标依次是， 因此，，即； （2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1． 所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）． 故答案分别为，． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数幂是解题的关键. 类型四、秦九韶——海伦公式 【解惑】阅读材料，回答问题： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下： 如图，在锐角三角形中，，，． 求证：，其中． 证明：如图，过点A作于点D，则 设，，则① ∴② 解得 ∴ ∵ ∴ ③ ∴． 中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式． (1)补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容； (2)若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积； (3)在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据过程结合图形完善即可； （2）将，，代入公式计算即可； （3）利用三角形面积公式分别计算出，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点D，则 设，，则 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ ∴． 故：①，②，③； （2）解：，， ； （3）解： ， ． 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． (1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； (2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键． （1）根据公式先求出，再求出即可； （2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的面积是； （2）解：，即， ， ． 2．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）    (1)如图1，在中，，，． ①求的面积； ②设边上的高为，边上的高为，求的值． (2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用． 【答案】(1)①；② (2)元 【分析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键． （1）①根据题意先求p，由海伦－秦九韶公式计算三角形面积即可； ②由①分别利用三角形面积公式求出再求和即可； （2）连，过点A作于点F，分别求出， 利用面积公式求出和四边形的面积，再利用由海伦－秦九韶公式求出的面积，最后计算购买花卉的总费用即可． 【详解】（1）①解：由已知，，，， ， ∴ ； ②∵， ∴， ∴解得，， ∴； （2）连，过点A作于点F，    ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由海伦－秦九韶公式，得 ， ∴ ； ∴植红色花卉的面积为： ， ∴四边形的面积为： ， ∴种植红色花卉的面积为： ， ∴购买花卉的总费用 ， ∴出购买花卉的总费用． 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为. 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 . (1)在中，，，，利用上面公式求的面积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键． （1）根据海伦公式计算三角形的面积即可； （2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果． 【详解】（1）解：，，， ， 的面积； 故答案为：； （2）证明：， ． 类型五、圆的平移 【解惑】【学习材料】 求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：． 【类比思考】 若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为______； 若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为______． 【拓展应用】 已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式； 若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为______． 【答案】【类比思考】①；②；【拓展应用】①；②． 【分析】（1）【类比思考】和均按照【学习材料】中的方法取点平移，利用待定系数法求解析式解答即可； （2）【拓展应用】直线上的点关于轴对称点的坐标为，故将坐标代入整理即可；设直线的解析式为，点和在直线上，代入得到和直线与轴交点坐标为，可利用勾股定理求得即可求得a． 【详解】解：【类比思考】根据【学习材料】中的方法： 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向左平移个单位长度，得到点和，则直线就是直线向左平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入， 得到，解得． 直线的解析式为． 故答案为：． 根据【学习材料】中的方法： 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度，得到点和；再将点和向下平移个单位长度，得到点和，则直线就是所要求的直线． 第三步，设直线的解析式为，将和代入， 得到，解得． 直线的解析式为． 故答案为：． 【拓展应用】①设直线上的点的坐标为x,y，它们对应的关于x轴对称点的坐标为x,-y， ∴直线关于x轴对称的直线为，即． ②设直线m的解析式为． ∵的图象绕点逆时针旋转90°后得到直线m， ∴点在直线m上． 将代入， 得． 当时，， ∴与y轴交点坐标为． 由几何关系，利用勾股定理， 得，解得． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、平移的性质、轴对称的性质以及旋转的性质，理解并掌握一次函数的性质与几何变换的规律是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，所在圆的圆心为，，将向右平移5个单位，得到（点平移后的对应点为）． (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________． (2)在图中画出，求的长． 【答案】(1)， (2)图见详解， 【分析】本题考查平移作图，弧长的计算． （1）过点作于，连接，分别求出即可； （2）用尺规作图画出，再根据题意计算的长即可． 【详解】（1）解：过点作于，连接 ,所在圆的圆心为, ， 点的坐标是, 所在圆的圆心为， 所在圆的圆心坐标是 故答案为：，； （2）如图，即为所求， 由平移的性质知且 的长为． 2．综合与实践： 问题情境 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到和，点是对角线的中点，操作探究； (1)图1中的沿方向平移，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为与交于点与交于点，得到图2，则四边形的形状是什么形状？ (2)“探究小组”的同学将图1中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到，点的对应点为与交于点，连接交于点，得到图3，他们认为四边形是菱形，“探究小组”的发现是否正确？请你说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)正确，理由见详解 【分析】（1）利用平移的性质直接得出结论； （2）先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形是平行四边形，再判断出即可得出结论； 【详解】（1）解： 是平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为平行四边形； （2）解：正确，理由如下 四边形为正方形，， 将以点为旋转中心，顺时针旋转后，点落在上，点落在的延长线上． ，， ． ，， ． 四边形是平行四边形． ，， ， 又，， ， 四边形菱形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是利用平移的性质，解（2）的关键是判断出四边形是平行四边形． 3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 类型六、圆的折叠 【解惑】现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是． (1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长． 【答案】(1)直角 (2)四边形是菱形，理由见解析；菱形的边长为 【分析】（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是，即可得出结论； （2）根据折叠的性质，得到是的中垂线，进而得到，根据圆中半径相等，得到，即可得到四边形是菱形，根据直径是，求出边长即可． 【详解】（1）解:∵是的直径， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）四边形是菱形， 理由：如图：连接， 由折叠得： ， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵直径的长是， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，菱形的判定．熟练掌握圆周角定理和折叠的性质，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：； (2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，根据圆周角定理可知，，可得，继而得到，即； （2）证明是等边三角形，可知所对圆心角为，利用弧长公式可求的长． 【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴所对圆心角为， ∴的长为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本题的关键． 2．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； (2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值； （2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：如图1，作交于，交于，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的长为． （2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为 由题意知，由折叠和中点的性质可知， 在中，由勾股定理得，即 解得：，（不合题意，舍去） ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．有一张矩形纸片ABCD中，其中AB=2cm，AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（2）所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？ 【答案】半圆露在外面的面积是-． 【分析】由图可得，∠DA′C=30°，∠FOD=120°，可得S阴影=S扇形-S△OFD，过O作OM⊥DF，因为OF=2，OM=1，DF=2MF=2，求得S扇形，S△OFD即可． 【详解】解：连接OF， 根据原题的图（2）可知 ∵DE是折痕， ∴AD=A′D=4，CD=AB=2，∠C=90°． ∴∠DA′C=30°． ∵AD∥BC，∠DA′C=30°， ∴∠ODA′=30°， 又∵OD=OF， ∴∠OFD=30°． 即∠FOD=180°-60°=120°． ∴S阴影=S扇形-S△OFD． 过O作OM⊥DF， 因为OF=2，OM=1，DF=2MF=2， ∴S△OFD=×DF×OM=×2×1=． ∴S扇形OFD=． ∴S阴=-． 【点睛】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键． 类型七、圆的旋转 【解惑】旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． (1)【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边上的点，若，则有怎样的数量关系？为什么？ (2)【类比探究】如图2，P为正方形内一点，，，，则______； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，，证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，将绕点顺时针旋转，得到，可证明，得，因为，所以； （2）由正方形的性质得，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，所以，，由，根据勾股定理的逆定理得，则，由此得解； （3）以为一边在的右侧作等边三角形，连接，，由，证明是等边三角形，则，，所以，即可证明，由，求得，则，而，所以． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1， 四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转，得到，则，，， ， ， 三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， . （2）解：如图2， 四边形是正方形， ， 将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ． （3）证明：如图3，以为一边在的右侧作等边三角形，连接，， 则，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的判定和性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．    【问题解决】： (1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见详解；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示：    则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， （3）解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 2．如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧长公式． （1）根据旋转的性质和圆内接四边形对角互补的性质，得到即可证明结论成立； （2）连接，．利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ． 绕点旋转得到， ， ， 点，，三点共线； （2）解：如图，连接，． 绕点旋转得， ，， ． 的半径为5， ． ， ． 3．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ (2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； (3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② (3)的值为定值26 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）①令相交于点O，连接，根据全等得出，根据三角形的内角和定理，即可得出结论；②易得，根据的面积推出，即可求解； （3）根据勾股定理可得，，即可推出，即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①令相交于点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴的面积 ． （3）解：∵正方形边长分别为3，2， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为定值26． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 类型八、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． （1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取连接，，和，可证明 得到则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图,在上截取连接，，和， 是的中点， 在和中， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 【融会贯通】 1．综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． (1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3)的长为或． 【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解； （2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，即， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， 证明：在上截取，连接、、、，如图3，    是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即； （3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，    是圆的直径， ， ，圆的半径为10， ， ， ， ， ， ， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 2．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取点E，使，点F是上的一点，且 连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， ∵于点D，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴ （依据1），． ∵ 四边形内接于， ∴ ．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为_________，依据2为_________； (2)将上述证明过程补充完整． 【答案】(1)依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等；依据2为圆内接四边形的对角互补 (2)证明见解析 【分析】（1）利用弧弦关系定理和圆内接四边形的性质解答即可； （2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等， 依据2为圆内接四边形的对角互补． 故答案为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补； （2）如图2，连接， ∵于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ① 又② 又 即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 【答案】[问题呈现]①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；[理解运用]1；[变式探究]；[实践应用] 或． 【分析】[问题呈现]：根据圆的性质即可求解； [理解运用]，即，即，解得：，即可求解； [变式探究]证明，则，，又，则，即可求解； [实践应用]已知，过点作于点，则，所以．如图，同理易得． 【详解】[问题呈现] 由证明过程可知， （相等的弧所对的弦相等）； （同弧所对的圆周角相等）； 故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等； [理解运用]， 即， 即， 解得：， ， 故答案为：1； [变式探究]． 证明：在上截去，连接、、、， 是弧的中点， ，． 又 ， 又， ， ， 即， 故答案为：； [实践应用] 是圆的直径， ． 因为，圆的半径为5，所以． 已知， 过点作于点， 则， 所以． 所以． 如图，同理易得． 所以的长为或． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 类型九、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系xOy中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图1，若点M在坐标原点，点． ①点的“对应点”Q的坐标为 ； ②若点P的“对应点”Q的坐标为，则点P的坐标为 ； (2)如图2，已知的半径为1，M是上一点点，，若为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．①当点在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）； ②当点M在上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 ．（用含m的式子表示） 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①根据点，得，设，根据题意，得，求得，解答即可； ②设，根据Q的坐标为，得，求得，解答即可； （2）①根据题意，作出点，过点M作轴，与过点P垂直x轴的直线交于点B，过点作于点A，交x轴于点C，过点M作轴于点D，根据定义，三角形全等解答即可． ②根据题意，构造出点Q的运动轨迹为圆，，根据圆的最值性质解答即可． 【详解】（1）解：①根据点，得， 设，根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． ②设，根据Q的坐标为，得， 解得， 故， 根据题意，得 故答案为：． （2）解：①根据题意，作出点，过点M作轴，与过点P垂直x轴的直线交于点B，过点作于点A，交x轴于点C，过点M作轴于点D， 则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵，， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． ②解：∵ ∴， ∴ ， ∵的半径为1，M是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在圆心为，半径为的圆上， ∵点， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，中点坐标公式，圆的性质，熟练掌握全等，圆的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ② ③轴对称；旋转 (2) (3) 【分析】（1）①根据变换的定义即可作答； ②采用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；③根据轴对称的坐标特点和②中的结果即可作答； （2）先判断直线上的点均是进行轴对称变换，再设上有一点，则可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题得解； （3）设点坐标为，且，可得，根据（3）中的计算，可知在，点是进行旋转变换，再根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知，即可得是等腰直角三角形，则有，，则问题即可得解． 【详解】（1）解：①， 的变换点的坐标为； ②， 点的变换点坐标为， ， ，，， ， 是直角三角形， ； ③当变为， 可知与关于轴对称， 与是轴对称变换； 当变为， 根据②，可知与夹角， 与是旋转变换； 故答案为：①；②；③轴对称，旋转； （2）解：直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 直线上的点均是进行轴对称变换， 设上有一点， 则可知是直线上的点变换而来的， 将代入中，有， 在上，且满足， 的解析式为， 即：的解析式为； （3）解：根据点在直线上，故设点坐标为，且， 则有， 整理，得：， ， 根据（3）中的计算，可知当时，点是进行旋转变换， 可知在，点是进行旋转变换， 如图， 根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 即当时，有最小值，最小为， 当时，有最大值，最小为40， ， ， 即取值范围为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及轴对称和旋转的对称坐标特点与性质、勾股定理及其逆定理的应用、图象的变换、二次函数的最值等知识，属于中考压轴题．确定不同的自变量范围进行不同的图形变换是解答本题的关键． 2．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 3．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． (1)线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． (2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点F的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解； （2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①如图： 点的坐标为，点坐标为 故答案为：； ②当时，如图，， 故答案为：； （2）①作轴于，轴于则，则 点关于点的“垂直图形”为 ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为 ②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分， 当点在第一象限的上，取得最大值，则 ， 解得： 的最大值为 当与原点重合时，取得最小值，此时 的最小值为 综上所述，的取值范围为 【点睛】本题考查了垂直图形的定义，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换、勾股定理，两点距离公式等知识，理解题意并作出相应辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 类型十、圆中的无刻度尺作图 【解惑】如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、，则与的交点，即为点O； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O． 【详解】（1）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴O为圆的半径． （2）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，， ∴为的直径， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点O在圆的直径上， ∵为圆的直径， ∴O为圆心． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，垂直平分线的判定，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【融会贯通】 1．按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O； (2)如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图和尺规作图．熟练掌握全等三角形性质，线段垂直平分线性质，是解题的关键． （1）根据，，共用，可知，，得到是直径，点O即为圆心； （2）根据，，得到垂直平分，点N为中点，根据是平行四边形的对角线，得到点Q是的中点，即得M是的重心． 【详解】（1）解：取点D，使，连接，交于点O，点O即为所求作； （2）分别以点A，B为圆心，以大于长为半径在点D的异侧画弧，两弧交于点P，作射线，连接交于点M，点M即为所求作． 2．如图，点在上，点在内，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中作弦，使； (2)在图2中作矩形，使矩形的面积是面积的8倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用： （1）通过延长交于点，延长交于点，连接，即可完成作图任务； （2）通过延长交于点，延长交于点，连接并延长，交于点，依次连接，即可完成作图任务 【详解】（1）解：如图，即为所作；    理由如下： ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，矩形即为所作；    理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴四边形是矩形，且 3．如图，在方格纸中，点A、B是方格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作的线用实线，并加粗加黑，重要的点请重点标出）． (1)在图1中，画出线段绕点P按顺时针方向旋转所得到的线段； (2)在图2中画出线段的中点O； (3)将向右平移5格，得到线段． ①点D到的距离为 ； ②在图3中，作矩形，使得点E、F分别在上； ③在图4中，在上找一点P，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析；③见解析 【分析】（1）只需先画出点A、B绕点P顺时针旋转后的点即可； （2）如图四边形为矩形，则对角线与互相平分，故交点O即为的中点； （3）①分别以和作为平行四边形的底计算面积即可得到点D到的距离； ②按照（2）的方法分别找到和的中点，连接，通过计算可知，故三角形与三角形均为等腰三角形，则，即可得到四边形为矩形； ③如图，在中，由勾股定理可得，则，所以，因为，所以，可得，故平分． 【详解】（1） 解：线段如图所示； （2） 解：中点O如图所示； （3） 解：①∵将向右平移5格，得到线段， ∴四边形为平行四边形， 设D到的距离为h，， 则， ∴， 故答案为：； ②矩形如图所示， ③点P的位置如图所示， 【点睛】本题考查无刻度直尺作图—格点作图，旋转作图，平移的性质，以及利用矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识作图，熟练掌握几何知识分析作图方法是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由旋转性质可得，，又四边形是正方形， 则，再由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， 将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形， 再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∴点， 故选：A． 4．已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径． 【详解】解：设最小距离为m，最大距离为n， 由根与系数的关系得， 是内一点， 点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径， 即圆的直径是12，圆的半径是 故答案为：6 5．如图，四边形 是正方形，其中，…依次连接，它们的圆心依次按 A、B 、C、D循环．当时，曲线的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式应用，根据题意得出扇形半径是解题关键．首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式求出即可． 【详解】解：根据题意可得出：，，，， ∴曲线的长度为： ． 故答案为：． 6．如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于，构造直角三角形，利用勾股定理即可． 【详解】解：如图（2），过点作交的延长线于，由翻折得 ∵． ， ． ． ． ． 是矩形， ，， ． ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用． 7．（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形判定和性质、勾股定理等知识， （1）把绕点A顺时针旋转至，使与重合，再证明，进而得到，即可得； （2）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知，得到，得到，证，利用得到； （3）将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G，同上的方法证得，再证明即可求解； 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， 把绕点A顺时针旋转至，使与重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、B、P共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：（2），证明如下： ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 解：（3）仍然成立，理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 8．已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，，若，求证：平分； (2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理证出，则可得出结论； （2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∴， ， 即平分； （2）解：延长交于M，延长交于N，    ∵，， ， ∵是的直径， ， ，， ∴，， 四边形是平行四边形，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 9．综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，连接对应点，和，，延长交于点． (1)如图1，当点落在边上时，证明：； (2)如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而证明，结合易得，即为等腰三角形，再证明，即可证明结论； （2）过点作交的延长线于点，连接，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论； （3）连接，由旋转的性质可得，，，，结合，证明，设，，则，，，证明，易得，由直角三角的性质和等腰三角形的性质可得，，然后在中，由勾股定理可得，代入数值并求得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：根据题意，把绕点逆时针旋转适当的角度得到， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如下图，过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∵由旋转可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3）连接，如下图， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， 则，，，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由（2）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，可有， 即，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识并综合运用是解题关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，点在轴上，连接且，求线段的长； (3)连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，由旋转可得，，过点作轴于点，设交轴于点，证明，得到，，进而求出，在中，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由题意得：，求出抛物线的对称轴为直线，由点与点关于直线对称，得到，分两种情况讨论：当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；根据全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）当时，即点的横坐标为， 当时，， ， 将线段绕点顺时针旋转得线段， 则，， 如图，过点作轴于点，设交轴于点， 则， 轴， ， ，， ， ， ，， ， 在中，， ，轴轴，即，且和均为锐角， ， ， ， ； （3）由题意得：， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于直线对称， ， 当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图2， 则，，， 由旋转得：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 解得：； 当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图3， 则，，， 由旋转得：，，， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$