专题03 圆的基本性质（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的定义与性质 【解惑】下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【融会贯通】 1．下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 3．如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 类型二、点与圆的位置关系 【解惑】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【融会贯通】 1．的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 2．在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 3．若的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3，那么点A与的位置关系是：点A在 ．（填“上”、“内”、“外”） 类型三、生活中的旋转现象 【解惑】下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【融会贯通】 1．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 3．我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 类型四、垂径定理 【解惑】如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【融会贯通】 1．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 3．刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ． 类型五、弧、弦、圆心角的关系 【解惑】如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是直径，，，的度数是 ． 3．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是 ．    类型六、三角形的外接圆 【解惑】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【融会贯通】 1．如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 3．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 类型七、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，A是上的点．若，则（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的半径，连接，过点作交于点，连结，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为 ． 3．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 类型八、圆内接四边形 【解惑】在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【融会贯通】 1．如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    3．如图所示，在以为圆心，为直径的半圆上有，两个不同的点，点在上，且，如果弧，则弧的度数是 ． 类型九、正多边形与圆 【解惑】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 2．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 3．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，大正方形边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 类型十、弧长及扇形面积 【解惑】如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的半径等6，相交于点E，且，连接则图中的阴影部分面积为（    ）. A． B． C． D． 2．已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 3．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【一览众山小】 1．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（    ）． A． B． C． 2．如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形是的内接四边形，延长到点E ，则与的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 5．如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ． 6．如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ． 7．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 8．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 9．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心； (2)点的坐标为 ． 10．问题 （1）如图1，在中，，D为上一点（不与端点重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．证明：． 探索 （2）如图2，和中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探之间的数量关系，并证明你的结论． 应用 （3）如图3，在四边形中，，若，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的定义与性质 【解惑】下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，同角或等角的余角相等，点到直线的距离，正多边形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①不符合题意； 同角或等角的余角相等，故②符合题意； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③不符合题意； 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦，故④不符合题意； 所有边的长度都相等，所有角都相等的多边形叫做正多边形，故⑤不符合题意； 即：正确的有②，共1个， 故选：A． 2．如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法是解题的关键．根据题意可证四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：点，，在上 四边形是平行四边形 四边形是菱形 如图，连接，过点作交于点 则 为等边三角形 四边形的面积为： 故答案为：． 3．如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了圆的认识，熟练掌握掌握圆的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，，然后计算即可． 【详解】如图，连接， ， ， ， ， ． 故答案为． 类型二、点与圆的位置关系 【解惑】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出，从而即可得出答案，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 【融会贯通】 1．的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在圆外， 故选：C． 2．在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点在圆外， 故答案为：圆外． 3．若的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3，那么点A与的位置关系是：点A在 ．（填“上”、“内”、“外”） 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握相关知识点．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为5，点A到圆心O的距离为3， 即点A到圆心O的距离小于圆的半径， 点A在内． 故答案为：内． 类型三、生活中的旋转现象 【解惑】下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可 【详解】解：A. 摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 气球升空的运动,，属于平移，故符合题意； D. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：C 【融会贯通】 1．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 2．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 3．我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】根据平移的定义，旋转的定义判断即可． 【详解】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动， 故答案为②④⑥. 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，生活中的旋转现象，熟练掌握平移的定义，旋转的定义是解题的关键． 类型四、垂径定理 【解惑】如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：设的半径为r， ，， ， 为直径， ， 是的中点， ， 在中， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴ 故答案为：． 3．刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 设圆心为O，连接，，，交于点F，证明四边形是矩形，得是切线，在求出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F． ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 设，则有， ， 故答案为：10． 类型五、弧、弦、圆心角的关系 【解惑】如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 2．如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 【详解】连接、，    ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确， 故答案为：． 类型六、三角形的外接圆 【解惑】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可． 【详解】解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 3．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】连接，由点O是的外心，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵O是的外心，， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 类型七、圆周角定理 【解惑】如图，是的直径，A是上的点．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是的半径，连接，过点作交于点，连结，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到，再由平行线性质确定，最后由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：，， 由等腰三角形性质可得， ， ， ， 由圆周角定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线性质及圆周角定理等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 2．如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形两锐角互余的性质计算即可． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 3．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系； （1）连接证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】如图1，连接   是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ． （2）如图2，延长交于点，连接，则是的中位线，   ． 在中，， 由勾股定理得 ． ∵是的直径， ∴ ． 类型八、圆内接四边形 【解惑】在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 【详解】解：如图： 一弦所对的圆心角为，即， ∴ ∴ 该弦所对的圆周角为或， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键． 根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解． 【详解】解：均是上的点， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图所示，在以为圆心，为直径的半圆上有，两个不同的点，点在上，且，如果弧，则弧的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的判定与性质，等边对等角，解题的关键是作出辅助线．连接，可求得，再由，可证得点A、C、P、B四点共圆，可得，可求得，，据此即可求得． 【详解】解：如图：连接， 弧， ， ， 点A、C、P、B四点共圆， ， ， ， ， ， ， 弧的度数为； 故答案为：． 类型九、正多边形与圆 【解惑】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积，先根据含直角三角形的性质求出，进而求出正十二边形的面积，即圆的面积，再根据圆的面积公式可得答案． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，过A作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3. 故选：B． 2．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，大正方形边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，根据正多边形和圆、正方形的性质求出圆的半径和小正方形的边长，再根据，进行计算即可，掌握正方形的性质、勾股定理以及正多边形和圆的性质是解题的关键． 【解答】解：∵是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆， ∴的半径为，小正方形的边长为， ∴， ＝， 故答案为：． 类型十、弧长及扇形面积 【解惑】如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定是等边三角形，推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由弧长公式即可求出；本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，弧长的计算，关键是判定是等边三角形，掌握弧长公式． 【详解】解：连接 ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴ ∴的长 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，的半径等6，相交于点E，且，连接则图中的阴影部分面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可求，根据圆周角定理，最后根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 记的度数分别为， 则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键． 2．已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 3．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质．由矩形的性质可得：，因为，可得三角形是等边三角形，可得，然后计算扇形的面积和等边三角形的面积，两部分面积相减即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【一览众山小】 1．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（    ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，即可解答．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，将小旗绕点逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是 故选：B． 2．如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．如图，四边形是的内接四边形，延长到点E ，则与的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，以及同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵延长到点E ， ∴， ∴； 故选A． 4．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质得到，则． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点F是弧的中点是解题关键．连接，设交于点D，先求出，再求出，，再利用三角形外角定理即可求解． 【详解】 连接，设交于点D ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴点F是弧的中点， ∴ ∴， 是的外角 故答案为． 6．如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是利用两个直角三角形表达出同一条边列出方程解答即可．连接相交于点，在和中，表示出的长度，列方程求解即可． 【详解】解：连接相交于点， ，， 为，的共同弦， ， 设，则， 在中， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 或（舍去） ． 故答案为：． 7．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【答案】(1)旋转中心为C点 (2)逆时针；旋转角度为 (3) 【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质： （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可； （3）根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：旋转中心为C点； （2）解：由图可知：绕点C点逆时针旋转，可以得到； ∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为； （3）解：∵旋转， ∴． 8．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心； (2)点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据点M的位置写出坐标即可． 【详解】（1）如图，点M即为所求， （2）如图所示，则圆心为， 故答案为：． 10．问题 （1）如图1，在中，，D为上一点（不与端点重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．证明：． 探索 （2）如图2，和中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探之间的数量关系，并证明你的结论． 应用 （3）如图3，在四边形中，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为4 【分析】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意推出即可求证； （2）连接，由（1）可得，进而得，，可推出，；结合即可求证； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．可证，根据求出即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）解：；连接，如图所示： 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． 则是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$