模块综合测评（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

模块综合测评 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　) A．± B．±2 C． D．－2 答案　D 解析　因为＝q3＝－8，故q＝－2.故选D项． 2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案　D 解析　因为f′(x)＝2f′(1)＋2x，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，即f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＝－4.故选D项． 3．在等差数列{an}中，a1＝1，且a2－a1，a3－a1，a4＋a1成等比数列，则a5＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d，由a2－a1，a3－a1，a4＋a1成等比数列，得(a3－a1)2＝(a2－a1)(a4＋a1)，即(2d)2＝d·(2＋3d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9.故选C项． 4．设函数f(x)＝2x3＋(a＋1)x2＋2ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 答案　A 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以a＋1＝0，解得a＝－1，所以f(x)＝2x3－2x，f′(x)＝6x2－2，所以f′(0)＝－2，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝－2x.故选A项． 5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯(　　) A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏 答案　C 解析　设最顶层有x盏灯，则最下面一层有(x＋8n)盏，所以x＋8n＝13x，所以x＝n，所以x＋(x＋n)＋(x＋2n)＋(x＋3n)＋…＋(x＋8n)＝126，即9x＋(1＋2＋3＋…＋8)n＝126，即9x＋36n＝126，解得n＝3，x＝3×＝2(盏)，所以最下面一层有灯13×2＝26(盏)．故选C项． 6．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－，＋∞) 答案　B 解析　由题意得导函数f′(x)＝ex(sin x＋a)＋excos x＝ex.因为f(x)在上单调递增，所以f′(x)≥0在上恒成立．又ex＞0，所以sin＋a≥0在上恒成立．当x∈时，x＋∈，所以sin∈.所以sin＋a∈(－1＋a，＋a]，所以－1＋a≥0，解得a≥1.故选B项． 7．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(　　) A．15 B．35 C．66 D．100 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝12－4×1＋2＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5，所以an＝|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0，则2n－5>0，所以n≥3.所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.故选C项． 8．若函数f(x)＝x2－2x＋aln x有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{1} C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{1} 答案　C 解析　函数f(x)＝x2－2x＋aln x有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，f′(x)＝x－2＋＝0变形为－a＝x2－2x(x＞0)．画出y＝x2－2x(x＞0)，y＝－a的图象，使得两个函数图象有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故－a≥0或－a＝－1，即a≤0或a＝1.因为a＝1时，f′(x)＝≥0不符合题意，所以a≤0.故选C项． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 答案　ABD 解析　由题图可知，f(x)在区间上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D项正确，C项错误．故选ABD项． 10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 答案　AC 解析　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C项正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A项正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B项错误；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D项错误．故选AC项． 11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中正确的是(　　) A．∃x∈R，f(x)＝0 B．若f(x)有极大值M，极小值m，则必有M＞m C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减 D．若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点 答案　ABC 解析　因为当x→＋∞时，f(x)→－∞，当x→－∞时，f(x)→＋∞，由零点存在性定理知∃x∈R，f(x)＝0，故A项正确；因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，若f(x)有极大值M，极小值m，则f′(x)＝0有两根x1，x2，不妨设x1＜x2，易得f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，所以f(x2)＝M＞f(x1)＝m，故B，C项正确；导数为0的点不一定是极值点，故D项错误．故选ABC项． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________. 解析　因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25. 答案　25 13．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，则a2＝________，Sn＝________. 解析　Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，令n＝1，则a2＝2a1(a1＋a2)，所以a2＝－2(－1＋a2)，解得a2＝.又由Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1，整理得－＝2(常数)，即－＝－2(常数)，故数列是以＝＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以＝－1－2(n－1)＝1－2n，故Sn＝. 答案　　 14．设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)＞f(x)(x∈R)，f(2)＝e2(e为自然对数的底数)，则不等式f(x)＜ex的解集为________. 解析　构造F(x)＝，所以F′(x)＝＝.由于f′(x)＞f(x)，故F′(x)＞0，即F(x)在R上单调递增．又f(2)＝e2，故F(2)＝＝1，由不等式f(x)＜ex，得F(x)＝＜1＝F(2)，即x＜2.故不等式f(x)＜ex的解集为(－∞，2)． 答案　(－∞，2) 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn. 解析　(1)设q(q>0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n. (2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2. 16．(15分)已知函数f(x)＝ln x＋x2. (1)求h(x)＝f(x)－3x的极值； (2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　(1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝ln x＋x2－3x，所以h′(x)＝(x＞0)， 令h′(x)＝＝0，可得x＝或x＝1， 则当x∈∪(1，＋∞)时，h′(x)＞0，当x∈时，h′(x)＜0， 所以h(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减， 则h(x)极小值＝h(1)＝－2，h(x)极大值＝h＝－－ln 2. (2)g(x)＝f(x)－ax＝ln x＋x2－ax， 则g′(x)＝＋2x－a(x＞0)， 由题意可知g′(x)≥0(x＞0)恒成立，即a≤min， 因为x＞0时，2x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立， 所以min＝2， 所以a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]． 17．(15分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m m，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)万元/m.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数解析式； (2)当m＝640时，需要建多少个桥墩才能使y最小？ 解析　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1， 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256·＋(2＋)x＝＋m＋2m－256(x>0)． (2)由(1)知f(x)＝＋m＋2m－256， 所以f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内单调递减； 当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内单调递增． 所以f(x)在x＝64处取得最小值， 此时n＝－1＝－1＝9. 故需要建9个桥墩才能使y最小． 18．(17分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 解析　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由得 所以{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1. 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， 所以1＋(14－1)·d＝27，解得d＝2. 所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)． (2)设数列{cn}的前n项和为Sn. 因为cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， 所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1 ＝2(1＋2＋…＋n－1＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2＋. 故数列{cn}的前n项和为n2＋. 19．(17分)已知函数f(x)＝ln. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)＞2； (3)设实数k使得f(x)＞k对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值． 解析　(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)， 所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2. 又因为f(0)＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. (2)证明：令g(x)＝f(x)－2， 则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝. 因为0<x<1，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(0,1)上单调递增． 所以g(x)>g(0)＝0，即当x∈(0,1)时，f(x)>2. (3)令h(x)＝f(x)－k，x∈(0,1)， 则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝. ①当k≤2时，kx4－k＋2≥0，所以h′(x)≥0， 所以h(x)在(0,1)上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝0， 所以f(x)>k对x∈(0,1)恒成立． ②当k>2,0<x< 时，h′(x)<0， 因此h(x)在区间上单调递减， 故当0<x< 时，h(x)<h(0)＝0， 即f(x)<k， 所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0，1)恒成立． 综上可知，k的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$