4.2.2 等差数列前n项和（第2课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第2课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； 通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； 通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 目录 CATALOG 01.等差数列的前n项和公式的变形应用 03.应用新知 02.等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 01 等差数列的前n项和公式的变形应用 导入新知1：生活情境——共享单车阶梯停放区 情境描述：阳光小区建阶梯式停车区：第 1 排 20 位，每排多 5 位，共 15 排。各排车位 20,25,30,…,90 构成等差数列。 思考：15 排总共能停多少辆？这要用哪个公式、已知哪些量？ 追问：如果问“修多少排能停 1000 辆”，又该怎么处理？ 导入新知2：生活情境——投篮积分何时封顶 某积分活动每天得分成等差，前期递增、后期递减：得分依次为 10,12,14,…,到某天后开始减少。问累计总分何时最大？ 思考：累计和 Sₙ 会不会一直增大？什么时候“加上去反而变小”？ 追问：用通项符号和用二次函数顶点，哪种更通用？二者一致吗？ 引入新知 小明设计了： 阶梯式的共享单车停放区 第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 这就需要用到本节课要学习的等差数列的前n项和公式的应用 引入新知 解 析 建立等差数列模型解决实际问题 牛刀小试 等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、分组（并项）法求和 02 等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 解 析 应用新知 分析 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 例 7 应用新知 思考 应用新知 分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 分析 例 8 引入新知 解 析 应用新知 等差数列前n项和的应用 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步． 实际问题 未知量 回归问题 解方程， 求未知量 方程思想 求解未知量 数列问题 数学建模 建立关于未知量的方程 数列问题已知，未知化 用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量 应用新知 思路1 例 9 应用新知 解法一 例 9 应用新知 思路2 例 9 应用新知 解法二 例 9 应用新知 方法总结 等差数列前n项和的应用 应用新知 方法总结 等差数列前n项和的应用 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 探究 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 探究 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 牛刀小试 求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 牛刀小试 求等差数列前n项和的最值、二次函数法求等差数列前n项和的最值 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 牛刀小试 由Sn求通项公式、两个等差数列的前n项和之比问题 牛刀小试 等差数列的单调性、等差数列前n项和的二次函数特征 03 应用新知 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 解 析 应用新知 分析 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 例 7 应用新知 思考 应用新知 分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 分析 例 8 引入新知 解 析 应用新知 等差数列前n项和的应用 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步． 实际问题 未知量 回归问题 解方程， 求未知量 方程思想 求解未知量 数列问题 数学建模 建立关于未知量的方程 数列问题已知，未知化 用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量 应用新知 思路1 例 9 应用新知 解法一 例 9 应用新知 思路2 例 9 应用新知 解法二 例 9 应用新知 方法总结 等差数列前n项和的应用 应用新知 方法总结 等差数列前n项和的应用 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 探究 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 探究 应用新知 等差数列前n项和公式的函数特征 04 题型强化训练 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 重要题型专练 题型一 片段和性质的应用 解 析 例题 重要题型专练 例题 解析 题型二 “和比”求“项比” 重要题型专练 题型三 等差数列前n项和的单调性与对称性问题 例题 解 析 重要题型专练 题型四 例题 解 析 重要题型专练 解 析 题型四 例题 重要题型专练 方法总结 05 真题感知 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 课堂小结 等差数列前 n项和的 性质与应用 等差数列的前 n项和的应用 等差数列的前 n项和的最值问题 等差数列的前 n项和的性质 含绝对值的 求和问题 通项公式视角： 二次函数视角： 片段和性质： 的性质： 前n项和比值： 也成等差数列， 公差为m2d 数列 是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 两个等差数列 的前n项和分别为 ，则 作业 巩固作业：教科书第24页练习第3题 教科书第25页习题4.2第7,8题 拓展作业：教科书第24页练习第5题 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 课后作业答案 教科书第24页练习第3题 课后作业答案 教科书第24页练习第3题 课后作业答案 教科书第24页习题4.2第7题 课后作业答案 教科书第24页习题4.2第7题 课后作业答案 教科书第24页习题4.2第8题 课后作业答案 教科书第24页习题4.2第5题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 设阶梯式停车从第1排到第15排，各排的停车位数依次排成一列， 构成数列，其前15项和为. 根据题意，数列是一个公差为5的等差数列，且． 由， 因此，修建15排，总共能停放825辆共享单车 【详解】利用等差数列重要性质：，，成等差数列， 则，所以，所以．故C正确． 1.（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则，所以，，，，···，依次为，，，，···，所以，所以． 2.（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 3.（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 4.（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，得，解得. 所以. 所以. 5.（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列的通项公式是，且，则数列的前15项和为（    ） A．81 B．84 C．165 D．168 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220． 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个 关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的 方程组，就可以求得和． 由题意，知，． 把它们代入公式，得， 解方程组，得． 在例7条件下计算,并判断,,能否为等差数列. ∴，， 显然，满足，构成等差数列. 由可得，，， 一般地，分别为等差数列的前项，前项， 前项的和，则成等差数列. 将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 由和，可以证明是递减数列，且存在正整数， 使得当时，，递减． 这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 等差数列的前项和公式可写成， 所以当时， 可以看成二次函数 当时的函数值． 如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口 向下的物物线上的一些点． 因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时， 最大，最大值为30． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. （2）,若,零的二次函数的角度中: 当时,有最小值;当时,有最大值. 当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 已知数列的前项和为，其中，，为常数， 且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 当时， ， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列， 且公差为. 已知数列的前项和为，其中，，为常数， 且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 已知数列的前项和为，其中,,为常数,且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 【详解】，，故，， 所以，当时，最大. 6.（25-26高二下·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 7.（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 8.（25-26高三上·江西南昌·期末）设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则，于是， ，则.故选：A. 9.（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以，， 所以数列为递增数列，故A错，C正确； 又当时，所以当时，单调递减； 当时，，单调递增，故B，D错误. 10. （25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220． 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个 关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的 方程组，就可以求得和． 由题意，知，． 把它们代入公式，得， 解方程组，得． 在例7条件下计算,并判断,,能否为等差数列. ∴，， 显然，满足，构成等差数列. 由可得，，， 一般地，分别为等差数列的前项，前项， 前项的和，则成等差数列. 将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 由和，可以证明是递减数列，且存在正整数， 使得当时，，递减． 这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． 等差数列的前项和公式可写成， 所以当时， 可以看成二次函数 当时的函数值． 如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口 向下的物物线上的一些点． 因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时， 最大，最大值为30． 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否 存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在， 请说明理由． (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. （2）,若,零的二次函数的角度中: 当时,有最小值;当时,有最大值. 当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 已知数列的前项和为，其中，，为常数， 且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 当时， ， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列， 且公差为. 已知数列的前项和为，其中，，为常数， 且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 已知数列的前项和为，其中,,为常数,且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 若等差数列 的前m项的和 为20，前3m项的和 为90， 则它的前2m项的和 为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 ∵在等差数列 中，， ， 也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴ ．故选:C. 等差数列 的前 项和分别为 ，已知 ，则 的值为 . 由等差数列性质可得 ，同理可得 ， 所以 ，由 可得 ；因此 . 在等差数列 中， 是其前n项和，且 ， ， 则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 等差数列的前n项和 是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及 ， ，得 ， 解得 ，所以正整数k为2023．故选：D 等差数列，求数列的前n项和问题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. (1)当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为，数列是等差数列， 理由如下：因为，所以数列是等差数列 (2) 令，解得且， 当时，，可得 当时，，可得 令，解得或（舍去），所以. 等差数列，求数列的前n项和问题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值 之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些 项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 1.（25-26高三上·江苏·开学考试）已知数列的前项和为，首项，若，则（    ） A．10 B．40 C．70 D．100 ，又， ，，，，，是公差为1的等差数列，首项为，，，.故选：D 2.（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 ，由等差数列前项和的性质可知，即， 又，，，，. 3.（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差，所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：，又下层石板总数比中层多729块，所以，即， 化简得：，解得：. 4.（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列.因为，，所以， 所以，，所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得，所以. 3． 已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最大（小） 值?如果存在，求出取得最值时n的值． 解：(方法一)由题意知，，， ， 令，则， 数列的前9项为负项，从第10项起为正项， 存在最小值，此时． 3． 已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最大（小） 值?如果存在，求出取得最值时n的值． 解：(方法二)由题意知，，， ， 对应图象的对称轴为直线， 存在最小值，此时． 7.已知是等差数列的前项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前项和，若，，求． 解：（1）证明：设等差数列的公差为d，则， ，又（常数）， 是等差数列． 7.已知是等差数列的前项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前项和，若，，求． 解：（2）是等差数列，设，则数列是等差数列， 设其公差为，则，，，， ． 8． 已知两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的 公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 解：有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200, 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列, 2,14,26,38,50,…,182是两个数列的相同项．共有个， 也是等差数列，它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472． 5． 已知数列的通项公式为，前项和为．求取得 最小值时的值． 解：令，得或．又， 所以数列满足，，，，…，， ，，…， 取得最小值时． $