专题03 圆的基本性质之最值篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03圆的基本性质之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 ．    3．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    类型二、两动一定 【解惑】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 2．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 3．在矩形中，，，点P、E、F分别是边、、上的动点，且，点M是的中点，点Q是的中点，连接、，则的最小值为 ． 类型三、折叠圆 【解惑】如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F．当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，则的最小值是 ． 3．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      类型四、直角圆 【解惑】如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 3．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 类型五、定角定长 【解惑】如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【融会贯通】 1．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 3．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 类型六、面积最值 【解惑】如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 2．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    3．如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为 ． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（     ）    A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为 ． 3．如图，二次函数的图象与x轴负半轴于点A，与y轴负半轴于点B．点P是线段OA上的动点，以OP为直径构造圆，连结BP交圆于点Q，连结AQ，则AQ的最小值是 ． 类型八、费马距离 【解惑】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【融会贯通】 1．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 2．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 3．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    类型九、其他最小值 【解惑】阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【融会贯通】 1．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 2．在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： (1)在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，则A到边的距离是______． (2)如图2有一张三角形纸片，D在上，且，点E为边上一个动点，将纸片沿折叠，点D的对应点为点，点B的对应点为点，求点到边距离的最小值． (3)如图3，有一矩形纸片，，点Q为边上一个动点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点，连接，连接并延长交于点H，过点E作，交于点F，连接，试求面积的最小值． 3．如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． (4)若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 类型十、其他最大值 【解惑】（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【融会贯通】 1．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长． （1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴　　， ∴， ∴　， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴　　． 【尝试应用】 （2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】 （3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 2．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是外一点，点P在上，的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得，当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接并延长至点B，使得，连结，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：连结并延长至点B，使得，连结．   当点P在直线外时， 证明过程缺失   当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆． （1）请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，连结并延长至点Q，使得，连结，则面积的最大值是______． 3．已知是等腰三角形，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到，连接． (1)如图1，若，恰好平分，证明：． (2)如图2，，，当时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若，，点Q是平面内的一个动点，连接，P点是D点关于的对称点，H点是线段上的一个动点，当的长度取最大值时，直接写出的最大值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03圆的基本性质之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 2．是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 ．    【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，轴对称最短路线问题．连接，延长到，使，连接，，由圆周角定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，由三角形三边关系定理得到，当时，最小，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得到的最小值是2． 【详解】解：连接，延长到，使，连接，，，   是圆的直径， ， 垂直平分， ，， ， ， 当最小时，的和最小，当时，最小， 此时，， ， 的最小值是2， ， 的最小值是2． 故答案为：2． 3．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 类型二、两动一定 【解惑】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出的长，即可得的最小值． 【详解】 ∵是正方形， ，， 又， ， ， 又， ， ， ∴E点在以为直径的圆上运动． 设的中点为O，则 ， 延长至使， 则与F关于直线对称， 连接交于P点，交圆O于E点， 则，， 此时P、E、F三点共线，因此的值最小． 在中，，， ， ， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键． 2．如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先推出点在以中点为圆心，为直径的圆周上，延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点，根据轴对称性质和点与圆周上的点的最短距离确定出的最小值是，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】 解：点是正方形内部的一个动点，且满足，，， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆周上， 延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点， 则，，四边形和四边形都是矩形， ，，， 的最小值是， 在中， ，， 由勾股定理，得，的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题正方形的性质，勾股定理，矩形的判定及性质，点与圆的位置关系，能够发现点的运动轨迹，掌握点与圆的最短距离是解题的关键． 3．在矩形中，，，点P、E、F分别是边、、上的动点，且，点M是的中点，点Q是的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点Q关于的对称点N，连接，交于点P，则，可得，即当点M、P、N三点共线时，的值最小，最小值为，此时点M是在以点C为圆心，以为半径的圆弧上运动，可得圆外一点N到圆上一点M距离的最小值为，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：作点Q关于的对称点N，连接，交于点P，则， ∴， 即当点M、P、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，，点M是的中点， ∴， ∴点M是在以点C为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴圆外一点N到圆上一点M距离的最小值为， 在矩形中，，，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称−最短路线问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，圆的基本性质，得出点M的轨迹是圆是解题的关键． 类型三、折叠圆 【解惑】如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， 由折叠可得，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 2．如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F．当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，圆外一点到圆的最小距离等，当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，画出图形，由勾股定理解，求出的长，再根据，点P为定点，可知点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，连接，与交点即为所求点F． 【详解】解：矩形中，，， ，，． 当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，如下图所示： 设， 由折叠的性质可知：，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，点P为定点， 点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上， 如图，连接，与交点即为所求点F， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      【答案】8 【分析】首先根据题意得到点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，得到当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，    ∵为中点，， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴点在以点M为圆心，以5为半径的圆上， 连接交于点， ∴当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的概念，解题的关键是得出的轨迹是圆． 类型四、直角圆 【解惑】如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为，连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选：C． 2．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理等知识．确定点的运动轨迹是解题的关键． 由，可得，则，即点E在以为直径的半上运动，如图，当点O，E，D三点共线时，取最小值2，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求．则，根据矩形的周长，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 点E在以为直径的半上运动， 如图， ∴当点O，E，D三点共线时，取最小值2， 设，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，． ∴， 矩形的周长， 故答案为：． 3．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 类型五、定角定长 【解惑】如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得出，，求出，根据同弧所对的圆周角相等可知，点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，长度最小，由等边三角形的性质得出，，求出和的长，可得的长，即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 点P的运动轨迹是， 设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，长度最小， 设交于D，如图所示： 此时，， 则，，， ，， 由勾股定理得：，， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质,同弧所对的圆周角相等,三角形内角和定理、勾股定理等知识，作辅助线构建圆是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，如图， 连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 2．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 3．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 类型六、面积最值 【解惑】如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，勾股定理，圆的相关性质，先将逆时针旋转连接，得到，再由隐形圆可得，可求得，由，只需求面积最大即可． 【详解】解：如图，以为中心，将旋转， ∵， ∴与为对应边， 设点对应点为，连接 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴在以为弦，优弧所对圆周角为的圆周上， 设所在圆的圆心为，连接，作于点，交于点 劣弧所对圆周角为， ∴所对圆周角为， ∴，， ∴， ∴， ∴当面积最大时，四边形ABCD面积最小， 作于， 由图可知，在时，取得最大值 ∴最大值为 ∴四边形最小值为 故选A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为与的交点时，点M到 的距离最短为， ∴ △BCM面积的最小值为∶ ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 2．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 3．如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】点N在正方形内部，所以，由可得点M在以中点为圆心，长为半径的圆上，先证明，然后求最大面积即可求出的最小面积． 【详解】∵四边形为正方形，   ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴当面积最大时，面积最小， ∵， ∴点M在以中点为圆心，长为半径的圆上， 当面积最大时，，如图， ∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理及用勾股定理解三角形等知识点，将求的最小面积转化为求最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，由点为中点，取点，连接，根据点到圆的距离的最值问题求得三点共线时取得最小值，进而根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取点，点，连接， 依题意，， ∴， ∵，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动， ∴三点共线时取得最小值， 最小值为， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角相等，中位线的性质，勾股定理，坐标与图形，点到圆的最值问题，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，根据三角形中位线的性质、圆周角定理的推论可得点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上，取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心，从而得出当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，最后根据勾股定理求值即可． 【详解】解：连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，    ∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线 ∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF= ∴∠EFC=180°－∠ACB=90° ∵AC为直径 ∴∠APC=90°，即AP⊥CP ∴EM⊥MF，即∠EMF=90° ∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上 取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心 当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长， ∵等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8， ∴AC=BC== ∴EF==，FC==， ∴OM1=OF== 根据勾股定理可得OC= ∴CM1=OC－OM1= 即CM最小值为 故选C． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理，掌握三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键． 2．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点D在上时，的值最小， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，轨迹，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 3．如图，二次函数的图象与x轴负半轴于点A，与y轴负半轴于点B．点P是线段OA上的动点，以OP为直径构造圆，连结BP交圆于点Q，连结AQ，则AQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】以OB为直径作圆E，连接AE、QE；由∠PQO=90°=∠OQB，可得Q在圆E上，在△AQE中，AQ≥AE-QE，当A、Q、E在一条直线上时，AQ取最小值． 【详解】以OB为直径作圆E，连接AE、QE； ∵y=x2+x-2的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B， ∴A（-2，0），B（0，-2）， ∴E（0，-1）， ∴AE=， ∵PO是直径， ∴∠PQO=90°， ∴∠OQB=90°， ∴Q在圆E上， 在△AQE中，AQ≥AE-QE， ∴当A、Q、E在一条直线上时，AQ取最小值， ∴AQ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，以OB为直径构造圆，确定Q点的运动轨迹是解题关键． 类型八、费马距离 【解惑】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，，勾股定理定理逆定理，得到，进而推出的度数，即可得解； （2）①将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，易得为等边三角形，，推出，得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵将绕顶点A逆时针旋转60°到 ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：150； （2）①由图可知：， ∵， ∴， 将将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又，， ∴， ∴， ∴； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，    则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形和特殊三角形．本题考查半角模型，费马点问题，难度较大，属于压轴题． 【融会贯通】 1．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 3．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析 (2)7 (3) 【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解； （3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 类型九、其他最小值 【解惑】阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)① ②，后面过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析，； (3)的最小值为． 【分析】（1）由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求的长，由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可求解； （2）由旋转的性质知，点与点重合，，，则点在射线上，根据垂线段最短，当时，有最小值，据此可求解； （3）由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，于， ，平分， ， 又．， ，，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图， 由旋转的性质知，点与点重合，，， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， ∵点是边上的中点， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：取的中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： (1)在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，则A到边的距离是______． (2)如图2有一张三角形纸片，D在上，且，点E为边上一个动点，将纸片沿折叠，点D的对应点为点，点B的对应点为点，求点到边距离的最小值． (3)如图3，有一矩形纸片，，点Q为边上一个动点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点，连接，连接并延长交于点H，过点E作，交于点F，连接，试求面积的最小值． 【答案】(1)3 (2)1 (3) 【分析】（1）过点A作，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据垂线段最短，作出图形，根据折叠的性质求解即可； （3）连接， 过点D作的于点G，根据平行线间的距离及三角形面积得出，当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理确定，，结合题意得出点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧，当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为，利用三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， 故答案为：3； （2）∵垂线段最短， ∴当时，点到边距离的最小， 如图所示： 由（1）得， ∵折叠， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为1； （3）连接， 过点D作的于点G． ∵， ∴． ∴． ∴当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小． 由对称可知，． ∴为等腰直角三角形，且． ∴． ∵点C的对应点为点E， ∴， ∴点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧， ∴当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为． ∴面积的最小值为， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，运动轨迹问题及勾股定理解三角形等知识，第三个问题解题的关键是确定点E的运动轨迹，属于中考压轴题． 3．如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． (4)若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3) (4)；4 【分析】（1）①利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； ②首先可得，是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得； （4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度．最小时，最小，即可求得答案． 【详解】（1）解：①在中，， ， ∴点的坐标为； ②证明：∵， ∴轴， ∵轴轴， ∴轴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴， ， 由折叠得， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 则， ∴是等边三角形， ， ， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， ∵是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∴点是的中点， ， ， ∴、、三点在同一条直线上， ， ， 故答案为：； （4）解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则， ∵是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 当线段的长度最小时，最小， ， ∴的最小值为4，此时点落在线段上，， ∴的最小值为4； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键． 类型十、其他最大值 【解惑】（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）的延长线上，；（2）①，理由见解析；②4；（3）最大值为；． 【分析】（1）根据点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； ②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，易证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【详解】（1）解：当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2）解：①，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长的最大值为4， 长的最大值4； （3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为点B的坐标， ， ， 即线段长的最大值为， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【融会贯通】 1．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长． （1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴　　， ∴， ∴　， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴　　． 【尝试应用】 （2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】 （3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据所给思路，结合图形进行求证即可得； （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得 （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当取得最大值时，取得最大值，代入求解即可得． 【详解】解：（1）如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，    ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，    ∴，，， ∴， 当A、B、F三点共线时，最大， ∵，， ∴， 如图中，过点D作，且，    ∴， ， ∵ 化简得：，当取得最大值时，取得最大值， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 2．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是外一点，点P在上，的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得，当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接并延长至点B，使得，连结，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：连结并延长至点B，使得，连结．   当点P在直线外时， 证明过程缺失   当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆． （1）请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，连结并延长至点Q，使得，连结，则面积的最大值是______． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了圆的综合知识，利用平行线的性质，中线的性质，确定动点的运动轨迹是解题的关键． （1）通过证明是的中位线，可得； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可得，从而得到点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，根据平行线的性质可得，则点在以为圆心，为半径的圆上，当时， 的面积有最大值． 【详解】解：（1）连结并延长至点B，使得，连结，如图：   当点P在直线外时， ∵， ∴是的中位线， ∴； 当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆； （2）过点作交于点，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴点的运动路径为：， 故答案为：； （3）过点作交的延长线于点，如图： ∵四边形为矩形， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当时， 的面积有最大值， ∵， ∴底边上的高为：， ∴的面积， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 3．已知是等腰三角形，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到，连接． (1)如图1，若，恰好平分，证明：． (2)如图2，，，当时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若，，点Q是平面内的一个动点，连接，P点是D点关于的对称点，H点是线段上的一个动点，当的长度取最大值时，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及角平分线的性质即可证明结论； （2）过点D作交于点N，，证明是等腰直角三角形，再证明和即可； （3）根据对称性可得点P在以B为圆心，1为半径的圆上，所以当点E、B、P三点共线且点P在点B下方时，的长度取最大值，再证明点A关于的对称点落在直线上，然后利用三角形的三边关系可得，当点H，P，共线时，有最大值，此时点H与B重合，计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵P点是D点关于的对称点， ∴， ∴点P在以B为圆心，1为半径的圆上， ∴当点E、B、P三点共线且点P在点B下方时，的长度取最大值， 此时， ∵， ∴平分， ∴点A关于的对称点A落在直线上， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵H点是线段上的一个动点， ∴， ∴， ∵或， ∴， ∴当点H，P，共线时，有最大值，此时点H与B重合， ∴的最大值为 【点睛】本题是一道压轴题，较难，解答本题应用了全等三角形的判定及性质、等腰三角形和等腰直角三角形 的性质，轴对称的性质以及最值问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$