专题03 圆的基本性质（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、求点到圆上的距离最值 【解惑】已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 【融会贯通】 1．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是 ． 3．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 类型二、利用点与圆的位置关系求半径 【解惑】已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 3．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 类型三、求特殊三角形的外接圆的半径 【解惑】如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【融会贯通】 1．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 2．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 3．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 类型四、根据旋转的性质求解 【解惑】如图，将绕点O按顺时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ． 3．如图，，，点，分别在边，上，点为中点． (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长． 类型五、求饶某点旋转某个角度的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ． 3．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 类型六、利用垂径定理求平行弦 【解惑】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【融会贯通】 1．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 3．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 类型七、直径所对的圆周角是直角 【解惑】如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为 ． 3．如图，内接于⊙是⊙的直径，为优弧的中点，连接，延长交于点． (1)求证：． (2)求证：． 类型八、求四边形外接圆的直径 【解惑】正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【融会贯通】 1．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 2．已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 3．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 类型九、尺规作图——正多边形 【解惑】尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【融会贯通】 1．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 2．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 3．如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          类型十、求不规则图形的面积 【解惑】如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的长度； (3)如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 2．如图，是的直径，点在上，且，过点作，垂足为． (1)填空：______度； (2)求的长； (3)若的延长线交于点，求弦和围成的图形（阴影部分）的面积． 3．如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图（2），当为直径，的半径为1时，求阴影部分的面积． 【一览众山小】 1．如图，中，，将绕着点顺时针旋转，则的度数为（    ）度 A． B． C． D． 2．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知为的直径，，则 ． 5．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 7．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 8．如图，已知为直径，是弦，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 9．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 10．[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、求点到圆上的距离最值 【解惑】已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 【答案】A 【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近． 【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键． 【融会贯通】 1．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 2．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5， 根据三角形的三边关系，PQ≥OP－OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号） ∴PQ长的最小值＝5-3＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键． 3．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 类型二、利用点与圆的位置关系求半径 【解惑】已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 2．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 【答案】13或19 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 3．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 类型三、求特殊三角形的外接圆的半径 【解惑】如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 2．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 3．如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 类型四、根据旋转的性质求解 【解惑】如图，将绕点O按顺时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题． 【详解】解：根据题意可得，且， ． 故选B． 【融会贯通】 1．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质以，涉及三角形内角和定理，设，依据旋转的性质，可得，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可得出．熟记旋转前、后的图形是全等图形是解决问题的关键． 【详解】解：设，由旋转的性质，可得 ， ， 又， ， 又中，， ， ，即， 故选：A． 2．如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质. 连接，如图，根据旋转的性质得 再根据“”证明则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可得到的长. 【详解】连接, 如图, ∵边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， , ∴， 在 和 中 ， ， ， ， 在中， ， ， ， 故答案为 3．如图，，，点，分别在边，上，点为中点． (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）设交于，由，点为中点，得，，根据，即得，，由，可得，故； （2）延长到，是，连接，由是的中位线，得，证明，即得，再证明，可得； （3）由，得，，分两种情况：当在延长线上时，由勾股定理可得；当在线段上时，可得． 【详解】（1）解：，，理由如下： 设交于，如图： ，点为中点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，理由如下： 延长到，是，连接，如图： 为中点，为中点， 是的中位线， ， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，，； （3）解：， ，， 设， 则由勾股定理得，， 解得：， 当在延长线上时，如图； ， 为中点， ， ， ； 当在线段上时，如图： ， 为中点， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查三角形中的旋转变换，涉及三角形的全等判定与性质，勾股定理的应用，三角形中位线定理的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型五、求饶某点旋转某个角度的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与旋转：根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴， ∴绕原点O顺时针旋转后，落在轴的正半轴上，对应点的坐标为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点的坐标是，若点的坐标为， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设点A的对应点为点E，点B的对应点为F， 如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得； 综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或， 故答案为：或． 3．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）连接，相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标； 【详解】（1）解：如图1，即为所画； （2）解：如图2，即为所画， 由图可知； （3）解：线段可以看成是线段绕着某个定点旋转后得到的图形， 点与点B是对应点，点与点A是对应点， 连接，相交于点D（定点）， 由图形知，， 即旋转中心为点， 故答案为． 类型六、利用垂径定理求平行弦 【解惑】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 2．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 3．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 类型七、直径所对的圆周角是直角 【解惑】如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 2．如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆周角定理推论，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 连接，根据直径性质得出，再利用含角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，即得．（方法不唯一） 【详解】连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴． ∴的半径为． 故答案为：． 3．如图，内接于⊙是⊙的直径，为优弧的中点，连接，延长交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查垂径定理的推论、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键． （1）延长交于F，先根据垂径定理的推论得到垂直平分，进而，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）根据圆周角定理和平行线的判定证明，然后根据平行线的性质和等腰三角形的判定与性质可证得结论． 【详解】（1）证明：延长交于F， ∵为优弧的中点， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵是⊙的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 类型八、求四边形外接圆的直径 【解惑】正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 2．已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 3．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明； （3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，理由： 延长交于点，连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 即， 故（1）的结论不成立． （3）解：∵，四边形的内角和为1， ∴， 即四边形四点共圆， 分别过点A、C作于点M，于点N，如图：    则四边形面积 故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大， 连接、， ∵， ∴， 又∵， 故为等边三角形， ∴， 则， 则四边形面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的的性质是解题的关键． 类型九、尺规作图——正多边形 【解惑】尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 2．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可． （2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可． （3）作直径BE，CF，作直线EF即可． 【详解】解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 类型十、求不规则图形的面积 【解惑】如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的长度； (3)如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4； (2)； (3)． 【分析】本题考查30°的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，不规则图形的面积； （1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用30°的直角三角形的性质解题即可； （2）连接，，则是等边三角形，然后得到，，进而利用勾股定理解题即可； （3）先根据勾股定理求出长，然后利用解题即可． 【详解】（1）∵AB是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为4． （2）连接，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形的性质求出，则，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出，，由勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， 为的直径， ； （3）解：连接，如图所示： 由（2）知，，， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 2．如图，是的直径，点在上，且，过点作，垂足为． (1)填空：______度； (2)求的长； (3)若的延长线交于点，求弦和围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)30 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求得，；即可求出； （2）由求出，判断出是的中位线，就可得出的长； （3）连接，将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 本题考查了扇形的面积计算、含角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形． 【详解】（1），， ， 是的直径， ， ， 故答案为：30； （2），，， ， ， ∴ 又点是中点， 是的中位线， ． （3）连接， ， ， ，， ， ， ， 故阴影部分的面积扇形的面积， ． 即可得阴影部分的面积为． 3．如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图（2），当为直径，的半径为1时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、扇形面积公式等知识点． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得，进而可以解决问题； （2）连接，，由（1）得，所以，可得和是等边三角形，可以求出的长，进而可得和，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，， 为直径，半径为1， ，， 由（1）知：， ， ， 和是等边三角形， ， ， ， ，， ， 阴影部分的面积为：． 【一览众山小】 1．如图，中，，将绕着点顺时针旋转，则的度数为（    ）度 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转角可得，由旋转的性质得，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：根据旋转角可得，由旋转的性质得， ， 故选：C． 2．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 4．如图，已知为的直径，，则 ． 【答案】65 【分析】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为： 5．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得出，，再结合计算即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 7．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论； 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 8．如图，已知为直径，是弦，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理证明即可； （2）设的半径为R，利用勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握三个定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，是弦，， ∴， ∴； （2）解：设的半径为R，根据题意，得 则， 又， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解得， 即：的半径为5． 9．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到； （2）通过证明得到； （3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：， 理由如下： 以点为中心，把逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知： ， 由（2）可知：， 又， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． （1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在外，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决] 如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$