第四章 专题4 线段与角的计算中的数学思想（word练习教用）-【中考123】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程导练（北师大版2024）

[答案 P18] 分类讨论思想　　 1．已知O是直线AB上一点，过点O作射线OC，OD，使∠COD＝120°.若∠AOC＝20°，求∠BOD的度数． 解：分两种情况讨论： ①如答图①，射线OC，OD在直线AB同侧． 1题答图① ∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝40°； ②如答图②，射线OC，OD在直线AB两侧． 1题答图② 因为∠AOD＝∠COD－∠AOC＝100°， 所以∠BOD＝180°－∠AOD＝80°. 综上，∠BOD的度数为40°或80°. 2.如图，已知线段AB＝12 cm，M为线段AB的中点，N为线段MB的中点，请回答下列问题． (1)求线段MN的长度； (2)直线AB上找一点C，使CN＝5 cm，线段MC的中点为P，求PM的长度． 2题图 解：(1)因为线段AB＝12 cm，M为线段AB的中点， 所以MB＝AB＝6 cm. 又因为N为线段MB的中点，所以MN＝MB＝3 cm. (2)当点C在点N的左边时，如答图①所示， 2题答图① 因为CN＝5，所以CM＝CN－MN＝5－3＝2(cm). 因为线段MC的中点为点P， 所以PM＝CM＝1 cm； 当点C在点N的右边时，如答图②所示， 2题答图② 因为MC＝MN＋NC＝3＋5＝8(cm)， 线段MC的中点为P，所以PM＝MC＝4 cm. 综上所述，PM的长度为1 cm或4 cm. 方程思想　　 3．(贵州贵阳期末)如图，点B，D在线段AC上． (1)填空： AB＝DB＋AD＝AC－BC； (2)若D是线段AC中点，BD＝AD，AC＝16 cm，求线段BC的长． 3题图 解：(2)设BD＝x， 因为BD＝AD，所以AD＝4x. 因为D是线段AC中点，所以CD＝AD＝4x， 所以AC＝8x＝16，所以x＝2， 所以BC＝4x－x＝3x＝6(cm). 4．(湖北十堰期末)如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)若∠AOC＝20°，求∠DOE的度数； (2)若∠AOC比∠BOD小30°，求∠AOE的度数． 4题图 解：(1)因为∠AOC＝20°， 所以∠BOC＝180°－∠AOC＝160°. 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝∠BOC＝80°. 因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝10°， 所以∠DOE的度数为10°. (2)设∠BOD＝x°， 因为∠AOC比∠BOD小30°，所以∠AOC＝(x－30)°. 因为∠COD＝90°， 所以∠AOC＋∠BOD＝180°－∠COD＝90°， 所以x－30＋x＝90，所以x＝60，所以∠AOC＝30°， 所以∠BOC＝180°－∠AOC＝150°. 因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠BOC＝75°， 所以∠AOE＝180°－∠BOE＝105°，所以∠AOE的度数为105°. 整体思想　　 5．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点，若AB＝a cm，AC＝b cm，且a，b满足(a－17)2＋|b－13|＝0，求线段MN的长度． 5题图 解：因为(a－17)2＋|b－13|＝0，所以a＝17，b＝13， 所以AB＝17 cm，AC＝BD＝13 cm. 因为N是AD的中点，所以AN＝AD＝2 cm. 因为M是AC的中点，所以AM＝AC＝6.5 cm， 所以NM＝AM－AN＝6.5－2＝4.5(cm). 6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？ (1)如图①所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．若∠ABC＝54°，求∠A′BD的度数； (2)在(1)的条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图②所示，求∠CBE的度数． 6题图① 　 6题图② 解：(1)因为∠ABC＝54°， 所以∠A′BC＝∠ABC＝54°， 所以∠A′BD＝180°－∠ABC－∠A′BC ＝180°－54°－54°＝72°. (2)由(1)的结论可得∠DBD′＝72°， 所以∠2＝∠DBD′＝×72°＝36°， ∠ABD′＝108°， 所以∠1＝∠ABD′＝×108°＝54°， 所以∠CBE＝∠1＋∠2＝90°. 数形结合思想　　 7.如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15和－5.若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． 【探究】 (1)①AB的长度为5个单位长度，AC的长度为15个单位长度； ②若数轴上有M，N两点，对应的有理数为x，y，且y＞x，则MN的长度为(y－x)个单位长度；(用含x，y的代数式表示) 【应用】 (2)①当0＜t＜5时，用含t的代数式填空：BP＝(5－t)个单位长度，AQ＝(10－2t)个单位长度； ②当t＝2时，求PQ的值； 【拓展】 (3)当P，Q两点距离为4个单位长度时，求t的值． 7题图 解：(2)②当t＝2时，P为10＋2＝12，Q为2×2＝4， 则PQ的值为12－4＝8. (3)分两种情况： 一是点P在点Q右侧，则10＋t－2t＝4， 所以t＝6； 二是点P在点Q左侧，则2t－(10＋t)＝4， 所以t＝14. 综上，t的值为6或14. 学科网（北京）股份有限公司 $$