专题10 有关角度计算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题10 有关角度计算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角板中角度的计算问题 类型二、几何图形中角度的计算问题 类型三、角平分线有关的计算问题 类型四、角n等分线有关计算问题关系 压轴专练 类型一、三角板中角度的计算问题 例1．已知为直线上一点，以为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，若直角三角尺的一边与射线重合，则； (2)将直角三角尺摆放至如图②所示的位置时，恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将直角三角尺摆放至如图③所示的位置时，若恰好，求的度数． 变式1-1．在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． 变式1-2．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 变式1-3．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 类型二、几何图形中角度的计算问题 例2．【问题背景】已知，是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含a的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系． 变式2-1．已知：直线和相交于点O，射线和在直线同侧，且，平分． (1)如图1，，，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，当时，用等式表示和的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 变式2-2．探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 类型三、角平分线有关的计算问题 例3．【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 变式3-1．【特例感知】（1）如图1，线段，．线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则 ． ②请直接写出，和三个角的数量关系 ； 【类比探究】（3）如图3，在内部转动，若，，，求的度数． 变式3-2．已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由． (3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并直接写出相应的的度数．（不必写出过程） 变式3-3．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 类型四、角n等分线有关的计算问题 例4．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 变式4-1．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 变式4-2．从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 1．综合与实践：李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 2．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 3．如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 4．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 5．如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 6．点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 7．如图，已知同一平面内，，． (1)填空：______； (2)如平分，平分，直接写出的度数为______； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改成，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由． 8．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 9．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    10．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．    (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有关角度计算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角板中角度的计算问题 类型二、几何图形中角度的计算问题 类型三、角平分线有关的计算问题 类型四、角n等分线有关计算问题关系 压轴专练 类型一、三角板中角度的计算问题 例1．已知为直线上一点，以为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，若直角三角尺的一边与射线重合，则； (2)将直角三角尺摆放至如图②所示的位置时，恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将直角三角尺摆放至如图③所示的位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，见解析 (3) 【分析】本题考查角的计算与角平分线、平角等知识的综合运用，解题关键是依据已知角的关系，结合平角、角平分线定义列等式求解． （1）根据余角进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求出．又因为，所以，．根据等角的余角相等，可推出，进而判断出平分． （3）设，由可得．再根据平角这个关系列出方程，求解得出的值，最后算出的度数． 【详解】（1）∵，，且与重合， ∴． 故答案为； （2）解：OB平分，理由如下： 为直线MN上一点， ， ， ， 又恰好平分， ， 又， ， ， ， 平分； （3）解：设， ，， 又， ， ，， ， ， 即． 变式1-1．在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据图形利用角度的和差即可解答． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：∵， ∴； （3）解：当边在边右侧时，如图，设， 则有， 解得； 或， 解得； 当边在边左侧时，如图， 设， 则有， 解得； 或， 解得； 综上所述，的度数为或． 变式1-2．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1-3．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程，角平分线的定义，正确认识图形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， 即； （2）解：①如图2，当未旋转到时， ， ， 平分， ， ， ； ②如图2，当旋转到，且未到的延长线时，， 设，则， ， ， 解得， ， 如图3，设，则， ， ， ， 解得， 即， 当旋转超过延长线时，不存在，故不符合题意， 综上所述，的度数为或． 类型二、几何图形中角度的计算问题 例2．【问题背景】已知，是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含a的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数； （2）先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来； （3）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据即可得出与的关系． 【详解】解：（1）且， ． 平分， ， ； （2），且， ． 平分， ， ； （3），理由如下： ， ． 平分， ， ． 变式2-1．已知：直线和相交于点O，射线和在直线同侧，且，平分． (1)如图1，，，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，当时，用等式表示和的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或． 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义． （1）根据邻补角定义求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①根据角平分线定义得出，，然后根据角的和差关系化简即可得证； ②分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ （2）解：① 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； ②当时， ∵，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即， ∵，， ∴， 解得， ∴， 综上，的度数为或． 变式2-2．探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 类型三、角平分线有关的计算问题 例3．【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）①；②不变，理由见解析；（2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； ②根据①的方法计算即可求解； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，，①由，可得，即可求解； ②根据角平分线的定义可得由，可得，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变 理由如下：因为点C和点D分别是的中点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②． 理由如下： ∵和分别平分和． ∴， ∴ ∴ 变式3-1．【特例感知】（1）如图1，线段，．线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），C、D分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则 ． ②请直接写出，和三个角的数量关系 ； 【类比探究】（3）如图3，在内部转动，若，，，求的度数． 【答案】（1）线段的长度不会发生变化，为，理由见解析；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． （）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解； （）①由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解； ②．根据①的方法即可求解； （）根据，代入已知条件即可求解． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点， ，， ， ，， ， ， ； （）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：和分别平分和， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 即； （）， ， ， ， ， ， ． 变式3-2．已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由． (3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并直接写出相应的的度数．（不必写出过程） 【答案】(1) (2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (3)为或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解第3小问的关键． （1）根据，分别平分和，得出，，求出，根据平分，得出，最后求出结果即可； （2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可； （3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：设旋转角为， ①当时，如图， ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； ②当时，在的下方，如图， ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 变式3-3．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 类型四、角n等分线有关的计算问题 例4．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 变式4-1．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则，， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 变式4-2．从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或 【分析】（1）根据三分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】解：（1）∵是的三分线，，， ∴， 故答案为：； （2），是的四分线，， ， 为的三分线， ①当时，， ， ②当时，， ， 综上所述，的度数为或， （3）∵射线、是的两条四分线， ∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°， 如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=, ∠BOD=80°，∠COD=20°， α=30°-20°=10°； 如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时， ∠COD=∠BOC=15°， α=30°+15°=45°； 如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时， ∠COD=∠BOC=45°， α=30°+45°=75°； 如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=, ∠COD=80°， α=30°+80°=110°； 的值为或或或 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想． 1．综合与实践：李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 2．数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 3．如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 4．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 5．如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查的是角的和差运算及角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）设，，求解，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得，，，表示，求解，可得，结合角平分线再进一步求解即可； （3）由（1）得，，，可得；表示，表示，，结合平分，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由（1）得，，， ∵， ∴ ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴． 6．点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由，，再利用角的和差运算可得答案； （2）先证明，，，再进一步可得结论； （3）分三种情况讨论：如图，时，题意可得：，，，当时，题意可得：，，，如图，当在的下方时，题意可得：，，，再结合，建立方程求解，并检验即可. 【详解】（1）解：∵点在射线上，，， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分； （3）解：如图，时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 当时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 如图，当在的下方时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 综上：或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，一元一次方程的应用，本题难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 7．如图，已知同一平面内，，． (1)填空：______； (2)如平分，平分，直接写出的度数为______； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改成，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)，过程见解析 【分析】本题考查了角的有关计算的应用． （1）画出符合条件的两种情况，①当射线在内部时，②当射线在外部时，分别求出即可； （2）画出符合条件的两种情况，①当射线在内部，②当射线在外部，求出即可； （3）画出符合条件的两种情况，求出和的度数，即可求出答案． 【详解】（1）解：分为两种情况： ①如图，当射线在内部时， ； ②如图，当射线在外部时， ； 故答案为：或； （2）解：分以下两种情况： 如图3， ∵，，平分，平分， ∴，， ∴； 如图4， ∵，，平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）解：能求出的度数． 分以下两种情况： ①当在内部时，如图3， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴； ②当在外部时，如图4， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴； 综合上述，． 8．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）16 （2）不变， （3）①90 ② 【分析】（1）先求出，再根据线段中点定义得，，然后根据即可得出答案； （2）先求出，再根据线段中点定义得，则，然后根据即可得出答案； （3）①先求出，再根据角平分线定义得，，则，然后根据即可得出答案； ②先根据角平分线定义设，，则，，进而得，，据此即可得出，和之间的数量关系． 【详解】解：（1），，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； 故答案为：16； （2）线段运动时，线段的长度不发生变化，始终为，理由如下： ，， ， 点和点分别是，的中点， ， ， ； （3）①，， ， 射线和射线分别平分和， ，， ， ， 故答案为：90； ②，和之间的关系是：，理由如下： 射线和射线分别平分和， 设，， ，， ， 又， ， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离，角的计算，准确识图，理解线段中点的定义，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键． 9．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 10．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．    (1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ； (2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线． ①当恰好为的三等分线时，求的值； ②在旋转过程中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算； （2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围． 【详解】（1）解：，、是的两条三等分线， ， 故答案为：； （2）①当时，   ， ． 当时，   ， 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$"> 75{^{\circ}}$">∴∠DOD′>75°，不符合题意， 的值是； ②当在内部时，   ， ， ， ， ， 当 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$">∠COD′+∠AOD′>35°时， ， ， ， 当在射线下方时，   ， ， ， ， ， 当 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$"> 35{^{\circ}}$">∠COD′+∠AOD′>35°时， ， ， ， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$