第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习方案（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 第二章 章末复习方案 知识网络·体系构建 知识整合·融会贯通 知识网络·体系构建 返回目录 数学　必修 第一册 探究一　不等式的性质及应用 知识整合·融会贯通 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究二　利用基本不等式求最值 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究三　解一元二次不等式 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究四　解含有参数的一元二次不等式 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究五　由一元二次不等式恒成立求参数范围 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 探究六　不等式的实际应用 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 返回目录 数学　必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 此类题型一般不单独以纯粹比较两式大小或求取值范围的问题出现，而是以判断不等式恒成立的形式，要求从整体上把握、运用不等式的性质.常见的考法有性质的简单应用、比较大小和求取值范围. (1)应用不等式的性质解题的常见类型及方法 ①不等式的性质与充要条件、求取值范围、证明与推导不等式的综合问题，应注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质. ②恰当运用赋值法和淘汰法解答选择题、填空题. (2)比较大小 ①作差法的步骤：作差并变形―→判断差的符号―→结论. 解题过程中只要判断差的符号(正负号)，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式.关键步骤是变形，主要是利用通分、因式分解、配方等，变形是为了更有利于判断符号. ②此外，还可应用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小. (3)求取值范围 由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围. 【真题1】 (1)设a＜0，－1<b<0，那么下列各式中正确的是(　　) A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a C.ab＞ab2＞a D.ab＞a＞ab2 (2)已知α，β满足则α＋3β的取值范围是(　　) A.1≤α＋3β≤7 B.－5≤α＋3β≤13 C.－5≤α＋3β≤7 D.1≤α＋3β≤13 解析　(1)因为－1＜b＜0，a＜0，所以ab＞0，b＜0＜1，b2＜1.所以ab－ab2＝ab(1－b)＞0，ab2－a＝a(b2－1)＞0.所以ab＞ab2＞a.故选C项. (2)设α＋3β＝m(α＋β)＋n(α＋2β)＝(m＋n)·α＋(m＋2n)β.比较α，β的系数，得从而解出m＝－1，n＝2.分别由得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6，两式相加得1≤α＋3β≤7.故α＋3β的取值范围是1≤α＋3β≤7.故选A项. 答案　(1)C　(2)A 求最值时的常见情形 (1)若直接满足基本不等式的条件，即满足求最值的三个前提条件“一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式. (2)若不能直接满足基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式，创造使不等式中等号成立的条件.具体思路是：当运用基本不等式a＋b≥2(a>0，b>0)求最小值时，若不具备积为定值的条件，可以通过构造使其积为定值；当运用基本不等式的变形形式ab≤2求最大值时，若不具备和为定值的条件，可以通过构造使其和为定值. 【真题2】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)的最大值为(　　) A.－1 B.0 C. D. (2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________. (3)(2021·天津)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________. 解析　(1)因为0<x<1，所以4－3x>0，则x(4－3x)＝×3x×(4－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立，故x(4－3x)的最大值为.故选C项. (2)由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时，等号成立.所以x2＋y2的最小值是. (3)因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2·＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时，等号成立，所以＋＋b的最小值为2. 答案　(1)C　(2)　(3)2 一元二次不等式的求解方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当m<n时，若(x－m)·(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)·(x－n)<0，则可得m<x<n.口诀为“大于取两边，小于取中间”. 【真题3】 (1)(2022·1月浙江改编)不等式x2－4x<0的解集是(　　) A.{x|0<x<4} B.{x|－4<x<0} C.{x|x<4} D.{x|x<0或x>4} (2)(多选)下列不等式的解集为R的是(　　) A.9x2－6x＋1≥0 B.－x2＋2x－3<0 C.x2－3x－4>0 D.x2＋≥1 解析　(1)x2－4x<0⇒x(x－4)<0，解得0<x<4.故选A项. (2)不等式9x2－6x＋1≥0，可化为(3x－1)2≥0，不等式的解集为R，A项正确；－x2＋2x－3<0变形为x2－2x＋3>0，即(x－1)2＋2>0，不等式的解集为R，B项正确；x2－3x－4>0的解集为{x|x>4或x<－1}，解集不是R，C项错误；x2＋≥1，因为x2＋1≥1，不等式两边同乘以x2＋1，即x4＋x2＋1≥x2＋1，即x4≥0，故不等式的解集为R，D项正确.故选ABD项. 答案　(1)A　(2)ABD 此类题一般以含参数的一元二次不等式、集合的形式出现，要注意二次项系数对不等式解的影响.在解含有参数的不等式时，勿将形如ax2＋bx＋c＞0的不等式认为一定是一元二次不等式，要根据以下步骤求解. (1)看(看二次项系数的符号).二次项若含有参数，应讨论其是等于0、小于0、还是大于0；若二次项系数不为0，将不等式转化为二次项系数为正的标准形式. (2)算(计算判别式，判断方程根的个数).判断标准形式的一元二次不等式对应的方程的根的个数，讨论判别式与0的大小. (3)写(写出解集).确定无根或有两个相等的实数根时，可以直接写出解集.如果有两个不相等的实数根，但不能确定两根的大小，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 【真题4】 (1)(多选)已知关于x的不等式ax2－bx＋2>0，关于此不等式的解集有下列结论，正确的是(　　) A.不等式ax2－bx＋2>0的解集可以是{x|x>2} B.不等式ax2－bx＋2>0的解集可以是R C.不等式ax2－bx＋2>0的解集可以是∅ D.不等式ax2－bx＋2>0的解集可以是{x|－1<x<2} (2)不等式组的整数解的集合为{x}，则实数k的取值范围为________. 解析　(1)A项，当a＝0时，有bx<2，无论b取何值，不能使不等式的解集为{x|x>2}，错误；B项，当时不等式的解集是R，正确；C项，令f(x)＝ax2－bx＋2，显然f(0)＝2>0，故不等式的解集不可能是∅，错误；D项，当a＝b＝－1时，x2－x－2＝(x－2)·(x＋1)<0，解集是{x|－1<x<2}，正确.故选BD项. (2)因为－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0的解， 所以2×(－2)2＋(2k＋5)×(－2)＋5k＝k－2＜0. 所以k＜2，－k＞－2＞－，所以2x2＋(2k＋5)·x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)＜0的解集为， 又x2－x－2＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}， 所以－2＜－k≤3，所以k的取值范围为{k|－3≤k＜2}. 答案　(1)BD　(2){k|－3≤k＜2} 解决一元二次不等式在某个范围内恒成立问题常用的方法 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 方法一　不等式解集法 f(x)>0在{x|α≤x≤β}上恒成立⇔{x|α≤x≤β}⊆A，A是f(x)>0的解集. 方法二　分离参数法 利用最值分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，即化为f1(λ)≥f2(x)(或f1(λ)≤f2(x))的形式； (2)求f2(x)在x∈D时的最大(或最小)值； (3)解不等式f1(λ)≥[f2(x)]max(或f1(λ)≤[f2(x)]min)得λ的取值范围. 适用题型：①参数与变量能分离；②函数最值易求. 方法三　函数最值法 已知函数f(x)的取值范围为{y|m≤y≤n}，则f(x)≥a恒成立⇒[f(x)]min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒[f(x)]max≤a，即n≤a. 方法四　主参换位法 含参数的不等式恒成立问题，若在分离参数时遇到需要讨论的麻烦，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 除以上常用的四种方法外，还可以用构建函数法和数形结合法. 【真题5】 (1)若正实数x，y满足＋＝1，且x＋＞a2－3a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1＜a＜4} C.{a|－4≤a≤1} D.{a|－4＜a＜1} (2)(多选)不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，则下列关系正确的是(　　) A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0 C.c≥1 D.b＋c≥0 解析　(1)由题意知x＋＝＝2＋＋.因为x＞0，y＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即4x＝y，即x＝2，y＝8时，等号成立，所以x＋≥4，所以a2－3a＜4，解得－1＜a＜4.故选B项. (2)将x2＋bx＋c≥2x＋b整理为x2＋(b－2)·x＋c－b≥0，因为x2＋bx＋c≥2x＋b对任意x∈R恒成立，所以Δ≤0，即(b－2)2－4(c－b)≤0，整理得b2－4c＋4≤0，故A项正确；令b＝1，c＝2，则Δ＝(1－2)2－4×(2－1)＝1－4＝－3<0，满足题意，故B项错误；由A项知4c≥b2＋4，即c≥＋1≥1，故C项正确；b＋c≥b＋＋1＝2≥0，故D项正确.故选ACD项. 答案　(1)B　(2)ACD 考试中应用题的背景一般是人们关心的社会热点话题，如物价、销售、税收、原材料等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解，再利用解决实际问题的方法步骤求解. 【真题6】 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2023年，该种玻璃的售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米. (1)据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2 000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m(m>25)欧元/平方米，其中投入(m2－600)万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少达到多少时，才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和？并求出此时的售价. 解析　(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米， 由题知[80－2(x－25)]x≥2 000， 即x2－65x＋1 000≤0，解得25≤x≤40， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (2)由题意得mn≥25×80＋500＋2m＋·(m2－600)，整理得mn≥1 500＋2m＋m2， 两边同除以m得n≥＋m＋2， 又＋m＋2≥2＋2＝102， 当且仅当＝m，即m＝30>25时，等号成立， 所以n≥102，故该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少达到102万平方米时，才可能使 2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米. $$