精品解析：湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

九年级暑假作业精选练习数学学科 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此逐项判断即可． 【详解】A．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； B．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； C．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； D．在图象中，在x轴正半轴上取一点，即确定一个x的值，这个x对应图象上两个点，即一个x的值有两个y值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的概念．对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． 已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得， 所以； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得， 所以； 故或7， 故选：D． 4. 在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为(　 ) A. 81、82、81 B. 81、81、76.5 C. 83、81、77 D. 81、81、81 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了众数、平均数与中位数的求解，根据相关定义求解即可 【详解】解：组数据由小到大排列为72，77，79，81，81，81，82，83，85，89， 其中81出现的次数最多，所以众数为81， 最中间的两个数都是81，所以中位数是， 平均数为， 故选D． 5. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 6. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵△DEF由△DEA翻折而成， ∴EF=AE=5， 在Rt△BEF中， ∵EF=5，BF=3， ∴， ∴AB=AE+BE=5+4=9， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=9 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）． 7. 抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不能确定，与的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与轴一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为：， ∴另一个交点为， 故选：B． 【点睛】本题考查了把抛物线转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题的关键在得出抛物线对称轴． 8. 抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( ) A. 0≤x1＜x2 B. x2＜x1≤0 C. x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D. 以上都不对 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定． 【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 9. 如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】D 【解析】 【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式为，再将x=5代入即可得答案． 【详解】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，如图： ∵桥的最大高度是16米，跨度是40米， ∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0）， 设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得： 0=400a+16，解得， ∴抛物线解析式为， 当x=5时，， ∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出抛物线的解析式． 10. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点，Δ＝b2﹣4ac＞0，即可判断②，根据函数图象即可判断③⑤，由抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，当时，取得最小值，最小值为，即可判断④ ． 【详解】①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，﹣＝1，c＜0， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，结论①不正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，结论②正确； ③∵当x＝0时，y＜0，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＜0， 即4a+2b+c＜0，结论③不正确； ④∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数m,有am2+bm+c≥a+b+c， ∴a+b≤m（am+b）（m为任意实数），结论④正确； ⑤∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与系数的关系，抛物线与轴交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将直线向上平移5个单位长度，得到直线______． 【答案】y=-x 【解析】 【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：直线y=-x-5中，k=-1，b=-5；向上平移5个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=-1，b=-5+5=0． 所以新直线的解析式为y=-x． 故答案为y=-x． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键． 12. 甲、乙两位同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计平均数，方差，则成绩较稳定的同学是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查方差，关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，方差， 则成绩较稳定的同学是甲， 故答案为：甲． 13. 如图，平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和平行四边形的性质，先利用勾股定理求出，再利用平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：12． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴点， 当时，， 即不等式的解集为． 故答案为：． 15. 设m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根和根与系数关系，代入求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根， ∴m 2＋3 m-7＝0，即m 2＋3 m＝7；m＋n＝-3． ∴m2＋4m＋n ＝（m 2＋3 m）＋（m＋n） ＝7-3 ＝4． 故答案为：4 16. 已知二次函数（为常数）．当时，y的最小值是，则a的值为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数（为常数）化成顶点式，利用分类讨论的数学方法可以求得的值． 【详解】解：， ∴该二次函数的对称轴是直线， 当时，的最小值是， 当时，取得最小值，则，解得，（舍去）， 当时，取得最小值，则，解得，， 当时，取得最小值，则，解得，， 综上，a的值为或． 三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）；（2） ． 【答案】（1）x1=5，x2=1；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：（1） 移项，得． 配方，得， 所以，． 由此可得， 所以，，． （2），，． ． 方程有两个不相等的实数根 ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在图象上得到，解得，得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过A作轴于点E，求出点D坐标为，则，由得到，利用三角形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在图象上， ∴，解得：． ∴ ∵点和点在图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，过A作轴于E， ∵一次函数解析式为：， ∴时， ，解得， ∴点D坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，读懂题意，数形结合和准确计算是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1． 【解析】 【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得； （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根， ∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3， ∵x12+x22=11， ∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤， ∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1． 【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法. 20. 学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目（每个项目按百分制计分）．若按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．李颖和张明两位同学的各项成绩如表所示： 项 目 选 手 形　象 知识面 普通话 李 颖 70 80 88 张 明 80 75 x （1）计算李颖同学的总成绩； （2）若张明同学要在总成绩上超过李颖同学，求x的范围． 【答案】（1）83；（2）90＜x≤100 【解析】 【分析】（1）按照各项目所占比求得总成绩； （2）各项目所占比求得总成绩大于83分即可，列出不等式求解． 【详解】（1）70×10%+80×40%+88×50%=83（分）； （2）80×10%+75×40%+50%•x＞83， ∴x＞90． ∵每个项目按百分制计分 ∴90＜x≤100 ∴李颖同学的总成绩是83分，张明同学要在总成绩上超过李颖同学，则他的普通话成绩应90＜x≤100． 【点睛】本题综合考查平均数的运用．解题的关键是正确理解题目的含义． 21. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论． 【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m， 依题意，得：x（33-3x）=90， 解得：x1=6，x2=5． 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC=ym，则AB=（33-3y）m， 依题意，得：y（33-3y）=100， 整理，得：3y2-33y+100=0． ∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0， ∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据△AEO和△CFO全等来进行说明；（2）连接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度数，根据∠BAC的正切值求出AB的长度． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF ∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF （2）连接BO ∵OE=OF BE=BF ∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BCF=90° ∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA ∴∠BAC=∠EOA ∴ AE=OE ∵AE=CF OE=OF ∴OF=CF 又∵BF=BF ∴Rt△BOF≌Rt△BCF ∴∠OBF=∠CBF ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE ∵∠ABC=90° ∠OBE=30° ∴∠BEO=60° ∠BAC=30° ∵tan∠BAC= ∴tan30°= 即 ∴AB=6． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明、锐角三角函数的应用． 23. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 解：设利润为， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 24. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标倍的点称为“一中点”，例如点，，，……，都是“一中点”．例如：抛物线上存在两个“一中点”，． （1）在下列函数中，若函数图像上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图像上不存在“一中点”的打“×”． ①________；②________；③________． （2）若抛物线上存在“一中点”，且与直线相交于点和，令，求的最小值； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）√；√；×； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可； （2）由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值； （3）由定义可得，由题意可知，得到，根据当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值，求出的值； 【小问1详解】 解：（1）①当，解得； ∴点在上 ∴存在一中点： 故答案为：√ ②当，解得， ∴点和在上； ∴ 上存在两个“一中点”：和 故答案为：√ ③当时 ∵ ∴该一元二次方程无实数根； ∴上不存在“一中点” 故答案为：× 【小问2详解】 解：∵抛物线上存在“一中点”， ∴ 整理得： 由题意可知： 解得： 由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ∴ ∵当时，随的增大而减小； ∴当时，有最小值； 此时， 【小问3详解】 解：∵函数的图像上存在唯一的一个“一中点” ∴关于的方程有两个相等的实数根； 整理得：， ∴ ∴ 当时； 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 解得： 当时 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 解得，（舍） 当时 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 整理得： 该方程无实数根； 综上所述：的值为或 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，根与系数的关系，弄清定义是解题的关键． 25. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值” （1）点A（2，6）的“坐标差”为________； （2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”； （3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式； （4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值. 【答案】（1）4；（2）8；（3）y=-x2+3x-2；（4）y=-（x-5）2+7， 【解析】 【分析】（1）根据题目中的规定易得结论； （2）根据定义求出y-x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），则点B的坐标为（-c，0）,把点B的坐标代入二次函数解析式得到b=1-c，再将b=1-c代入二次函数解析式，求出特征值y-x的代数式，然后由坐标值为-1求出c的值，继而求出b的值，即可求出二次函数解析式； （4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y=x+2，由二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上，用顶点式可设二次函数为y=-（x-m）2+m+2.在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时（如图②）.然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入y=-（x-m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值. 【详解】（1）根据“坐标差”的定义得：6-2=4； （2）y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8 （3）由题意，得点C的坐排为（0，c）， ∵点B与点C的“坐标差”相等， ∴B（-c.0），把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c， ∴b=1-c， ∴y=-x2+（1-c）x+c， ∵二次函数y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”为-1. ∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c， ∴=-1， ∴c=-2， ∴b=3， ∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2 （4）解：“坐标差”为2的一次函数为y=x+2， ∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上， ∴设二次函数为y=-（x-m）2+m+2， 二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（1-x）2+m+2，解得m1=1，m2=2（合去）， ∴二次函数的解新式为y=-（x-1）2+3， ∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-）2+，特征值是； 把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去）， 二次函数的解析式为y=-（x-5）2+7， ∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-）2+，特征值是. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）①利用“坐标差”的定义求出点A的“坐标差”；②利用二次函数的性质求出y-x的最值；（2）①利用“坐标差”的定义找出m，c的关系；②利用待定系数法结合“特征值”的定义，找出关于b的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级暑假作业精选练习数学学科 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 4. 在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为(　 ) A. 81、82、81 B. 81、81、76.5 C. 83、81、77 D. 81、81、81 5. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 6. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不能确定，与的值有关 8. 抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( ) A. 0≤x1＜x2 B. x2＜x1≤0 C. x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D. 以上都不对 9. 如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 10. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将直线向上平移5个单位长度，得到直线______． 12. 甲、乙两位同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计平均数，方差，则成绩较稳定的同学是______（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为______． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 15. 设m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____． 16. 已知二次函数（为常数）．当时，y的最小值是，则a的值为_____ 三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）；（2） ． 18. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 20. 学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目（每个项目按百分制计分）．若按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．李颖和张明两位同学的各项成绩如表所示： 项 目 选 手 形　象 知识面 普通话 李 颖 70 80 88 张 明 80 75 x （1）计算李颖同学的总成绩； （2）若张明同学要在总成绩上超过李颖同学，求x的范围． 21. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 22. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的长． 23. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 24. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标倍的点称为“一中点”，例如点，，，……，都是“一中点”．例如：抛物线上存在两个“一中点”，． （1）在下列函数中，若函数图像上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图像上不存在“一中点”的打“×”． ①________；②________；③________． （2）若抛物线上存在“一中点”，且与直线相交于点和，令，求的最小值； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当时，的最小值为，求的值． 25. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值” （1）点A（2，6）的“坐标差”为________； （2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”； （3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式； （4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $