第2章 一元二次函数、方程和不等式 综合测评（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章综合测评 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.若a<1，b>1，则下列命题中正确的是(　　) A.> B.>1 C.a2<b2 D.ab<a＋b－1 答案　D 解析　当a＝－2，b＝2时，A，B，C项均错误；由a<1，b>1，得a－1<0，b－1>0，所以(a－1)(b－1)<0，即ab<a＋b－1.故选D项. 2.已知关于x的不等式ax2＋bx－2>0的解集是，则ab＝(　　) A.24 B.6 C.14 D.－14 答案　A 解析　由题意知－，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，故有所以a＝12，b＝2，所以ab＝24.故选A项. 3.若x＞1＞y，则下列不等式不成立的是(　　) A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1 C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x 答案　A 解析　用特殊值法检验，令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＝1,1－y＝1－(－1)＝2，显然1＜2，故A项不成立.故选A项. 4.已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－b的大小关系为(　　) A.a＞b＞－b B.a＞－b＞b C.b＞a＞－b D.b＞－b＞a 答案　B 解析　因为a＋b＞0，所以a＞－b，又因为b＜0，所以－b＞0.所以a＞－b＞0＞b，即a＞－b＞b.故选B项. 5.不等式x2－ax－12a2＜0(其中a＜0)的解集为(　　) A.{x|－3a＜x＜4a} B.{x|4a＜x＜－3a} C.{x|－3＜x＜4} D.{x|2a＜x＜6a} 答案　B 解析　方程x2－ax－12a2＝0可化为(x－4a)·(x＋3a)＝0，所以方程的两根为4a，－3a，又a＜0，所以4a＜－3a，所以原不等式的解集为{x|4a＜x＜－3a}.故选B项. 6.设A＝＋(m，n为互不相等的正实数)，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A.A>B B.A≥B C.A<B D.A≤B 答案　A 解析　因为m，n为互不相等的正实数，所以≠，所以A＝＋>2＝2，B＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2≤2，当x＝2时，Bmax＝2，所以A>B.故选A项. 7.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k满足的条件是(　　) A.k＞0 B.k≥0 C.0≤k＜4 D.0＜k＜4 答案　C 解析　当k＝0时，不等式变为1＞0，成立；当k≠0时，要使不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则即0＜k＜4.综上，0≤k＜4.故选C项. 8.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 答案　C 解析　因为a>0，b>0，所以＋≥，当且仅当a＝b时，等号成立，所以＋＋2≥＋2≥2＝4，当且仅当a＝b，且＝2，即a＝b＝1时，等号成立，故＋＋2的最小值是4.故选C项. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中正确的是(　　) A.a－d＞b－c B.＞ C.a＋d＞b＋c D.ac＞bd 答案　ABD 解析　因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，0＞－d＞－c，＞，所以a－d＞b－c，＞，所以A，B，D项正确；令a＝2，b＝1，c＝5，d＝4，此时a＋d＝b＋c，所以C项不正确.故选ABD项. 10.下列各式中，最小值是2的是(　　) A.x＋(x＞0) B. C. D.2－3x－ 答案　AC 解析　因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，故A项正确；又＝＋，而＝在R上不成立，所以不能取到最小值2，故B项排除；因为＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x＝0时，等号成立，故C项正确；因为D项中的式子的值可以取负值，故D项排除.故选AC项. 11.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.c>0 D.cx2－bx＋a<0的解集是∪(1，＋∞) 答案　AD 解析　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>3}，所以a>0，且－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－1＋3＝－，－1×3＝，所以b＝－2a，c＝－3a.因为a>0，所以A项正确；因为a>0，c＝－3a，所以c<0，所以C项错误；因为a>0，b＝－2a，c＝－3a，所以a＋b＋c＝－4a<0，所以B项错误；因为b＝－2a，c＝－3a，所以cx2－bx＋a<0可化为－3ax2＋2ax＋a<0，所以3x2－2x－1>0，方程3x2－2x－1＝0的解为x＝－或x＝1，所以不等式cx2－bx＋a<0的解集是∪(1，＋∞)，所以D项正确.故选AD项. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________. 解析　由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c，则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2)，又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2，解得－≤a≤，故a的最大值是. 答案　 13.若对任意的x＞0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是__________. 解析　因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以＝≤＝，即的最大值为，故a≥.故实数a的取值范围是. 答案　 14.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________. 解析　由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去).所以x≥20，即x的最小值是20. 答案　20 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)当x＞3时，求函数y＝的最小值. 解析　因为x＞3，所以x－3＞0. 所以y＝＝ ＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24， 当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立. 所以函数y＝的最小值为24. 16.(15分)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. 证明　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 17.(15分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}. (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0； (2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R. 解析　(1)由题意知1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根， 所以解得a＝3. 所以不等式2x2＋(2－a)x－a＞0，即为2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞. 所以所求不等式的解集为. (2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0， 若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0， 所以－6≤b≤6. 18.(17分)在国家创新驱动战略下，将北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台.1 400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元(a，b是常数)，用t表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y，即y＝(设备单价＋设备维修和消耗费用)÷设备使用的年数. (1)求y关于t的函数关系式； (2)当a＝112 500，b＝1 000时，求这种设备的最佳更新年限. 解析　(1)由题意知年平均维修和消耗费用为＝(t＋1)(元)， 于是有y＝(t＋1)＋＝＋＋，t＞0. (2)由(1)可知，当a＝112 500，b＝1 000时， y＝500＋500t＋＝500＋500≥500＋500×2×15＝15 500， 当且仅当t＝，即t＝15时，等号成立. 故这种设备的最佳更新年限为15年. 19.(17分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，问是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R都成立.若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由. 解析　假设存在常数a，b，c满足题意. 因为函数f(x)的图象过点(－1,0)， 所以f(－1)＝a－b＋c＝0，① 又不等式x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R都成立， 所以当x＝1时，有1≤f(1)≤(1＋12)，即1≤a＋b＋c≤1， 所以a＋b＋c＝1，② 由①②可得a＋c＝，b＝， 所以f(x)＝ax2＋x＋， 因为x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R都成立， 所以x≤ax2＋x＋≤(1＋x2)对一切x∈R都成立， 所以的解集为R， 所以且 即且解得a＝，所以c＝. 综上所述，存在常数a＝，b＝，c＝，使不等式x≤f(x)≤(1＋x2)对一切x∈R都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$