河南省开封市2023—2024学年八年级下学期期末数学试卷（华师大版）

河南省开封市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（华师大版） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1．（3分）式子中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有0.000000076克，数据0.000000076用科学记数法表示为（　　） A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8 D．76×10﹣9 3．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1 4．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2（秒2）如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（　　） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7.5 S2 2.1 1.9 2 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（3分）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（　　） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．④可表示对角线互相平分 6．（3分）解分式方程，去分母得（　　） A．x﹣2﹣1＝﹣1.5 B．2﹣x﹣1＝1.5 C．x﹣2﹣（1﹣2x）＝1.5 D．x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5 7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：①k＜0，b＞0；②y随x的增大而减小；③关于x，y的二元一次方程kx﹣y+b＝0必有一个解为x＝﹣2，y＝0；④当x＞﹣2时y＞0；其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　） A． B． C．3 D．5 9．（3分）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知kb＞0，一次函数y＝kx﹣b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 12．（3分）一次函数y＝（m﹣1）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　． 13．（3分）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为 　 　cm2． 14．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 　 　.（填序号） ①这个反比例函数解析式为；②蓄电池的电压是36V；③当R＝2Ω时，I＝13A；④当I≤10A时，R≥3.6Ω． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是 　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16．（8分）（1）解方程； （2）先化简，再求值：，其中． 解：原式＝ 解：原式＝… （3）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （4）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 17．（6分）某公司为了到高校招聘大学生，为此设置了三项测试：笔试、面试、实习．学生的最终成绩由笔试、面试、实习依次按3：2：5的比例确定．公司初选了若干名大学生参加笔试、面试，并对他们的两项成绩分别进行了整理和分析．下面给出了部分信息： ①公司将笔试成绩（百分制）分成了四组，分别为A组：60≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100；并绘制了如下的笔试成绩频数分布表及频数分布直方图． 笔试成绩频数分布表 分组 人数 频率 A组（60≤x＜70） 3 0.1 B组（70≤x＜80） 9 0.3 C组（80≤x＜90） 12 a D组（90≤x≤100） 6 0.2 其中，C组的分数由低到高依次为： 80，81，82，83，83，84，84，85，88，88，88，88． ②这些大学生的笔试、面试成绩的平均数、中位数、众数、最高分如表： 平均数 中位数 众数 最高分 笔试成绩 81 m 92 97 面试成绩 80.5 84 86 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　，m＝　 　，这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为 　 　； （2）若甲同学参加了本次招聘，他的笔试、面试成绩都是83分，那么该同学成绩排名靠前的是哪一项成绩？并说明理由； （3）乙同学也参加了本次招聘，笔试成绩虽不是最高分，但也不错，分数在D组；面试成绩为88分，实习成绩为80分；若该公司最终录用的最低分数线为86分，请通过计算说明，该同学最终能否被录用？ 18．（6分）如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图②中，以AB为一边画菱形ABEF； （3）在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等． 19．（6分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：OE＝OF； （2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由． 20．（7分）如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集； （3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标． 21．（7分）端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多，口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元． ①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22．（7分）如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O为30cm处挂一个重10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）的变化情况．得出如下几组实验数据： L/cm 10 15 20 25 30 F/N 30 20 15 a 10 （1）观察如表实验数据，写出表中a的值 　 　． （2）以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图1平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （3）根据所画的图象，求出F与L的函数关系式． 23．（8分）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应成 　 　度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形A1B1C1O绕正方形ABCD的中心点O转动的过程中，如图②所示摆放，求证：AE＝BF． 拓展延伸： （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③O1，O2，O3…分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1．（3分）式子中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：式子，的分母中含有字母，属于分式，共有2个． 故选：B． 2．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有0.000000076克，数据0.000000076用科学记数法表示为（　　） A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8 D．76×10﹣9 【解答】解：0.000000076＝7.6×10﹣8， 故选：C． 3．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣2024＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大， ∵3＞2＞0，﹣1＜0， ∴B（2，y2），C（3，y3）位于第四象限，点A（﹣1，y1）位于第二象限， ∴y1＞y3＞y2． 故选：A． 4．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2（秒2）如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（　　） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7.5 S2 2.1 1.9 2 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：∵乙的平均分最好，方差最小，最稳定， ∴应选乙． 故选：B． 5．（3分）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（　　） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．④可表示对角线互相平分 【解答】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意； C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（3分）解分式方程，去分母得（　　） A．x﹣2﹣1＝﹣1.5 B．2﹣x﹣1＝1.5 C．x﹣2﹣（1﹣2x）＝1.5 D．x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5 【解答】解：方程整理得：﹣1＝﹣， 去分母得：x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5． 故选：D． 7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：①k＜0，b＞0；②y随x的增大而减小；③关于x，y的二元一次方程kx﹣y+b＝0必有一个解为x＝﹣2，y＝0；④当x＞﹣2时y＞0；其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【解答】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故①②错误； 又∵图象与x轴交于（﹣2，0）， ∴kx﹣y+b＝0的解为x＝﹣2，y＝0，故③正确； 当x＞﹣2时，图象在x轴上方，y＞0，故④正确． 综上可得③④正确，共2个， 故选：C． 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　） A． B． C．3 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3， 在Rt△BOC中，BC＝＝＝5， ∵H为BC中点， ∴OH＝BC＝． 故选：B． 9．（3分）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园， ∴A图象符合题意． 故选：A． 10．（3分）已知kb＞0，一次函数y＝kx﹣b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵kb＞0， ∴k、b同号， A、直线k＜0，一次函数y＝kx﹣b与y轴交于正半轴，故不符合题意； B、直线k＞0，一次函数y＝kx﹣b与y轴交于负半轴，故不符合题意； C、直线k＞0，一次函数y＝kx﹣b与y轴交于负半轴，反比例函数在第一、三象限，故符合题意； D、直线k＞0，一次函数y＝kx﹣b与y轴交于负半轴，故不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠1　． 【解答】解：∵分式的分母不等于0时，分式有意义， ∴x﹣1≠0， ∴x≠1． 故答案为：x≠1． 12．（3分）一次函数y＝（m﹣1）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m＞1　． 【解答】解：∵函数y的值随x值的增大而增大， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， 故答案为：m＞1． 13．（3分）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为 　600　cm2． 【解答】解：连结AC、BD交于点F， ∵四边形ABCD是边长为20cm的菱形， ∴AD＝CD＝20cm，AC⊥BD，AF＝CF，BF＝DF， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为60cm， ∴AC＝×60＝20（cm）， ∴AF＝CF＝AC＝10cm， ∵∠AFD＝90°， ∴DF＝＝＝10（cm）， ∴BD＝2DF＝2×10＝20（cm）， ∴S＝3×AC•BD＝3××20×20＝600（cm2）， 故答案为：600． 14．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 　①②④　.（填序号） ①这个反比例函数解析式为；②蓄电池的电压是36V；③当R＝2Ω时，I＝13A；④当I≤10A时，R≥3.6Ω． 【解答】解：设反比例函数的解析式为I＝， 由图得：（4，9）在函数图象上， ∴9＝， ∴k＝36， ∴函数解析式为I＝，则正确，故①符合题意； 蓄电池的电压是36V，则正确，故②符合题意； 当R＝2Ω时，I＝18A，则错误，故③不符合题意； 当I≤10A时，R≥3.6Ω，则正确，故④符合题意． 故答案为：①②④． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是 　（﹣10，3）　． 【解答】解：设CE＝a，则BE＝8﹣a， 由题意可得，EF＝BE＝8﹣a， ∵∠ECF＝90°，CF＝4， ∴a2+42＝（8﹣a）2， 解得，a＝3， 设OF＝b， ∵△ECF∽△FOA， ∴， 即，得b＝6， 即CO＝CF+OF＝10， ∴点E的坐标为（﹣10，3）， 故答案为（﹣10，3）． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16．（8分）（1）解方程； （2）先化简，再求值：，其中． 解：原式＝ 解：原式＝… （3）甲同学解法的依据是 　③　，乙同学解法的依据是 　②　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （4）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【解答】解：（1）去分母得：x+1＝2， 解得x＝1， 经检验，x＝1是增根， ∴原方程无解； （2）原式＝•﹣• ＝2x+2﹣x+1 ＝x+3； 当x＝﹣3时， 原式＝﹣3+3 ＝； （3）甲同学解法的依据是乘方分配律；乙同学解法的依据是分式的基本性质； 故答案为：③，②； （4）原式＝•﹣• ＝2x+2﹣x+1 ＝x+3； 当x＝﹣3时， 原式＝﹣3+3 ＝． 17．（6分）某公司为了到高校招聘大学生，为此设置了三项测试：笔试、面试、实习．学生的最终成绩由笔试、面试、实习依次按3：2：5的比例确定．公司初选了若干名大学生参加笔试、面试，并对他们的两项成绩分别进行了整理和分析．下面给出了部分信息： ①公司将笔试成绩（百分制）分成了四组，分别为A组：60≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100；并绘制了如下的笔试成绩频数分布表及频数分布直方图． 笔试成绩频数分布表 分组 人数 频率 A组（60≤x＜70） 3 0.1 B组（70≤x＜80） 9 0.3 C组（80≤x＜90） 12 a D组（90≤x≤100） 6 0.2 其中，C组的分数由低到高依次为： 80，81，82，83，83，84，84，85，88，88，88，88． ②这些大学生的笔试、面试成绩的平均数、中位数、众数、最高分如表： 平均数 中位数 众数 最高分 笔试成绩 81 m 92 97 面试成绩 80.5 84 86 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　0.4　，m＝　82.5　，这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为 　20%　； （2）若甲同学参加了本次招聘，他的笔试、面试成绩都是83分，那么该同学成绩排名靠前的是哪一项成绩？并说明理由； （3）乙同学也参加了本次招聘，笔试成绩虽不是最高分，但也不错，分数在D组；面试成绩为88分，实习成绩为80分；若该公司最终录用的最低分数线为86分，请通过计算说明，该同学最终能否被录用？ 【解答】解：（1）a＝1﹣0.1﹣0.3﹣0.2＝0.4；m取30个数据按大小顺序排序后第15个和第16个数的平均数，即82和83的平均数，故m＝82.5；由题意可知笔试成绩高于88分的学生都在D组，故这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为20%； （2）该同学成绩排名靠前的是笔试成绩，理由：83分大于笔试成绩的中位数82.5分，小于面试成绩的中位数84分，因此该同学再笔试环节排名在中上，而在面试环节排名在中下，故该同学成绩排名靠前的是笔试成绩； （3）由题意可知笔试成绩的众数为92分，结合C组中88分的有4个，最高分为97分， ∴D组的6个数据中5个数92分，1个97分， ∵乙同学笔试成绩不是最高分， ∴乙同学的笔试成绩为92分， ∴乙同学的最终得分为 ， 85.2＜86， 故乙同学不能被录用． 18．（6分）如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图②中，以AB为一边画菱形ABEF； （3）在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等． 【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图②中，菱形ABEF即为所求； （3）如图③中，正方形ABGH即为所求． 19．（6分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：OE＝OF； （2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF． （2）解：四边形BEDF是菱形， 理由：∵OB＝OD，OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 20．（7分）如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集； （3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0）， ∴﹣6m+6＝0，得m＝1， ∴一次函数解析式为y＝x+6； 当x＝0时，y＝6， ∴CO＝6， ∵△AOC的面积为6． ∴， ∴xA＝2， 当x＝2时，y＝x+6＝8， ∴点A坐标（2，8）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A， ∴k＝16， ∴反比例函数的解析式为：y＝； （2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2； （3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO， 设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6）， ∴EF＝|﹣m﹣6|， ∴|﹣m﹣6|＝6， 当﹣m﹣6＝6时， 解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）； 当﹣m﹣6＝﹣6时， 解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）； ②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分， 设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6）， 由中点坐标公式得， 解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2）， 综上．点F坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）． 21．（7分）端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多，口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元． ①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为（x+1）元，根据题意得： ， 解得：x＝2， 经检验x＝2是原分式方程的解， 答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元． （2）①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子（200﹣m）个，根据题意得： W＝（3﹣2）m+（200﹣m）（5﹣3）＝﹣m+400， ∴W与m的函数关系式为：W＝﹣m+400， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴m≥2（200﹣m）， 解得m≥， ∴≤m＜200（m为正整数）． ②由①可知，W＝﹣m+400，﹣1＜0，m为正整数， ∴当m＝134时，W有最大值，最大值为W＝﹣134+400＝266， 此时200﹣134＝66． ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元． 22．（7分）如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O为30cm处挂一个重10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）的变化情况．得出如下几组实验数据： L/cm 10 15 20 25 30 F/N 30 20 15 a 10 （1）观察如表实验数据，写出表中a的值 　12　． （2）以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图1平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （3）根据所画的图象，求出F与L的函数关系式． 【解答】解：（1）根据杠杆平衡原理可得：25a＝10×30， 解得：a＝12， 故答案为：12； （2）图象如图所示： （3）根据图象可设解析式为：F＝（L＞0）， 把（10，30）代入解析式可得：k＝300， ∴F与L的函数关系式为：F＝（L＞0）． 23．（8分）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应成 　45　度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形A1B1C1O绕正方形ABCD的中心点O转动的过程中，如图②所示摆放，求证：AE＝BF． 拓展延伸： （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③O1，O2，O3…分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【解答】（1）解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形， 而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形A1B1C1O和正方形ABCD中， ∠A1OC1＝∠AOB＝90°，∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝，OB＝， ∴∠AOE＝∠BOF， ∵AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF； （3）解：如图， n＝2时， ∵正方形ABCD，正方形O1EFH， ∴O1C＝O1D，∠O1DB＝∠O1CD＝45°，∠CO1D＝∠HO1E＝90°， ∴∠CO1H＝∠DO1N， ∴△CO1M≌△DO1N（ASA）， ∴S△CO1M＝S△DO1N， ∴S重叠部分＝S△DO1N+S△O1MD＝S△CO1M+S△O1MD＝S△O1CD＝S正方形ABCD＝， n＝3，同理可得：S重叠部分＝×2， … n个这样的正方形重叠部分的面积和是×（n﹣1）， ∴2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，重叠阴影部分的面积＝×（2024﹣1）＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$