第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．，， 2．（5分）（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 3．（5分）（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（5分）（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（5分）（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 10．（6分）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 11．（6分）（23-24高一上·全国·阶段练习）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　）    A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 13．（5分）（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 14．（5分）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 16．（15分）（23-24高一上·广东梅州·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17．（15分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分）（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 19．（17分）（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．，， 【解题思路】根据集合中的元素满足确定性，互异性，无序性，即可判断选项. 【解答过程】根据题意，依次分析选项： 对于A，某电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于B，高中学生中的游泳能手，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于C，中国古代四大发明：指南针，火药，造纸术，印刷术，可以构成集合； 对于D，，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合． 故选：C． 2．（5分）（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【解题思路】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【解答过程】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 3．（5分）（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解. 【解答过程】因为集合，， 则 或，所以 或． 故选：B． 4．（5分）（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【解答过程】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B. 5．（5分）（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【解答过程】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B. 7．（5分）（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【解答过程】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 8．（5分）（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解题思路】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【解答过程】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 【解题思路】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D. 【解答过程】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确； 对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确； 对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误； 对于D，当，此时，所以至少有一个实数， 使得，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【解题思路】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【解答过程】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 11．（6分）（23-24高一上·全国·阶段练习）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　）    A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【解题思路】根据所给定义一一判断即可. 【解答过程】对于A：因为，，所以，故A错误； 对于B：因为或，，所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【解题思路】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【解答过程】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【解题思路】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【解答过程】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 或 ． 【解题思路】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案． 【解答过程】已知集合，或. 若，则， 当，即时，满足条件； 当时，即当时，若，则或， 解得（舍）或， 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【解答过程】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 16．（15分）（23-24高一上·广东梅州·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求和； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可 【解答过程】（1）当时，集合， 因为，所以. 所以， （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以是的真子集，而不为空集， 所以，因此. 17．（15分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【解答过程】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 18．（17分）（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 19．（17分）（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【解答过程】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$